1-1 直角坐標

1. 在坐標平面上，兩坐標軸（ x 軸與 y 軸）將平面分成四個部分（不含 x 軸與 y 軸），右上角部分稱為第一象限；左上角部分稱為第二象限；左下角部分稱為第三象限；右下角部分稱為第四象限。

2. 數線上兩點 P ( a ) 、 Q ( b ) ，則 P 、 Q 兩點的距離為 。

3. 設平面上兩點 P ( x ₁ , y ₁ ) 、 Q ( x ₂ , y ₂ ) ，則 P 、 Q 兩點的距離為
4. 設 P ₁ ( x ₁ , y ₁ ) 、 P ₂ ( x ₂ , y ₂ ) 、 P ( x , y ) 為同一直線上相異三點， m 、 n 為正數，且 ，若 P 在線段 上，則稱 P 為 之內分點，且 ， 。

5. 設坐標平面上相異兩點 P ₁ ( x ₁ , y ₁ ) 、 P ₂ ( x ₂ , y ₂ ) ，且 的中點坐標為 P ( x , y ) ，則 ， 。

6. 已知△ ABC 的三頂點坐標為 A ( x ₁ , y ₁ ) 、 B ( x ₂ , y ₂ ) 、 C ( x ₃ , y ₃ ) ，則△ ABC 的重心坐標為

1-2 直線的斜率與方程式

1. 設平面上有一直線 L ，且 P ₁ ( x ₁ , y ₁ ) 、 P ₂ ( x ₂ , y ₂ ) 為直線 L 上的兩個相異點。

(1) 當 x ₁ x ₂ 時，直線 L 的斜率為 。

(2) 當 x ₁ x ₂ 時，直線 L 的斜率 m 不存在，表示直線 L 垂直於 x 軸。

2. 設兩相異直線 L ₁ 與 L ₂ 的斜率分別是 m ₁ 與 m ₂

(1) 若 L ₁ // L ₂ ，則 m ₁ m ₂ ；反之亦然。

(2) 若 L ₁ L ₂ ，則 m ₁ 1 ；反之亦然。

3. 直線方程式的求法：

(1) 點斜率
? 經過點 P ( x ₀ , y ₀ ) 且斜率為 m 的直線方程式為 y y ₀ = m ( x x ₀ ) 。
? 經過點 P ( x ₀ , y ₀ ) 且斜率不存在的直線方程式為 x x ₀ 。

(2) 兩點式
經過相異兩點 P ( x ₁ , y ₁ ) 與 Q ( x ₂ , y ₂ ) 的直線方程式為
? 當 x ₁ x ₂ 時，直線方程式為 。
? 當 x ₁ x ₂ 時，直線方程式為 x x ₁ 。

(3) 斜截式
? 斜率為 m 且 y 截距為 b 的直線方程式為 y mx + ? 斜率為 m 且 x 截距為 a 的直線方程式為 y m ( x - a ) 。
? 斜率不存在且 x 截距為 a 的直線方程式為 x (4) 截距式
x 截距為 a 、 y 截距為 b （ a 0 ， b 0 ）的直線方程式為 。

4. 由直線方程式求斜率：
設直線方程式 ax by + (1) 若 b 0 ，直線方程式的斜率不存在。

(2) 若 b 0 ，直線方程式的斜率為 。

5. 如果直線 L ： ax by + 0 的斜率存在，則

(1) 和 L 平行的直線必可化簡為 ax by + 0 （ k (2) 和 L 垂直的直線必可化簡為 bx ay + 6. 點與直線的距離：
點 P ( x ₁ , y ₁ ) 到直線 L ： ax by + 0 的距離為 。

7. 兩平行線的距離：
兩平行線 L ₁ ： ax by + c ₁ = 0 與 L ₂ ： ax by + c ₂ = 0 的距離為 。

1-3 函數圖形

1. 函數 f ( x ) = ax + b 稱為線性函數，其圖形為一直線。

2. 二次函數 f ( x ) = ax ² + bx + c 圖形的對稱軸為 。

3. 若 a 0 ，則 f ( x ) = ax ² + bx + c 在 時 f ( x ) 有最小值 ，圖形頂點即最低點為 。

4. 若 a 0 ，則 f ( x ) = ax ² + bx + c 在 時 f ( x ) 有最大值 ，圖形頂點即最高點為 。

第 2 章　三角函數及其應用

2-1 有向角及其度量

1. 有向角：
有方向限制的角稱為有向角。往逆時針方向旋轉的角稱為正角；往順時針方向旋轉的角稱為負角。

2.   (1) 六十分制
將一圓周分成 360 等分，每一等分所對的圓心角即為 1 度。

(2) 弧度制
在圓周上取一與半徑等長之弧，此弧所對的圓心角即為 1 弧度。
弧度　或 1 弧度 。

4. 同界角：
當兩個角有共同的始邊和終邊的時候，這兩個角稱為同界角。

5. 標準位置角：
將廣義角放在坐標平面上，角的頂點在原點上，角的始邊在 x 軸的正向上，這樣的有向角稱為標準位置角。

2-2 三角函數的定義

▲圖 2-48

銳角三角函數定義：
，稱作 Ð A 的正弦函數
，稱作 Ð A 的餘弦函數
，稱作 Ð A 的正切函數
，稱作 Ð A 的餘切函數
，稱作 Ð A 的正割函數
，稱作 Ð A 的餘割函數

2. 特別角三角函數值：

sin q

cos q

tan q

cot q

sec q

csc q

1 ， n 為整數），整數 n 稱為對數 log x 的首數； log b 稱為對數 log x 的尾數，尾數 log b 必為介於 0 與 1 之間的數。

2. 首數與尾數：

(1) 對數 尾數（ 0 (2) 真數 x 1 ，且整數的部分是 n 位數時，對數 log x 的首數是 n (3) 真數 0 1 ，而其小數部分在小數點後第 n 位以前均為 0 ，且第 n 位不是 0 ，則數對 log x 的首數為 - n 。

數學 A(III)

第 1 章　不等式及其應用

1-1 一元二次不等式

1.   (1) 當 a 0 時，一次不等式 ax 0 的解為 ，如圖 1-26 所示。

(2) 當 a 0 時，一次不等式 ax 0 的解為 ，如圖 1-27 所示。

▲圖 1-26 ▲圖 1-27

2. 對於任一正數 a ， (1)| x | £ a 的解為 a ，如圖 1-28 所示。
(2)| x | ³ a 的解為 x a 或 x a ，如圖 1-29 所示。

▲圖 1-28 ▲圖 1-29

3. 二次函數 y ax ² + bx + (1) 設 a 0 ，則當 b ² 0 時， y ax ² + bx + c 的圖形為開口向上的拋物線且與 x 軸有兩個交點 ( a ,0 ) 與 ( b ,0 ) 其中 、 ， a b ，如圖 1-30 所示。

▲圖 1-30

所以不等式 ax ² bx + 0 的解為 a 而不等式 ax ² bx + 0 的解為 x 0 ，則當 b ² 0 時， y c 的圖形為開口向上的拋物線且與 x 軸有一個交點 ，如圖 1-31 所示。

▲圖 1-31

所以不等式 ax ² bx + 0 無解；
不等式 ax ² bx + 0 的解為 ；
不等式 ax ² bx + 0 的解為 x 不等於 的任意實數；
不等式 ax ² bx + 0 的解為所有實數。

