a
2
+ b
2
≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍）
当a、b 分别大于0时，上式可变为a+b ≥2√ab
有可分以下几种情况：
⑴对实数a,b，有a
2
+b
2
≥2ab （
当且仅当
a=b时取“=”号），a
2
+b
2
≥-2ab
⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√ab≥0，即（a+b)/2≥√ab≥0
⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)
⑸对
非负数
a,b，有a
2
+b
2
≥2ab≥0
⑹对非负数a,b，有a
2
+b
2
≥[(a+b)
2
]/2≥2ab
⑺对非负数a,b,c，有a
2
+b
2
+c
2
≥[(a+b+c)
2
]/3
⑻对非负数a,b,c，有a
2
+b
2
+c
2
≥ab+bc+ac
⑼对非负数a,b，有a
2
+ab+b
2
≥[3(a+b)
2
]/4
⑽对实数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)
1/3
另：
√[(a
2
+ b
2
)/2] ≥（a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
设a，b是两个正数，
M
2
=√[(a
2
+b
2
)/2]，A=(a+b)/2，G=√ab，H=2/(1/a+1/b)
分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，
几何平均
和调和平均。证明： M
2
≥A≥G≥H。
证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。
E
i
F
i
(i=1,2,3,4）是平行于梯形ABCD的
底边
且被梯形两腰所截的线段。
如果E
1
F
1
分梯形为等积的两部分，那么
E
1
F
1
=√[(a
2
+b
2
)/2]。
如果E
2
F
2
分梯形的中位线，那么
E
2
F
2
=(a+b)/2。
E
3
F
3
=√ab。
如果E
4
F
4
通过梯形两
对角线
交点的线段，那么
E
4
F
4
=2/(1/a+1/b）。
从图
中直观地证明E
1
F
1
≥E
2
F
2
≥E
3
F
3
≥E
4
F
4
，当a=b时取
等号
。
对于n元，√[(x
1
2
+x
2
2
+...+x
n
2
）/n]≥(x
1
+x
2
+...+x
n
)/n≥(x
1
x
2
...x
n
)
1/n
≥n/[(1/x
1
)+(1/x
2
)+...+(1/x
n
)]
1）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≥ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
当且仅仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
2）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≤ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n为正整数，-1<m<0
当且只有当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
（
Holder
不等式）：∑[i=1，n]ai*bi≤（∑[i=1，n]ai^p）^（1/p) * （∑[i=1,n]bi^q)^（1/q)
