定积分与不定积分的区别：由性质着手

定积分：

定积分的 简单性质 :

性质1：设a与b均为常数，则∫(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*∫(a->b)f(x)dx+b*∫(a->b)g(x)dx。

性质2：设a<c<b,则∫(a->b)f(x)dx=∫(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。

性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么∫(a->b)1dx=∫(a->b)dx=b-a。

性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么∫(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。

性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=∫(a->b)f(x)dx<=M(b-a)(a<b)。

性质6（定积分中值定理）：如果函数f(x)在积分区间【a,b】上连续，那么在【a,b】上至少存在一个点c，使得∫(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a)(a<=c<=b)成立。

性质7：若a>b则∫_a^bf(x)=-∫_b^af(x)。

补充 ：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

2.定积分的特殊性质

（1）对称区间上函数的定积分性质

设函数 f(x) 在 [-a,a] 上连续，则 \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx

特别的， 当 f(x) 为奇函数时 ， \int_{-a}^{a}f(x)dx=0 ；

当 f(x) 为偶函数时 ， \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx

（2）三角函数定积分性质

设 f(x) 在 [0,1] 上连续，则

a、 \int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(cosx)dx

b、 \int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx =\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3} （ n 为奇数）

c、 \int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx =\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} （ n 为偶数）

d、 \int_{0}^{\pi}f(sinx)dx=2\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx

e、 \int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx =\pi\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx

（3）.定积分的特殊性质

设 f(x) 是以 T 为周期的可积分函数，则

a、 \int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx

b、 \int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx

（4）特殊函数积分

1、利用二重积分进行解答

2、利用概率论中标准正态分布解法进行解答

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

不定积分：

不定积分的性质

设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫ [ f(x) ± g(x)] dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。记：合拢的加减积分可以分开加减积分2. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，k为非零常数，则

∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx

记：非零常数 乘以积分，可以把常数拿到外面乘不定积分

性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx

性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx

性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a

性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)

性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a) (a<b)

性质6（定积分中值定理）：如果函数f(x)在积分区间【a,b】上连续，那么在【a,b】上至少存在一个点c，使得f(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a) (a<=c<=b)成立。

基于以上性质可以看出不定积分与定积分的区别大致可以归纳为：

定积分绝不是仅仅给不定积分加了个上下限，不定积分和定积分两者的区别是很大的！！！它们属于不同的概念，两者决不能混为一谈！

（1）不定积分 ：
设f(x)定义在某区间 I 上，若存在可导函数F(x)，使得F'(x)=f(x) 对任意x属于I都成立 ，那么则称 F(x) 是f(x)在区间I上的一个 原函数 。
我们把这个全体原函数，也称为不定积分。
因此， 不定积分的定义是找原函数的，即得到 。
（2）定积分
如果大家翻下课本的话，会记得 定积分 的定义是根据求曲边梯形的 面积 得出来的。
因此， 定积分的定义是用来求面积的，即得到一个数。