(3) 設 a 0 ，則當 b ² 0 時， y ax ² + bx + c 的圖形為開口向上的拋物線且與 x 軸沒有交點，如圖 1-32 所示。

▲圖 1-32

所以不等式 ax ² bx + 0 無解；
不等式 ax ² bx + 0 無解；
不等式 ax ² bx + 0 的解為所有實數；
不等式 ax ² bx + 0 的解為所有實數。

1-2 二元一次不等式的圖形

1. 二元一次不等式的圖形：設直線 L ： y mx + (1) y b 的圖形為直線 L 的上側半平面。

(2) y ³ mx b 的圖形為直線 L 及直線 L 的上側半平面。

(3) y b 的圖形為直線 L 的下側半平面。

(4) y £ mx b 的圖形為直線 L 及直線 L 的下側半平面。

2. 設直線 L ： ax by + 0 ，其中 a (1) ax + by 0 的圖形為直線 L 的右側半平面。

(2) ax + by 0 的圖形為直線 L 及直線 L 的右側半平面。

(3) ax + by 0 的圖形為直線 L 的左側半平面。

(4) ax + by 0 的圖形為直線 L 及直線 L 的左側半平面。

二個或二個以上的二元一次不等式聯立時，是指同時滿足二個或二個以上的二元一次不等式，其圖形為各不等式圖形的共同部分。

1-3 線性規劃

1. 在數對 ( x , y ) 滿足一組二元一次聯立不等式的條件下，考慮二元一次函數 f ( x , y ) 的最大值、最小值：在此問題中，二元一次聯立不等式稱為問題的限制條件；滿足此條件的解，稱為問題的可行解，並稱可行解所圍區域為問題的可行解區域；又二元一次函數 f ( x , y ) 稱為此問題的目標函數，而使函數 f ( x , y ) 有最大值、最小值的數對 ( x , y ) ，稱為問題的最佳解。

第 2 章　圓與直線

2-1 圓方程式

1. 圓的標準式：以 O ( h , k ) 為圓心，且半徑為 r （ r 0 ）的圓方程式是 ( x h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 。

2. 圓的一般式：圓方程式必為形式如 x ² y ² + dx + ey + 0 的二元二次方程式，其中 x ² 項與 y ² 項的係數相等且方程式中不含 xy 項。

3.   (1) 若 d ² e ² - 0 ，則方程式 x ² y ² + dx + ey + 0 表示一個圓，其圓心坐標為 ，半徑為 。

(2) 若 d ² e ² - 4 f = 0 ，則方程式 x ² y ² + dx + ey + 0 表示一個點，此點坐標為 。

(3) 若 d ² e ² - 0 ，則方程式 x ² y ² + dx + ey + 0 在坐標平面上沒有圖形。

4. 我們稱 d ² e ² - 4 f 為 x ² y ² + dx + ey + 0 圖形的判別式。

2-2 圓與直線的關係

1. 予點 P 之坐標為 ( x ₁ , y ₁ ) ，圓 C 之方程式為 ( x h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 。

(1) 若點 P 在圓 C 的內部，則 ( x ₁ h ) ² + ( y ₁ - k ) ² < r ² ，反之亦然。

(2) 若點 P 在圓 C 上，則 ( x ₁ h ) ² + ( y ₁ - k ) ² = r ² ，反之亦然。

(3) 若點 P 在圓 C 的外部，則 ( x ₁ h ) ² + ( y ₁ - k ) ² > r ² ，反之亦然。

2. 予點 P 之坐標為 ( x ₁ , y ₁ ) ，圓 C 之方程式為 x ² y ² + dx + ey + (1) 若點 P 在圓 C 的內部，則 x ₁ ² y ₁ ² + dx ₁ ey ₁ + 0 ，反之亦然。

(2) 若點 P 在圓 C 上，則 x ₁ ² y ₁ ² + dx ₁ ey ₁ + 0 ，反之亦然。

(3) 若點 P 在圓 C 的外部，則 x ₁ ² y ₁ ² + dx ₁ ey ₁ + 0 ，反之亦然。

3. 予直線 L ： ax by + 0 與圓 C ： ( x h ) ² + ( y - k ) ² = r ² ，設圓心 O 與直線 L 的距離為 d ，則 。

(1) 若 d r ，則直線 L 與圓 C 相割，反之亦然。

(2) 若 d r ，則直線 L 與圓 C 相切，反之亦然。

(3) 若 d r ，則直線 L 與圓 C 相離，反之亦然。

4. 切線方程式的求法：

(1) 過圓上一點，求切線方程式：
過圓 C ： ( x h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 上一點 P ( x ₁ , y ₁ ) 的切線方程式為
( x ₁ - h )( x - h ) ( y ₁ - k )( y - k ) = r ² 。
過圓 C ： x ² y ² + dx + ey + 0 上一點 P ( x ₁ , y ₁ ) 的切線方程式為
(2) 過圓外一點，求切線方程式：
予圓 C ： ( x h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 與圓外一點 P ( x ₁ , y ₁ ) 。
則可依下列步驟求出過點 P 且與圓 C 相切的直線方程式：
找出圓心 ( h , k ) 與半徑 r 。
假設切線斜率為 m ，由點斜式可得切線方程式為 y y ₁ = m ( x - x ₁ ) ，整理得
mx - mx ₁ + y ₁ = 利用圓心 ( h , k ) 到切線 mx mx ₁ + y ₁ = 0 的距離等於圓 C 的半徑，
得 ，藉之以求 m 之值。
將 m 值代入 mx mx ₁ + y ₁ = 0 ，即得過 P 點且與圓 C 相切的直線方程式。

5. 圓的切線段長之求法：

(1) 自點 P ( x ₁ , y ₁ ) 到圓 C ： ( x h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 的切線段長為 。

(2) 自點 P ( x ₁ , y ₁ ) 到圓 C ： x ² y ² + dx + ey + 0 的切線段長為 。

第 3 章　數列與級數

3-1 等差數列與等差級數

一個數列的項數有限，我們就稱這個數列為有限數列；若項數無限，則稱為無窮數列。

2. 已知 （ å 讀作 sigma ）， c 為常數，則

(1) 。

(2) 。

(3) 。

(4) ，其中 1 n 且 m 為整數。

若在一個數列中，除了首項外，其任意一項與前一項的差都相等，我們就稱此數列為等差數列（或算術數列）；其固定的差稱為公差。

4. 設一等差數列的首項為 a ₁ ，公差為 d ，一般項為 a _n ，前 n 項的和為 S _n ，
則 a _n a ₁ + ( n - 5. 設 a 、 b 、 c 三個數成等差數列，則等差中項 。

3-2 等比數列與等比級數

1. 予一數列，其中每一項皆不為 0 。若此數列除首項之外，其任意一項與前一項的比值都相等，我們就稱此數列為等比數列（或幾何數列）；此固定的比值稱為此數列之公比。

2. 設 a 、 b 、 c 三個數成等比數列，則等比中項 。

3. 已知一個等比數列的首項為 a ₁ ，公比為 r ，則

(1) 此等比數列的一般項為 a _n a ₁ ´ - 1 。

(2) 當 r 1 時，前 n 項的和 S _n na ₁ 。

(3) 當 r 1 時，前 n 項的和 。

2. 加法原理：
如果完成某件事，有 k 個不同的方式，採用方式一有 m ₁ 種方法，採用方式二有 m ₂ 種方法，……，採用方式 k 有 m _k 種方法，則完成這件事的方法共有 m ₁ m ₂ + + m _k 種。

