嘿，我来帮你拆解一下这个困惑的核心问题～

首先你这里的关键误解，是混淆了 无穷小的阶 和“等价于0的序列等价类”这两个概念，咱们一步步理清楚：

1. 先明确符号的含义：
   在无穷小微分几何里，$[t]$通常表示由序列$t$（当$t\to0$时）生成的 等价类 ，等价关系一般是基于无穷小的趋近阶——比如两个序列$f(t)$和$g(t)$等价，当且仅当$f(t)-g(t)=o(t^k)$（对某个指定的$k$，在你的例子里看起来是基于$o(t)$的等价）。

2. 你对$A\approx0$的判断是错的：
   你说$t=\sin(t)+o(t)$，这个是对的（因为$\sin t = t - t^3/6 + o(t^3)$，所以$\sin t - t$确实是$o(t)$），所以$[t]=[\sin t]$没问题。但$[t]$这个等价类 并不等价于0 ！因为$t$本身是和$t$同阶的无穷小，$t/t$的极限是1，而等价于0的类应该是那些满足$f(t)=o(t)$的序列（也就是比$t$高阶的无穷小，比如$t ^2$、$t 3$这类）。你把“是无穷小”和“等价于0的等价类”搞混了，$[t]$是无穷小类，但不是0的等价类。

3. 再看乘积的矛盾：
   你说“如果$A\approx0$则$A ^{2\approx0$”，但因为$A$本来就不$\approx0$，这个前提不成立，自然不存在矛盾。而$A} 2=[t]*[t]=[t ^2]$，$t 2$确实是$o(t)$（因为$t ^{2/t=t\to0$），所以$[t} 2]$属于0的等价类，这完全符合逻辑——一个同阶无穷小的平方，会变成更高阶的无穷小，落入0的等价类，这是正常的，不是矛盾。

简单来说，矛盾的根源是你错误地把$[t]$这个同阶无穷小类当成了0的等价类，纠正这个误解之后，整个逻辑就通顺啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mike_bb