高考数学之一元二次不等式的解法

高考数学之一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．

高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度：

(1)解一元二次不等式；

(2)已知一元二次不等式的解集求参数．

[典例引领]

解下列不等式：

(1)－2 x 2＋3 x ＋2<0；

(2)12 x 2－ ax > a 2( a ∈ R )．

【解】　(1)－2 x 2＋3 x ＋2<0，即为2 x 2－3 x －2>0.

Δ ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0.

方程2 x 2－3 x －2＝0的两实根为 x 1＝－， x 2＝2.

所以2 x 2－3 x －2>0的解集为{ x | x <－或 x >2}，

即原不等式的解集为{ x | x <－或 x >2}．

(2)因为12 x 2－ ax > a 2，

所以12 x 2－ ax － a 2>0，即(4 x ＋ a )(3 x － a )>0.

令(4 x ＋ a )(3 x － a )＝0，解得 x 1＝－， x 2＝.

①当 a >0时，－<，解集为；

②当 a ＝0时， x 2>0，解集为{ x | x ∈ R ，且 x ≠0}；

③当 a <0时，－>，解集为.

综上所述：当 a >0时，不等式的解集为；当 a ＝0时，不等式的解集为{ x | x ∈ R ，且 x ≠0}；当 a <0时，不等式的解集为.

[题点通关]

角度一　解一元二次不等式

1．解下列不等式：

(1)－3 x 2－2 x ＋8≥0；

(2)0< x 2－ x －2≤4.

[解] (1)原不等式可化为3 x 2＋2 x －8≤0，

即(3 x －4)( x ＋2)≤0.解得－2≤ x ≤，

所以原不等式的解集为.

(2)原不等式等价于

⇔

⇔⇔

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{ x |－2≤ x <－1或2< x ≤3}．

角度二　已知一元二次不等式的解集求参数

2．已知关于 x 的不等式 ax 2＋2 x ＋ c >0的解集为，则不等式－ cx 2＋2 x － a >0的解集为______．

[解析] 依题意知，

所以解得 a ＝－12， c ＝2，

所以不等式－ cx 2＋2 x － a >0，

即为－2 x 2＋2 x ＋12>0，即 x 2－ x －6<0，

解得－2< x <3.

所以不等式的解集为(－2，3)．

[答案] (－2，3)