3. 乘法原理：
如果完成某件事須經過 k 個步驟，而完成第一個步驟有 m ₁ 種方法，完成第二個步驟有 m ₂ 種方法，……，完成第 k 個步驟有 m _k 種方法，每個步驟間所選用的方法互不影響，則完成這件事的方法共有 m ₁ m ₂ ´ ´ m _k 種。

1-2 排列與組合

1. 相異物的直線排列：

(1) 由 n 個不同的事物中，全取排成一列的排列方法數為

(2) 從 n 個不同的事物中，任選 m 個排成一列的排列方法數為

2. 不盡相異物的直線排列：

(1) 設 n 個事物中有 m 個相同，其餘都不同。則 n 件全取的排列方法數為 。

(2) 設 n 個事物中，可分成 k 組。其中第一組有 m ₁ 個相同物，第二組有 m ₂ 個相同物，……，第 k 組有 m _k 個相同物（此時 m ₁ m ₂ + + m _k n ），則此 n 個事物全取排成一列，其排列方法數為 。

3. 環狀排列：

(1) 將 n 個不同的事物作環狀排列，其排列方法數為 。

(2) 從 n 個不同的事物中，任選 m 個作環狀排列，其排列方法數為
4. 組合：
從 n 件不同的事物中，每次不重複的取 m 個為一組，其組合數為
(1) （ 0 (2) 。

第 2 章　機率與統計

2-1 樣本空間與事件

集合是由一些明確的事物所組成，組成這個群體的每個事物稱為這個集合的元素。

2. 空集合：
不包含任何元素的集合稱為空集合，以符號 { } 或 Æ 來表示。

3. 子集：
如果集合 B 中的每一個元素都是集合 A 的元素，稱集合 B 為集合 A 的子集。

4. 聯集：
集合 A 所有的元素與集合 B 所有的元素所組成的集合，稱為 A 與 B 的聯集，記為 A È B ，即 A È B { x | x Î A 或 x Î B } 。

5. 交集：
集合 A 與集合 B 的共同元素所組成的集合，稱為 A 與 B 的交集，記為 A Ç B ，即 A Ç B { x | x Î A 且 x Î B } 。

6. 差集：
由屬於集合 A ，但不屬於集合 B 的元素所組成的集合，稱為 A 與 B 的差集，記為 A B ，即 A { x | x Î A 但 x Ï B } 。

7. 宇集與補集：
當所探討的集合都是某個集合 U 的子集時，稱 U 為宇集。當 A 是宇集 U 的子集時，稱 U 中不屬於 A 的元素組成的集合為 A 在 U 中的補集。

一項隨機試驗中，所有可能發生的結果所形成的集合，叫做試驗的樣本空間，通常用 S 表示。樣本空間中的每一個元素，稱為一個樣本。樣本空間的每個子集稱為一個事件。

9. 設 A 、 B 為樣本空間 S 中的兩個事件，

(1) 和事件： A È B 表示事件 A 與事件 B 所有的樣本所構成的事件，稱為和事件。

(2) 積事件： A Ç B 表示事件 A 與事件 B 共有的樣本所構成的事件，稱為積事件。

(3) 餘事件： A ¢ 表示不在 A 中的樣本所構成的事件，稱為餘事件。

(4) 互斥事件：如果 A Ç B Æ ，則稱 A 、 B 兩個事件互斥，也就是事件 A 與事件 B 不可能同時發生。

2-2 求機率問題

1. 假設一個隨機試驗的樣本空間 S ，為有有限個樣本，其中各樣本點出現的機會均等。若 A Ì S 為一事件，則事件 A 發生的機率為 A 之元素個數與 S 之元素個數的比值，記為 ，其中 n ( S ) 與 n ( A ) 分別表示 S 與 A 的元素個數。

2. 機率的性質：

(1) P ( Æ ) (2) P ( S ) = 1 。

(3) 若 A Ì S 為一事件，則 0 P ( A ) £ (4) 餘事件的機率：若 A Ì S 為一事件，則 P ( A ¢ ) P ( A ) 。

(5) 若 A 和 B 為 S 中的兩事件且 A Ì B ，則 P ( A ) P ( B ) 。

(6) 機率的排容原理：若 A 和 B 為 S 中的兩事件，則
P ( A È B ) P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç B ) 。

2-3 數學期望值

1. 設某事件發生的機率為 P ，若該事件發生時可得到的報酬為 M ，失敗時報酬為 0 ，則 M P 稱為此事件的數學期望值，簡稱為期望值，通常以 E 表示。

2. 設一試驗的樣本空間 S 可分割成 k 個互斥事件，而每個事件發生機率分別為 P ₁ 、 P ₂ 、……、 P _k ，且事件發生時分別可得數值 M ₁ 、 M ₂ 、……、 M _k 的報酬，則 M ₁ P ₁ + M ₂ ´ P ₂ + + M _k P _k 稱為此試驗的數學期望值，簡稱為期望值。

2-4 資料整理與圖表編製

1. 製作次數分配表的步驟：
排序、求全距、定組數或組距、定組限、歸類並計算次數。

2. 直方圖：
利用長方形來表示數值資料中，各組的次數分布的情況，稱為直方圖。

3. 次數分配折線圖：
以各組資料的組中點為橫坐標，以各組的次數為縱坐標標示出各點，由左而右連接相鄰的點，並於最左邊與最右邊各向外延伸一點，就形成一折線圖。

4. 累積次數分配曲線圖：
利用累積次數分配表，以各組資料的上限為橫坐標，及各組累積的次數為縱坐標標示出各點，由左而右連接相鄰的點，即得以下累積分配曲線圖；以各組資料的下限為橫坐標，及各組累積的次數為縱坐標標示出各點，由左而右連接相鄰的點，即得以上累積分配曲線圖。

2-5 算術平均數、中位數、百分等級

1. 算術平均數：
設一群數值為 x ₁ 、 x ₂ 、……、 x _n ，則其算術平均數 定義為
2. 中位數：
設 n 個數值由小至大排列為 x ₍₁₎ x ₍₂₎ £ £ x _{( n )} ，

(1) 若 n 為奇數時，中位數 。

(2) 若 n 為偶數時，中位數 ，即正中間兩個數的平均。

3. 眾數：
一群數值中出現次數最多的數稱為眾數，記作 Mo 。又眾數可能不只一個。

4. 百分等級：
當某個資料數值，在整體資料中有至少 k % 的資料數值小於或等於它，而且有至少 (100 k )% 的資料數值大於或等於它，我們稱這個資料數值的百分等級為 k ，記作 PR

2-6 四分位距與標準差

全距是指一群數值資料中，最大值和最小值的差距，通常以 R 表示。

2. 四分位距：
設 n 個數值由小至大排列為 x ₍₁₎ x ₍₂₎ £ £ x _{( n )} ，將已排列的數值等分成四段，可得三個分界點，最小的分界點稱為第 1 四分位數，以 Q ₁ 表示；其次即為中位數；最後的分界點稱為第 3 四分位數，以 Q ₃ 表示。第 3 四分位數 Q ₃ 與第 1 四分位數 Q ₁ 的差稱為四分位距，以 IQR 表示，即 IQR Q ₃ - Q ₁ 。

