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最近在看线性代数，对于其中子空间(subspace)的概念很是不理解？
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我原来也有和你一样的问题，现在感觉慢慢明白了一点点
但是，现在我反思一下自己不明白的原因，是因为我对线性空间的概念一直理解的不透彻。
什么是线性空间？即对于加法和数乘封闭的向量的一个集合！
比如平面上x轴和y轴上面两个单位向量，他们在一个平面上
他们线性组合（加法和数乘）可以铺满整个平面！！！！
三维（可以铺满整个三维空间）
四维，......n维。
所以对向量的线性组合（加法和数乘）封闭就是线性空间
既然线性空间就是这么定义的，子空间这么定义也十分自然呀，不这么定义反而觉得会奇怪
觉得谈子空间一定要针对其所在的线性空间来谈。一个七维空间的六维子空间和一个六维空间的六维子空间是不一样的感觉
自己感觉关键是为什么要定义子空间！
应该是很有用吧~~~~
子空间有什么作用?感觉子空间和基还有矩阵的秩有着深刻联系。在求一个矩阵的列向量所在的子空间的维数的时候，就是通过判断矩阵的秩来判断的。如何构造这个矩阵子空间也是通过利用列向量的基来的。然后还可以根据子空间来扩充基，最终构造出来整个线性空间。
这对于很多事情就容易理解了。
为什么有时候Ax=b是无解的。因为Ax可以看作A的列向量的线性组合，然后A不是满秩矩阵，所以A的列向量的线性组合构成了线性空间的某个子空间，而b这个向量没在这个子空间里面，所以就没有解了。
比如：三维空间（立体）的一个二维子空间是一个过原点的平面，即Ax，但是b在三维线性空间里面却不在这个平面上面，即不在这个子空间上面。所以就无解了。
再举一个例子，好像也就是通过线性代数来阐释最小二乘法，还是上面的问题，既然上面的是无解的，那么我能不能求出一个最接近的结果呢？答案是可以的，那就让b在这个二维子空间上面投影（线性组合，因为b在平面上的投影肯定在平面上），这样就肯定有解了，而且这个解是最接近Ax=b中的x的。
还有Ax=0；矩阵A的列向量组成的子空间，和x组成的子空间合起来正好是整个线性空间！
1.子空间之所以这样定义，其实和定义线性空间的思维模式是一样的，对于一个空间，我们希望空间内的元素经过线性组合之后仍然在该空间内（封闭性），那么这样的空间就是一个线性（子）空间。如何能够实现线性组合仍在空间内呢？那么只要元素满足两条性质，就是你列的那两条。一个简单的推理：假设 x_1,x_2 都在空间内，那么 k_1x_1 由性质2就知道也在空间内，相应的 k_2x_2 也在空间内，再有性质1就知道 k_1x_1+k_2x_2 在空间内，这样就证明了线性组合仍在空间内，而证明的基石就是列出的那两条性质。你所说的哪里体现出“子”的性质，其实就在于封闭性，这就是“子”的性质，那么你肯定会问这与原空间的定义有什么区别，其实没啥区别，原空间也是原空间的一个子空间，只不过这个子空间是最大的子空间，而最小的子空间是0空间，在这之间有一系列子空间，如直线，平面等等，唯一一点就是这些子空间的标志性特征在于它们都是封闭的线性空间，而类似两条直线或者两个平面构成的元素集就不可以称为一个子空间，其实稍微说得深一些，任何有限个子空间的并集都不可能构成原空间，这是外话。在学习线性代数的过程中，一定要牢牢把握线性组合这一概念，这是核心概念，也是标志着线性空间的核心性质。
2.子空间有很多的应用，但我觉得最广泛的应用还是来自于奇异值分解(SVD)，初学线性代数可能不会接触到这一方法，但是我可以直观地和你说明什么是奇异值分解以及其与子空间的关系。
假如我们在三维空间内有一些离散分布的数据点，但是这些数据点近似分布在一个二维子平面内，可能有一些偏差，那么奇异值分解所做的就是寻找这个最佳的二维子平面，从而拟合三维空间的数据点分布，这种用子空间去拟合数据的方式实际上就是一般说的线性拟合方法，这里就涉及到了子空间，下面的图直观感受一下svd。
在上图中，蓝色的数据点近似分布在一个二维平面内，svd寻找到了表示这个二维平面的两个基向量，就是左图中红色的箭头，然后将数据点投影到这个平面内得到右图所示的数据点近似结果。