内应，本身的性质，还是曲面和R3之间的相对关系

对于蚂蚁是无法跳到三维空间观察孔洞。

在曲面上画圈，有些环线可以通过渐变变为一个点。如果是小猫，就会出现无法缩成点，这个不需要R3信息，只需要surface本身的信息。

对于所有可定向的，紧凑的曲面，可以通过他们的亏格和边界数目进行分类。亏格就是有多少个环柄。对于曲面拓扑，可定向性，亏格数目，边界数目。

下面看一个环柄数目以及方向的例子

如图所示。给定一个封闭曲面，封闭曲面把三维空间分成两部分，一部分是外部一部分是内部。每个环柄上有两个圈，一个红色圈一个绿色圈。红色的圈在外部可以缩成一个点。在内部没办法缩成一个点。绿色的圈刚刚好相反，在内部可以缩成一个点，在外部无法缩成一个点。红圈称为隧道圈，tunnel loop，绿圈称为环柄圈，handle loop。计算部署的话，第一个任务是找到这些圈，

如图所示：在医学图像上。我们经常需要通过医学图像来重建器官的曲面。这边显示的是人的一段大肠。直肠曲面。我们用ct得到的是很多直肠的切片。然后用图像segmentation的方法。把图像分成内部和外部。在边缘处建立曲面。但是图像处理的话。经常有大量的错误，如果一个像素出错。就会使整体的曲面拓扑发生错误，所以大肠通常使桶装的，拓扑非常简单。但是数值处理之后有很多虚假的这种环柄圈和隧道圈。这些虚假的地方用人眼非常难以看到。所以必须要用计算拓扑的方法。找到这些圈。

如图使真实数据生成的大肠曲面，用人眼很难看到曲面上的环柄圈以及隧道圈，但是电脑可以轻易的识别出来。很多圈藏在曲面内部，如果不用计算机的话对于真人来讲使没有可能查到的。但是用计算机可以很容易找到这些虚假的地方。西门子癌症检测技术中。都用到这个方法。

基本程序库，

philosophy

代数拓扑的主要思想。给一个拓扑空间。我们的空间定义各种各样的群。通过研究这些群的性质。来反映出空间拓扑的性质。换句话说我们位拓扑空间拍了一张照片，照片的底片是代数的，代数这个词和算法这个词是同义的。都是可计算的意思。代数的好处是可以用计算机来处理。拓扑问题很复杂。好多时候只能依靠人类的想象。但是有一个concrete实物能计算的话。就把这个难度降低了。但是这个过程。没有办法把所有的结构保持。所以会丧失掉一些信息。所以这是代数拓扑的一个能力的缺陷。所以这是它背后总体的一个思想。

最重要的就是fundamental group基本群的概念，基本群就是在曲面上固定一个点。然后考察经过这个点的所有的曲线，所有的圈，然后这些圈。在同伦homotopy意义下的进行分类。这些同伦类，构成一个代数结构的所谓的群上。然后这个群的话。我们可以看到原来拓扑的一些信息。

如图所示。什么叫同伦呢？上图显示了一个实例。我们得到一个映射。从0，1这个单位区间。映射到曲面上。得到曲面上的一条路径。如果我们能把这个路径从一条逐渐的变化到另外一条。不离开这个曲面。我们说这两个曲线是同伦的。后面数学定义又说，从曲线1开始到曲线2终了（这里其实是曲线1的形状是起点，变换成曲线2是终了，并不是沿着曲线路径从1到2），（后面是错误理解）这不就是圈么。如果两条曲线形成一个圈，那么方向势必相反，如果方向相反又如何逐渐变换到另一条曲线呢，后面又扯什么圈相乘，逆计算的。好奇怪。而且讨论曲线的时候没有方向，讨论圈又有方向，太乱了。

上图是同伦的数学定义。一条曲线实际是一个单位区间的连续映射，从单位区间映射到曲面上。一个封闭曲线，圈，曲线的起点和重点重合都是base point。如果给定两个曲线。连接他们的话有一种曲线。从第一个曲线开始到第二个曲线终了。当我们变换同一个参数的时候。会得到不同的光滑曲线，如果这个映射整体存在的话。我们说这两条曲线彼此是同伦等价的。（问题，为什么要连接，怎么连接，不是逐渐变换么。一团乱麻，错误理解）这里描述确实有点疑惑，经查证，应该是曲线1是一个形状，曲线2是一个形状，这里描述的连接他们的曲线，其实就是从曲线1通过一种变换，逐渐变换成曲线二时这些曲线运动的路径，为同伦。例如f(0,t)=γ1（t）即从γ1开始变换t为中间态，如果t为1时，则变为γ2，f（1，t）则为从γ2变为γ1的路径中间态，t为0则变成了γ1，因此才有了后面的互为同伦等价。

（这一段时错误理解）从上图看到描述同伦的时候，F（family）：[0,1]x[0,1]是两个loop的乘积，根据后面描述的乘积来看，相乘之后两个曲线形成一个loop。更改t只是修改了起点终点，因此可以说成，如果两条曲线同伦，那么他们经过同一个点。并且乘积成立。讨论loop乘积的时候前提是他们同伦。乘积之后更改t，形成的新曲线，只是更改了两个loop所占的比例

非常容易证明，如果第一条曲线和第二条曲线同伦，当且仅当第二条曲线和第一条曲线同伦。所以我们可以把曲面上所有的圈根据同伦分类。每个类用方括号表示[γ]，我们定义个两个圈的乘积。

，和一个圈的逆，如下图所示。给一个圈，它是从黑线开始走，离开p再回到p。逆就是方向取反。

数学表示，就是

monius band 魔比斯环区分下面两个surface人可以很轻松的进行区分，一个包括了孔洞环面对于生活在二维曲面表面的蚂蚁是无法区分的，如果感受内应还是外应关系内应，本身的性质，还是曲面和R3之间的相对关系对于蚂蚁是无法跳到三维空间观察孔洞。在曲面上画圈，有些环线可以通过渐变变为一个点。如果是小猫，就会出现无法缩成点，这个不需要R3信息，只需要surface本身的信息。对于所有可定向的，紧凑的曲面，可以通过他们的亏格和边界数目进行分类。亏格就是有多少个环柄。对于曲面拓扑 三维曲面上的两个相交的弧线，进行angle preserve变换之后在变换后的圆盘上，两条弧线的角度依然相等这是保 形 变换 在圆盘上绘制圆圈，将这些圆圈映射到曲面上，圆圈 形 状不变在surface上面依然是圆圈，大小变化但是 形 状不变，保 形 变换，preserve local shapes conformal mapping quasi-conformal mapping 拟拱 形 变换 平面圆盘上的圆 形 变换到surface是椭圆，一般映射是把椭圆映射成圆，而 共 形 映射是把圆