3. 設 n 個數值 x ₁ 、 x ₂ 、……、 x _n ；以 表示其算術平均數，我們稱 為 x _i 的離均差。離均差平方的算術平均數稱為變異數，而變異數的正平方根稱為標準差。設 n 個資料為 x ₁ 、 x ₂ 、……、 x _n ，其算術平均數為 ，則標準差為 。

2-7 抽樣方法

1. 簡單隨機抽樣：
從母群體中，每一個體被選中的機會都相等的條件下，隨機抽取樣本，稱為簡單隨機抽樣。

2. 系統抽樣：
系統抽樣為做一次簡單隨機抽樣後，依據固定間隔數抽出下一個樣本。

3. 分層隨機抽樣：
將母群體依某種標準區分成不重複的若干組，每組稱為「層」，且層與層之間有很大的變異性，同一層內的變異性較小。再從每一層中利用簡單隨機抽樣抽出所需比例的樣本數，將所得各層樣本合起來即為樣本。

4. 部落抽樣：
其方法為將母群體分成若干部落，而部落間的變異小，部落內的變異大。再從這些部落中抽出數個部落進行抽樣調查或普查。

2-8 解讀信賴區間與信心水準

媒體報導中的滿意度是抽樣受訪民眾的滿意度，將它加上正負抽樣誤差，就得一個信賴區間，而我們有 95% 的信心說，真正滿意的比例會落在信賴區間內。

數學 C(I)

第 1 章　直線方程式

1-1 直角坐標

1. 數線：數線上相異兩點 A ( x ₁ ) 、 B ( x ₂ ) ，則

(2) 的中點為 的中點為 ，則
內分點公式： （ x ₁ x ₂ ）

2. 判別斜率大小：

▲圖 1-37

3. 平行與垂直：
平面上相異兩直線 L ₁ 、 L ₂ 的斜率分別為 m ₁ 、 m ₂ （ m ₁ 0 ， m ₂ 0 ），則

(1) L ₁ // L ₂ Û m ₁ (2) L ₁ ^ L ₂ Û m ₁ 4. 直線方程式：

(1) 點斜式：直線 L 過 P ( x ₀ , y ₀ ) 且斜率為 m ，則 L ： y y ₀ = m ( x x ₀ )

(2) 兩點式：直線 L 過 P ₁ ( x ₁ , y ₁ ) 、 P ₂ ( x ₂ , y ₂ ) 兩點且 x ₁ 則 L ： ，（ a ₁ b ₁ c ₁ 0 ， a ₂ b ₂ c ₂ 2. 在直角坐標系中，設點 P 異於原點，直角坐標 P ( x , y ) ，可以序對 ( r , q ) 表示之，此序對 ( r , q ) 稱為 P 點的極坐標，其中 r 為 P 點到原點的距離，稱為向徑， q 為以 x 軸正向為始邊旋轉到 P 點的有向角，稱為輻角。

(1) 直角坐標 ( x , y ) 異於原點轉換成極坐標 ( r , q （可直接畫圖求 q ）

(2) 極坐標 ( r , q ) 轉換成直角坐標 ( x , y )
3. 複數的極式：
yi = | z |(cos q i sin q 若 0 ° 360 ° ，則稱 q 為 z 的主輻角，表為 Arg( z )

3-4 棣美弗定理及其應用

1. 複數極式的乘除：
若 z ₁ r ₁ (cos q ₁ i sin q ₂ ) ， z ₂ r ₂ (cos q ₁ i sin q ₂ ) ，則：

(1) z ₁ ´ z ₂ r ₁ r ₂ [cos( q ₁ q ₂ ) i sin( q ₁ q ₂ )]

(2) （ z ₂ 2. 棣美弗定理：
r (cos q i sin q ) ， r | z | ，則：
z ⁿ = r ⁿ (cos n q i sin n q ) ， n 為整數（ z 3. 複數的 n 次方根：
若 x ⁿ | z |(cos q i sin q ) ， z 0 ， n 為自然數
則 z 的 n 次方根為 。

(3) 有限項數「 å 」的運算性質：
? （ c 為常數）
? （ c 為常數）
? （ 1 2. 等差數列：
在數列 á a _k ñ 中，若後一項減去前一項的差都相等，我們稱這數列為等差數列（或算術數列），這個相等的差稱為此數列的公差，通常以 d 表示。
若首項為 a ₁ ，公差為 d ，則第 n 項為
a ₁ + ( n - 1) d （末項 將等差數列中的 a _m 當成最前項，公差為 d ，則第 n 項為
a _m + ( n - m ) d （末項 3. 等差中項：
若 a ， b ， c 成等差數列，我們稱 b 為 a 與 c 的等差中項（或算術平均數），則 。

4. 等差級數：
若 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ，……， a _n 是一等差數列，將其前 n 項相加得 a ₁ a ₂ + a ₃ + a _n ，就稱為等差級數（或算術級數），此級數前 n 項的和為
(1) 已知等差級數首項 a ₁ ，公差 d ，項數 n ，則 。

(2) 已知等差級數首項 a ₁ ，末項 a _n ，項數 n ，則 。

1-2 等比數列與等比級數

1. 等比數列：
在數列 á a _k ñ 中，若任一項與其前一項的比值都相等，我們稱這數列為等比數列，這個相等的比值稱為此數列的公比，通常以 r 表示。
若首項為 a ₁ ，公比為 r ，則第 n 項為
a ₁ r ^{n - 1} （末項 公比 ^間隔數 ）
將等比數列中的 a _m 當成最前項，公比為 r ，則第 n 項為
a _m r ^{n - m} （末項 公比 ^間隔數 ）

2. 等比中項：
若 a ， b ， c 成等比數列，我們稱 b 為 a 與 c 的等比中項，則 b ² ac ，即 。

3. 等比級數：
若 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ﹐……﹐ a _n 是一等比數列，將其前 n 項相加得 a ₁ a ₂ + a ₃ + a _n ，就稱為等比級數，此級數前 n 項的和為 。
已知等比級數首項 a ₁ ，公比 r ，項數 n ，則

(1) 當 r 1 時， 。

(2) 當 r 1 時， 。

第 2 章　指數與對數及其運算

2-1 指數的意義及其運算

1. 指數律：
對於每一個實數 a ，我們以記號 a ⁿ 代表 a 自乘 n 次的乘積，其 n 為正整數，即 ，讀做「 a 的 n 次方」，其中 a 稱為底數， n 稱為指數。

2. 指數運算的性質：
若 a 、 b 為正實數， m 、 n 為任意實數，則

(1) a ^m ´ a ⁿ + n ； a ^m a ⁿ = (2) ( a ^m ) ⁿ = a ^m (3) ( a ´ b ) ⁿ a ⁿ ´ (4) a ⁰ = 1 （此時 a (5) （此時 a (6) ； （此時 n 為正整數）

2-2 指數函數及其圖形

1. 指數函數 y a ^x （ a 0 且 a 1 ）的圖形：

(1) y = a ^x 的圖形皆在 x 軸上方，過點 (0,1) ，且漸近線均為 x 軸。

(2) 當 a 1 時， y a ^x 為遞增函數；當 0 1 時， y a ^x 為遞減函數。

(3) y = a ^x 與 的圖形對稱於 y 軸。

2. 指數的比大小：
關於 與 的大小關係，分 a 1 和 0 < 1 兩種情形比較：

1. 加法原理：
若完成某件工作的方法可區分成 k 類，且第 1 類有 m ₁ 種方法，第 2 類有 m ₂ 種方法，……，第 k 類有 m _k 種方法，則完成這件工作的方法共有 m ₁ + m _k 種。

