90分笔记 | 基本不等式，哪里“基本”了
关于基本不等式，你只需要记这一个公式，一个口诀，一个注意点，一堆变形！！
一个公式： a+b\geq2\sqrt{ab}
一个口诀：一正、二定、三相等
一正： a，b\geq0
二定：定的是上述的公式
三相等：当且仅当 a=b 时取等
一个注意点：一道题里尽量不要用两次基本不等式
因为不等号方向可能传递不过去，取等条件也可能传递不过去
变形1：（最重要）
题目中经常涉及的是 a+b，ab，a^2+b^2 之间的转换
a+b 与 ab 的转换 ：
① a+b 转 ab ： a+b\geq2\sqrt{ab} ；（基本公式）
② ab 转 a+b ： ab\leq(\frac{a+b}{2})^2 （基本公式反过来表示）
a^2+b^2 与 ab 的转换 ：
③ a^2+b^2 转 ab ： a^2+b^2\geq2ab （基本公式）
④ ab 转 a^2+b^2 : ab\leq\frac{a^2+b^2}{2} (基本公式反过来表示)
a^2+b^2 与 a+b 的转换：
⑤ a^2+b^2 转 a+b : a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}
证明思路：（记得 a+b 平方后会出现 a^2+b^2 ，再结合公式④）
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\leq2(a^2+b^2)
⑥ a+b 转 a^2+b^2 ： a+b\leq\sqrt{2(a^2+b^2)}
例1：已知 x>0,y>0 , x+2y+2xy=8 ,则 x+2y 的最小值为________
分析：目标是将 2xy 转成 x+2y ，利用公式②
8=x+2y+2xy\leq x+2y+(\frac{x+2y}{2})^2 （当且仅当 x=2y 时取等号）
设 x+2y=t>0 ；得到二次不等式 \frac{t^2}{4}+t\geq8
解得 t\geq4 ，答案：4
例2：已知三角形ABC中， a=2 ， \angle A=\frac{\pi}{3} ，求三角形周长的最小值
解：余弦定理 cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} 有： bc=b^2+c^2-4
（注意目标是周长，即 2+b+c ，目标： b+c ）
配方得到 （b+c）^2-4=3bc\leq\frac{3(b+c)^2}{4} （当且仅当 b=c 时取等号）
化简得到 b+c\leq4
变形2：（最常考）
型如 \frac{1}{a}+\frac{1}{b} 的题型，在题里去找 a+b ，然后把两者相乘
(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\geq4
例3：（2012浙江卷）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy ，则 3x+4y 的最小值是______
解：同除 5xy 得到： \frac{1}{5y}+\frac{3}{5x}=1
3x+4y=(3x+4y)(\frac{1}{5y}+\frac{3}{5x})=\frac{3x}{5y}+\frac{12y}{5x}+\frac{4}{5}+\frac{9}{5}\geq\ 5
变形3：
均值不等式： \frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab} （ a，b\geq0 ，当且仅当 a=b 时取等）
“算术平均数”大于“几何平均数”（别问几何平均数是啥）
有人会问，这不就是把 2 除过去了嘛，算啥变形啊？
确实没啥用，有用的是 它的拓展：
\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc} （ a，b，c\geq0 ，当且仅当 a=b=c 时取等）
例4：当 a>0 时，证明 2a+\frac{1}{a^2}\geq3
证明： 2a+\frac{1}{a^2}=a+a+\frac{1}{a^2}\geq3\sqrt[3]{a\cdot a\cdot \frac{1}{a^2}}=3
P.S.1
如果你更喜欢背公式（但是我不推荐），以上变式1与变式2的公式可以硬背成：
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
第一个不等号：是我总结的变式2
第二个不等号：几何平均数小于代数平均数，对应公式①②
第三个不等号：代数平均数小于平方平均数，对应公式⑤⑥
P.S.2
“一正”如果不为正怎么办？提括号！
当 a,b<0 时， a+b=-[(-a)+(-b)]\leq-2\sqrt{(-a)\cdot(-b)}
P.S.3
当取等条件不在定义域内怎么办？对勾函数图象！
例5：当 x\geq2 时，求 x+\frac{2}{x} 的最小值.
分析，如果用基本不等式，取等条件为 x=\sqrt{2} ，不在定义域内
所以只能用对勾函数图象，在 (0，\sqrt{2}) 上递减， (\sqrt{2},+\infty) 上递增
最小值在 x=2 处取得，最小值为 3
还有要补充的....想不起来了，就这些吧
