1. 线性代数知识图谱

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数

非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

行列式非零 $\Leftrightarrow$ 矩阵可逆 $\Leftrightarrow$ 方阵满秩 $\Leftrightarrow$ 向量组满秩（向量个数等于维数）。

2.5 行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等
注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号
推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.
推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和.

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．

2.6 计算行列式的方法

1）利用定义
2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值

定理中包含着三个结论：
1）方程组有解；（解的存在性）
2）解是唯一的；（解的唯一性）
3）解可以由公式(2)给出.

定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.
定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.

1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件
1) 方程个数等于未知量个数；
2) 系数行列式不等于零.

2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．

2.8 行列式按行(列)展开

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.

定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．

4.5.2 向量空间的概念

定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果
① 集合 V 非空，
② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，
具体地说，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭）
若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭）
那么就称集合 V 为向量空间．

4.5.3 子空间的概念

定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间．

4.5.4 向量空间的基的概念

5. 相似矩阵及二次型

5.1 向量的内积、长度及正交性

5.1.1 向量的内积

5.1.2 向量的长度或范数

单位向量：长度为1的向量。

5.1.3 向量的正交性

向量正交：向量内积为0。

1. 线性代数知识图谱线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是...

https://www.cnblogs.com/hhddcpp/p/5742717.html 出处：http://blog. csdn .net/han_xiaoyang/article/details/51629242 http://blog. csdn .net/longxinchen_ml/article/details/51629328 1基本概念和符号 线性代数 可以对一组线性方程进行简洁...

① https://blog. csdn .net/qq_16555103/article/details/88378009 ----------几个重要的矩阵点积 ② AB等价、 AB相似、 AB 合同。 ③ C’C一定是对称矩阵（C’C的转置 == C’C）一、 线性代数 基本知识： 1、线性：

原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748 矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母表示向量，大写字母X表示矩阵。首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义...

给你一个递推公式：f(x)=a*f(x-2)+b*f(x-1)+c并给你f(1),f(2)的值，请求出f(n)的值，由于f(n)的值可能过大，求出f(n)对1000007取模后的值。注意:-1对3取模后等于2输入第一行是一个整数T,表示测试数据的组数(T<=10000) 随后每行有六个整数，分别表示f(1),f(2),a,b,c,n的值。其中0<=f(1),f(2)<100,-10

解: B=（ A-E）² （ A-E）（ A²+A+E）=A³-E=2E-E=E ∴（ A-E）²（ A²+A+E）²=（ A-E）E（ A²+A+E）=E，即B（ A²+A+E）²=E ∴B⁻¹=（

矩阵是 线性代数 中的重要概念，它是一个由数个数排成的矩形阵列。矩阵可以用来表示线性方程组、线性变换等，是 线性代数 中的基础工具。矩阵的加法和数乘：矩阵的加法和数乘满足分配律、结合律和交换律。矩阵的乘法：矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足结合律，但不满足交换律。矩阵的转置：矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。矩阵的逆：对于一个可逆矩阵，存在一个逆矩阵，使得两个矩阵相乘得到单位矩阵。矩阵的行列式：矩阵的行列式是一个标量，它可以用来判断矩阵是否可逆。矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以用来判断矩阵是否可逆。特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的不变量，它们可以用来描述矩阵的性质。