2. 乘法原理：
若完成某件工作的方法須經過 k 個步驟，且第 1 步驟中有 m ₁ 種方法，第 2 步驟中有 m ₂ 種方法，……，第 k 步驟中有 m _k 種方法，則完成這件工作的方法共有 m ₁ ´ m _k 種。

3-2 排列

1. 完全相異物的直線排列：

(1) 將 n 個不同的事物排成一列的排列總數為

(2) 從 n 個不同的事物中任選 m 個 ( m n ) 排成一列的排列總數為

2. 有相同物的直線排列：

(1) 設 n 個事物有 p 個相同排成一列的總數為

(2) 設有 n 個事物，共有 k 種不同種類（同類中的事物相同），第 1 類有 p ₁ 個，第 2 類有 p ₂ 個，……，第 k 類有 p _k 個（即 n p ₁ + p ₂ + + p _k ），將此 n 個事物排成一列的總數為

(4) 餘事件：樣本空間 S 中不包含 A 的部分集合（叫做 A 的補集，以 A ¢ 表示），稱 A ¢ 為 A 的餘事件。

(5) 和事件： A 和 B 兩事件至少有一事件發生的事件，以 A È B 表示。

(6) 積事件： A 和 B 兩事件同時發生的事件，以 A Ç B 表示。

(7) 互斥事件：若 A Ç B Æ ，則稱 A 和 B 兩事件為互斥事件。

4-2 求機率問題

1. 古典機率：
設一隨機試驗的樣本空間 S 中的各基本事件出現的機會均等。若 A Ì S 為一事件，則事件 A 發生的機率為 A 的元素個數 n ( A ) 與 S 的元素個數 n ( S ) 之比，記為

2. 機率的性質：

(1) P ( Æ ) 0 ，即空事件的機率為 0 。

(2) P ( S ) = 1 ，即全事件的機率為 1 。

(3) 若 A Ì S 為一事件，則 0 P ( A ) £ (4) 若 A Ì S 為一事件， A ¢ 為 A 的餘事件，則 P ( A ¢ ) P ( A ) 。

(5) 若 A Ì B Ì S 的兩事件，則 P ( A ) P ( B ) 。

(6) 若 A 和 B 為 S 的兩事件，則 P ( A È B ) P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç B ) 。

(7) 若 A 和 B 為 S 的兩事件，且 A 和 B 為互斥事件（即 A Ç B 則 P ( A È B ) P ( A ) + P ( B ) 。

3. 條件機率：
設 A 、 B 為樣本空間 S 中的兩事件，且 P ( A ) 0 ，則在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率為

4. 獨立事件：
設 A 、 B 為樣本空間 S 中的任兩事件，若 P ( A Ç B ) P ( A ) ´ P ( B ) ，則稱 A 、 B 為獨立事件，否則稱為相關事件。

5. 若 A 、 B 為獨立事件，則下列各對事件亦為獨立事件：

(1) A 與 B ¢

(2) A ¢ 與 B

(3) A ¢ 與 B ¢

4-3 數學期望值

數學期望值：

(1) 設某一事件發生的機率為 p ，該事件發生所得到的報酬為 m ，則稱

為此事件的數學期望值。

(2) 設一試驗有 n 種可能結果，其發生的機率分別為 p ₁ ， p ₂ ，……， p _n ，各結果所得到的報酬為 m ₁ ， m ₂ ，……， m _n ，則稱

= p ₁ ´ m ₁ + p ₂ ´ m ₂ + p _n 為此試驗的數學期望值。

4-4 資料整理與圖表編製

1. 次數分配表的編製：

(1) 求全距。

(2) 定組數與組距。

(3) 定組限。

(4) 歸類劃記並計算各組的次數。

2. 直方圖的畫法：
以變量為橫軸，次數為縱軸，各組組距為底，其對應的次數為高，畫長方形。

3. 次數分配曲線圖的畫法：
將各組的組中點為橫坐標，其所對應的次數為縱坐標描點，依次用線段連接起來的折線。

4. 累積次數分配表的編製：
將次數分配表中各組的次數，從最小一組到最大一組累加而得「以下累積次數分配表」；從最大一組到最小一組累加而得「以上累積次數分配表」。

5. 累積次數分配曲線圖的畫法：

以各組上限為橫坐標，其所對應的以下累積次數為縱坐標描點，連接 ( L ₁ ,0) 及各點而得。

以各組下限為橫坐標，其所對應的以上累積次數為縱坐標描點，連接 ( U _k ,0) 及各點而得。

4-5 算術平均數、中位數與百分等級

1. 算術平均數：

(1) 未分組資料： （ f ₁ f ₂ + + f _k 2. 加權平均數： （其中 W _i 表 x _i 的權數）

眾數：在一群數值資料中出現次數最多的數，以 Mo 表示。

4. 中位數：將 n 個數值從小而大排列成 x ₁ x ₂ £ £ x _n ，

(1) 當 n 為奇數時，中位數 ，則 n 個實數的

(1) 母體變異數 （ N 為投票人數， M 為支持者的人數）。

4. 信賴區間：
估計真正的 p 值落在哪一個範圍，以區間

[ 估計值 抽樣誤差 , 估計值 抽樣誤差 ]

信心水準：落在信賴區間的機率稱之。

數學 C(IV)

第 1 章　圓

1-1 圓的方程式

1. 圓的標準式：
圓心為 ( h , k ) ，半徑為 r 的圓方程式為 ( x h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 。

2. 圓的一般式：
凡是圓皆可表為二元二次方程式 x ² y ² + dx + ey + 0 。一個二元二次方程式 x ² y ² + dx + ey + 0 的圖形，依 d ² e ² - 4 f 之值的不同，可得下列三種情形：

(1) 當 d ² e ² - 0 時： x ² y ² + dx + ey + 0 表一圓，
圓心為 ，半徑 。

(2) 當 d ² e ² - 4 f = 0 時： x ² y ² + dx + ey + 0 表一點 。

(3) 當 d ² e ² - 0 時： x ² y ² + dx + ey + 0 沒有圖形。

我們將 d ² e ² - 4 f 稱為圓的判別式。

1-2 圓與直線的關係

1. 圓與直線的關係：
圓 C ： ( x h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 與直線 L ： ax by + 0 的關係有三種情形：

(1) 圓與直線相交於兩點（相割），此時 d r ，且直線 L 被圓 C 所截得的弦長為 。

(2) 圓與直線相交於一點（相切），此時 d (3) 圓與直線無交點（相離），此時 d r ，其圓上點到直線的最近距離為
r ，最遠距離為 d 其中 d 為圓心 A ( h , k ) 到直線 L ： ax by + 0 之距離，即

2. 圓與點的關係：
設圓心 A ( h , k ) ，平面上一點 P ( x ₀ , y ₀ ) 與圓 ( x h ) ² + ( y - k ) ² = r ² （或 x ² y ² + dx + ey + 0 ）的關係有三種：

(1) 若 P 為圓內點，此時 （ d ( P , L ) 表動點 P 到直線 L 的距離）

之 P 點所成的集合，其中定直線 L 稱為準線，定點 F 稱為焦點。

3. 拋物線的標準式：

1. 橢圓的定義：
平面上與兩定點 F ₁ 、 F ₂ 距離和為定值 2 a ( ) 的所有點 P 所成的圖形稱為橢圓。也就是滿足 之 P 點所成的集合，其中兩定點 F ₁ 與 F ₂ 稱為橢圓的焦點。

2. 橢圓的標準式：

設 F ₁ 與 F ₂ 為平面上滿足 ( c 0) 的兩定點，平面上與兩定點 F ₁ 、 F ₂ 距離差的絕對值為定值 2 a ( ) 的所有點 P 所成的圖形稱為雙曲線。也就是滿足 之 P 點所成的集合，其中兩定點 F ₁ 與 F ₂ 稱為雙曲線的焦點。

2. 雙曲線的標準式：

1. 函數：
設 x 、 y 為兩變數，給定 x 值後， y 值隨著 x 值依某種關係而確定，我們稱 y 為 x 的函數，其變量 x 稱為自變數，變量 y 稱為應變數。自變數 x 可能變動的範圍，稱為此函數的定義域，與 x 值對應之函數值所成的集合稱為值域。

2. 函數極限的定義：
當函數 f ( x ) 定義域中的 x 趨近於定值 a 時 ( x a ) ，則 x 所對應的函數值 f ( x ) 也逐漸趨近於 a ，我們稱 x 趨近於 a 時， f ( x ) 的極限為 a ，記為 。

3. 求極限值 ：

(1) 若以 x a 代入 f ( x ) 得實數 f ( a ) ，則 。

(2) 若 f ( x ) 為有理函數且 ( q ( x ) ? 以 x a 代入 f ( x ) 得 （無意義），此時須將 f ( x ) 中使分子和分母為 0
的公因式約去，再將 x a 代入求得極限值。
? 以 x a 代入 f ( x ) 得 （ k 為任意不為 0 之數），則 不存在。

4. 函數極限的運算性質：
設 ， ，其中 a 、 b 皆為實數，則：

(1) （ k 為常數）

(2) （ k 為常數）

(5) ( b 5. 極限值存在：
右極限，即 。

6. 函數的連續性：
若函數 f ( x ) 滿足 (1) f ( a ) 存在 (2) 存在 (3) 存在，我們稱極限值 為 f ( x ) 在 x a 的導數，以 f ¢ ( a ) 表示之，即

2. 導數的意義：

(1) 幾何意義： f ¢ ( a ) 為 f ( x ) 在 x a 的切線斜率，過曲線 f ( x ) 上一點 ( a , f ( a )) 的切線方程式為 y f ( a ) = f ¢ ( a )( x a ) 。

(2) 物理意義：設運動物體的位移函數為 f ( t ) ，速度函數為 v ( t ) ，加速度函數為 a ( t ) ，則 f ¢ ( t ) v ( t ) ， v ¢ ( t ) a ( t ) 。

3. 導函數：
( x ) 定義中的每一點 a ，其導數 f ¢ ( a ) 存在，此時 a → f ¢ ( a ) 形成一個新函數， f ( x ) 的導函數為 ，此過程稱為將函數 f ( x ) 微分。

函數的可微與連續關係：可微分函數必為連續函數；反之，未必成立。

3-3 微分公式

1. 微分公式：
設 p ( x ) 和 q ( x ) 皆為可微分函數，

(1) 若 f ( x ) = x ^r ，則 f ¢ ( x ) - 1 （ r 為實數）

(2) 若 f ( x ) = k ，則 f ¢ ( x ) 0 （ k 為常數）

(3) 若 f ( x ) = kp ( x ) ，則 f ¢ ( x ) kp ¢ ( x ) （ k 為常數）

(4) 若 f ( x ) = p ( x ) ± q ( x ) ，則 f ¢ ( x ) p ¢ ( x ) ± q ¢ ( x )

(5) 若 f ( x ) = p ( x ) q ( x ) ，則 f ¢ ( x ) p ¢ ( x ) q ( x ) p ( x ) q ¢ ( x )

(6) 若 且 q ( x ) (7) 連鎖規則：
( x ) = p ( q ( x )) 且 p ¢ ( x ) 、 q ¢ ( x ) 皆存在，則 f ¢ ( x ) p ¢ ( q ( x )) q ¢ ( x )
? 已知 g ( x ) 為可微分函數，若 f ( x ) = ( g ( x )) ^r 且 r 為實數，則

¢ ( x ) r ( g ( x )) ^{r g} ¢ ( x )

2. 高階導函數：
f ( x ) 的 n 階導函數，記為

f ^{( n )} ( x ) ， ， y ^{( n )} ， ，

f ( x ) 的二階以上的導函數，統稱為高階導函數。

3-4 微分的應用

1. 函數的遞增與遞減：函數 f ( x ) 在區間 I 可微分，對於任意 x Î I ，

(1) 若 f ¢ ( x ) 0 ，則 f ( x ) 在區間 I 上為遞增函數。

(2) 若 f ¢ ( x ) 0 ，則 f ( x ) 在區間 I 上為嚴格遞增函數。

(3) 若 f ¢ ( x ) 0 ，則 f ( x ) 在區間 I 上為遞減函數。

(4) 若 f ¢ ( x ) 0 ，則 f ( x ) 在區間 I 上為嚴格遞減函數。

2. 導數與極值的關係：
若函數 f ( x ) 在 x a 處有極大值或極小值，且 f ( x ) 在 x a 處可微分，則
f ¢ ( a ) 3. 函數的極大值與極小值：
設函數 f ( x ) 在 x a 附近各點都可微分且 f ¢ ( a ) (1) 當圖形在 a 點的左側是遞增函數，在 a 點的右側是遞減函數，即 x a 時 f ¢ ( x ) 0 ， x a 時 f ¢ ( x ) 0 ，則 f ( x ) 在 x a 處有極大值 f ( a ) 。

(2) 當圖形在 a 點的左側是遞減函數，在 a 點的右側是遞增函數，即 x a 時 f ¢ ( x ) 0 ， x a 時 f ¢ ( x ) 0 ，則 f ( x ) 在 x a 處有極小值 f ( a ) 。

4. 函數的最大值與最小值：
函數在區間範圍內的最大值與最小值，可能發生在 f ¢ ( x ) 0 的點或區間的兩端點。

極值的應用：利用多項函數求極值的方法解決一些實際的問題。

第 4 章　積分

4-1 無窮等比級數

1. 無窮數列的極限：

(1) 無窮數列 á a _n ñ ，當 n → ¥ 時， a _n → A （定值），即 á a _n ñ 收斂於 A ，記為 。

(2) 無窮數列 á a _n ñ 沒有收斂，即為發散。

2. 無窮收斂數列的性質：
設 ， ，則

(4) ( B (5) （ c 為一常數）

3. 分式型數列極限的規則：

(1) 若 a _n 的分子和分母同次方，則 即為分子分母最高次項的係數比值。

(2) 若 a _n 的分子次方小於分母次方，則 。

(3) 若 a _n 的分子次方大於分母次方，則 不存在。

4. 夾擠定理：
若數列 á a _n ñ ， á b _n ñ ， á c _n ñ 滿足 a _n b _n £ c _n （ n 為任意自然數），且 ，則 。

5. 無窮等比數列 á r ⁿ ñ 的收斂與發散：

(1) 當 1 （即 | r 1 ）時， á r ⁿ ñ 收斂於 0 ；
1 時， á r ⁿ ñ 收斂於 1 。
1 時， á r ⁿ ñ 為收斂數列。

(2) 當 r 1 或 r 1 時， á r ⁿ ñ 為發散數列。

6. 無窮等比級數的收斂與發散：

(1) 當 1 （即 | r 1 ）時， 收斂，其和為 。

(2) 當 r 1 或 r 1 時， 發散，級數和不存在。

4-2 積分的概念與反導函數

1. 定積分：
( x ) 在閉區間 [ a , b ] 上的定積分，以 表示之， a 與 b 分別稱為積分的下限與上限。

2. 反導函數：
設 F ( x ) 為一可微分函數， f ( x ) 為一函數，若 F ¢ ( x ) f ( x ) ，則稱 F ( x ) 為 f ( x ) 的反導函數。

3. 不定積分的性質：
若 與 存在，其中 ， c 為常數，則：

(2) ( n 4. 代換積分法：
，其中 n

4-3 多項函數的積分

1. 微積分基本定理：
( x ) 在 [ a , b ] 上連續，且 F ( x ) 為 f ( x ) 的反導函數，則
2. 定積分的性質：
( x ) ， g ( x ) 均為 [ a , b ] 上可積分函數， ，其中 a 5. 在△ ABC 中，若 A ( x ₁ , y ₁ ) 、 B ( x ₂ , y ₂ ) 、 C ( x ₃ , y ₃ ) 且 G ( x , y ) 為△ ABC 的重心，則 ， 的直線

4. 點 P ( x ₀ , y ₀ ) 到直線 L ： ax by + 0 之距離為 ，其對稱軸為 。

第 2 章　三角函數

2-1 有向角及其度量

角的度量有「六十分制」與「弧度制」二種。

(1) （弧度）

(2) 1 （弧度） （其中 h ( x ) 部分分式：將一個真分式化為若干個真分式的代數和，稱為將真分式分解成部分分式。

4. 根式的性質：若 A 、 B 均為有理式，且其值皆為正數， m 、 n 皆為正整數，則

有理化因式：若兩個根式的乘積是有理式，則稱這兩個根式互為有理化因式。

6. 二重根式的化簡：
b ， y ab 且 a 0 ，則 。

第 3 章　方程式

3-1 多項方程式

1. 一元二次方程式 ax ² bx + (1) b ² - 4 ac 0 ：有兩相異實根，可利用十字交乘法或代入公式求解。

(2) b ² - 4 ac 0 ：有兩相等實根， （重根）。

(3) b ² - 4 ac 0 ：無實根。

2. 根與係數的關係：
若 a 、 b 為一元二次方程式 ax ² 0 之兩根，則
3. 一次因式檢驗定理：
( x ) = a _n x ⁿ + a _{n 1} x ⁿ + a ₁ x a ₀ 為一個整係數 n 次多項式，若整係數一次式 ax b 是 f ( x ) 的因式，且 a 、 b 互質，則 a | a _n 且 b | a ₀ 。

4. 一元高次方程式的解法：
可利用一次因式檢驗定理或因式分解公式，將其分解為一次或二次因式的乘積，即可求出其解。

3-2 二元一次聯立方程式與二階行列式

1. 聯立方程式 解的幾何意義：

(1) 若 a ₁ ： a ₂ b ₁ ： b ₂ ，則聯立方程式恰有一組解 ( x ₀ , y ₀ ) ，表此聯立方程式所對應的兩直線恰交於一點 ( x ₀ , y ₀ ) 。

(2) 若 a ₁ ： a ₂ b ₁ ： b ₂ c ₁ ： c ₂ ，則聯立方程式有無限多組解，表此聯立方程式所對應的兩直線重合。

(3) 若 a ₁ ： a ₂ b ₁ ： b ₂ c ₁ ： c ₂ ，則聯立方程式無解，表此聯立方程式所對應的兩直線平行。

2. 二階行列式：
符號 表示 ad bc ，且稱此符號為二階行列式。

3. 二元一次方程組的行列式解：
方程組 中
令 ， ， ，則

(1) D 0 ，方程組恰有一組解： ， 。

(2) D 0 ，但 D _x 0 或 D _y 0 ，方程組無解。

(3) D 0 且 D _x 0 ，方程組有無限多組解。

3-3 三階行列式與 Cramer 公式

1. 三階行列式：
符號 表示 a ₁ b ₂ c ₃ a ₂ b ₃ c ₁ + a ₃ b ₁ c ₂ a ₃ b ₂ c ₁ - a ₁ b ₃ c ₂ a ₂ b ₁ c ₃ ，且稱此符號為三階行列式。

2. 三階行列式的降階：
三階行列式的值等於它任何一行（或列）的各元與其對應的餘因式之乘積的和。

3. 行列式的性質：

(1) 行列依序互換，其值不變。

(2) 任意兩行（列）對調，其值變號。

(3) 任一行（列）可提出其公因數。

(4) 任一行（列）的元素均為 0 ，其值為 0 。

任兩行（列）的元素對應相同或成比例，其值為 0 。

某一行（列）的元素若由兩個元所組成，則可分成兩個行列式之和。

(7) 將任一行（列）的 k 倍加到另一行（列），其值不變。

4. Cramer （克拉瑪）公式：
0 時，方程組恰有一組解：

第 4 章　不等式及其應用

4-1 一元二次不等式

1. 一元一次不等式的解法與圖示：
不等式 ax 0 （ a 0 ）的解為

(1) 若 a 0 ，則 。

(2) 若 a 0 ，則 。

2. 設 a 0 ，一元二次方程式 ax ² bx + (1) 當 b ² 0 時，有兩相異實根 a 、 b ，令 a ? ax ² 0 的解為 x ? ax ² 0 的解為 a ? ax ² 0 的解為 x b 或 x ? ax ² 0 的解為 a 當 b ² 4 ac = 0 時，有相等實根，即 a ? ax ² 0 的解為任意實數
? ax ² 0 的解為不等於 a 的任意實數
? ax ² 0 的解為 x ? ax ² 0 為無解

當 b ² 0 時，沒有實根， 則
? ax ² 0 的解為任意實數
? ax ² 0 的解為任意實數
? ax ² 0 為無解
? ax ² 0 為無解

4-2 絕對不等式

1. 算幾不等式：
設 a ₁ , a ₂ , … , a _n 為 n 個正實數， n 且當等號成立時， a ₁ a ₂ = = a _n 。

2. 柯西不等式：
設 a ₁ , a ₂ , … , a _n ， b ₁ , b ₂ , … , b _n 是 2 n 個實數，則
( a ₁ ² + a ₂ ² + a _n ² )( b ₁ ² b ₂ ² + b _n ² ) ( a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a _n b _n ) ²
且當等號成立時， a ₁ ： b ₁ a ₂ ： b ₂ = a _n ： b _n 。

4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

1. 設 a 0 ，直線 L 表方程式 ax by + 0 之圖形，則不等式

(1) ax + by 0 的圖形表直線 L 之右側半平面。

(2) ax + by 0 的圖形表直線 L 之右側半平面及直線 L 。

(3) ax + by 0 的圖形表直線 L 之左側半平面。

(4) ax + by 0 的圖形表直線 L 之左側半平面及直線 L 。

2. 設平行於 x 軸的直線 L 表方程式 y k 之圖形，則不等式

(1) y > k 的圖形表直線 L 之上方半平面。

(2) y ³ k 的圖形表直線 L 之上方半平面及直線 L 。

(3) y < k 的圖形表直線 L 之下方半平面。

(4) y £ k 的圖形表直線 L 之下方半平面及直線 L 。

二元一次聯立不等式的圖形為各不等式之圖形的共同部分。

4. 線性規劃問題求解之一般步驟為

(1) 將題目資料列成簡明的表。

依題意列出限制條件，以聯立不等式表示。

圖解限制條件（聯立不等式），畫出可行解區域並求出頂點坐標。

(4) 依題意列出目標函數，通常為 x 、 y 的一次式。

求出可行解區域頂點所對應的目標函數值，檢驗其最大值或最小值。

數學 B(III)

第 1 章　排列組合

1-1 乘法原理與樹狀圖

1. 加法原理：
若完成某件事可分成 k 個類別，且每個類別不同時發生，而第 i 個類別有 m _i （ i 1,2, … , k ）種方法，則完成此件事的方法數共有 m ₁ + m _k 種。

2. 乘法原理：
設完成某件事須經過 k 個步驟，且每個步驟互不影響，而完成第 i 個步驟有 m _i （ i 1,2, … , k ）種方法，則完成此件事的方法數共有 m ₁ ´ m _k 種。

1-2 排列

1. 設 n 為自然數，符號「 n ! 」讀作「 n 階乘」，規定
n ! = ( n - ( n - 2. 相異物的直線排列：
自 n 件相異物中，任取 m 件（ 1 n ），不許重複，其直線排列數為
n 時，上式為
3. 有相同物的直線排列：
設 n 件物品中，共有 k 類，第一類有 m ₁ 件，第二類有 m ₂ 件，…，第 k 類有 m _k 件，且 m ₁ + m _k n ，則將此 n 件物品排成一列，共有 種方法。

1-3 重複排列

1. 重複排列：
自 n 類物品中，每類至少有 m 件（ m 1 ），則任選 m 件的重複排列數為 n ^m 。

2. 環狀排列：
自 n 件相異物中，任取 m 件（ m n 且不重複）作環狀排列，其排列數有 。
n 時，其排列數為 。

1-4 組合

1. 不可重複的組合：
自 n 件相異物中，每次取 m 件（ 1 n ）為一組，其組合數為
(1) 。

(2) 。

2. 巴斯卡定理：
若 m 、 n 為自然數且 1 1 ，則 。

1-5 重複組合

1. 重複組合：

(1) m 件相同物，全部分給 n 個人，每人可兼得的分法有 種。

(2) 方程式 x ₁ x ₂ + + x _n m 的非負整數解組數有 組。

(3) 自 n 類不同物品中，每類至少 m 個，每次取 m 個為一組，若各組中每類物品皆可重複選取，則在 n 類物品中取 m 件的重複組合數為 種。

2. 組合總數：

(1) 相異物的組合總數：自 n 件相異物中，每次至少取一件的組合總數為 2 ⁿ (2) 不盡相異物的組合總數： n 件物品中，其中 m ₁ 件相同， m ₂ 件相同，…， m _k 件相同，且 n m ₁ + m ₂ + m _k ，則自其中至少取一件的組合總數為
( m ₁ + 1)( m ₂ + 1) … ( m _k

1-6 二項式定理

二項式定理：

對於任意正整數 n ，恆有

(1) 展開式中共有 n (2) 一般項為第 k 1 項，即 。

(1) 已知二角一邊（ A . A . S . 或 A . S . A . ）時，可利用正弦定理求出另二邊。

(2) 已知二邊一夾角（ S . A . S . ）時，可由餘弦定理求出第三邊，再利用正弦定理求出另外二角。

(3) 已知三邊長（ S . S . S . ）時，可由餘弦定理求出未知的三個角。

(4) 已知二邊及一對角（ S . S . A . ）時，
? 由餘弦定理可得一個一元二次方程式，則由此方程式的解，可知三角形可能有二解、
一解或無解。
? 若由正弦定理，則先求出另外的角，其解亦可能為二解、一解或無解。

2. 三角測量：

認識測量用的名詞，如：仰角、俯角及方位等。

能利用作圖，將測量的問題轉化成解三角形的問題。

第 2 章　二次曲線

2-1 圓方程式

1. 圓的標準式：
以 Q ( h , k ) 為圓心， r （ r 0 ）為半徑之圓的方程式為 ( x h ) ² + ( y - k ) ² = 2. 圓的一般式：
凡是圓，必可表為 x ² y ² + dx + ey + 0 的形式，但此種形式的方程式，其圖形有下列三種情形：

(1) 當 d ² e ² - 0 時，方程式表一圓，圓心為 ，半徑為 。

(2) 當 d ² e ² - 4 f = 0 時，方程式表一點 。

(3) 當 d ² e ² - 0 時，方程式無圖形。

3. 點與圓的相關位置：
設點 P ( x ₀ , y ₀ ) ，圓 C ： x ² y ² + dx + ey + (1) x ₀ ² + y ₀ ² dx ₀ + ey ₀ + f > 0 Û P 在圓 C 外部。

(2) x ₀ ² + y ₀ ² dx ₀ + ey ₀ + f = 0 Û P 在圓 C 上。

(3) x ₀ ² + y ₀ ² dx ₀ + ey ₀ + f < 0 Û P 在圓 C 內部。

2-2 圓與直線的關係

1. 判斷圓與直線的相交情況：
設直線 L ： ax by + 0 ，圓 C ： ( x h ) ² + ( y - k ) ² = (1) 令 d 表圓心到直線 L 之距離，即 ，則
r Û 圓 C 與直線 L 不相交。
r Û 圓 C 與直線 L 恰交於一點（相切）。
r Û 圓 C 與直線 L 相交於相異兩點。

(2) 圓 C 與直線 L 的方程式聯立，消去 x 或 y ，可得一個一元二次方程式，令其判別式為 D ，則
0 Û 表圓 C 與直線 L 相交於相異兩點。
0 Û 表圓 C 與直線 L 恰交於一點（相切）。
0 Û 表圓 C 與直線 L 不相交。

2. 學習圓的切線方程式的求法。

3. 自圓 C ： x ² y ² + dx + ey + 0 外一點 P ( x ₁ , y ₁ ) 到圓 C 的切線段長為 。

2-3 拋物線的圖形與標準式

1. 拋物線的定義：
設平面上有一定直線 L 及直線 L 外一定點 F ，則在此平面上到點 F 的距離等於到直線 L 的距離之所有點所成的圖形，稱為拋物線，其中定點 F 為焦點，定直線 L 為準線。

2. 頂點在 ( h , k ) 的拋物線標準式與其圖形之間的關係：

1. 橢圓的定義：
設 F ₁ 與 F ₂ 為平面上的兩相異定點，若定數 ，則在此平面上滿足 的所有點 P 所成的圖形，稱為橢圓，其中定點 F ₁ 與 F ₂ 稱為橢圓的焦點。

2. 中心在 ( h , k ) 的橢圓標準式與其圖形之間的關係：

1. 雙曲線的定義：
設 F ₁ 與 F ₂ 為平面上的兩相異定點，若定數 ，則在此平面上滿足 的所有點 P 所成的圖形，稱為雙曲線，其中定點 F ₁ 與 F ₂ 稱為雙曲線的焦點。

2. 中心在 ( h , k ) 的雙曲線標準式與其圖形之間的關係：