代数几何( Géométrie Algébrique )的发展状况——复几何与算术几何的进展

原文的题目是代数几何( Géométrie Algébrique ) , 在保留原文框架的基础上 , 我们在转载过程中有些地方小编进行了小改动 , 如果您对代数几何的全貌有了解的话是不会影响本文的阅读的 .

零、引言

代数几何的发展经历了几个不同的时期 , 20世纪初属于它的发现时期 , 当时为了迎合几何直观就牺牲了严格性 . 而从 Zariski 和 Weil 的工作中我们看到了代数几何使用了严格的数学语言但缺少几何直观 , 后来到 Serre 和 Grothendieck 手里代数几何的发展到达了顶点 , 他们创立了一种既严格又能操作的语言 . 70年代之后 , 人们看到了至少在复几何中是向研究具体问题的回归, 这表明现代工具使得有可能处理经典几何中难以解决的问题 . 另一方面 , 算术几何现在已建立在各种适合的上同调理论的基础上 , 这些上同调之间的相互影响与它们给出的 Galois 表示正是代数几何目前研究的中心 .

为了叙述方便 , 我们把这些主题分次不同的段落 , 这个划分显然是比较随意的 , 并不能正确反映现实 . 但下面的这些主题之间却有着广泛的怜惜 , 而且代数几何与数学的其他分支之间也有着深刻的联系 .

一、复几何

1.代数曲线

代数曲线论近期的一个重要进展就是经典问题 Brill-Noether 猜想的解决 , 这是由 Griffiths 和 Harris 解决的 . 该问题是关于一般曲线上给定次数和维数的线性系的集合的维数的计算 , 可以认为现在对一般曲线的情形已经有了足够的认识 , 然而还留下几个问题 , 比如一般公设性 , 即给定射影空间中一条足够一般的曲线 , 先验地确定具有给定的次数 , 而且包含这条曲线的超曲面的个数 . 又如 \mathbb{P}^3 或更一般的 \mathbb{P}^n 中曲线的研究已经取得了进展 , 即目前已知一条这样的曲线所有可能的亏格 , 这是由 Gruson-Peskine 提出的 . 还有一些问题 , 即一个给定次数的曲面上的非平面曲线的亏格的上界或法丛的研究 . 另一方面 , 空间曲线的参量空间又称 Hilbert 概形的构造也知之甚少 .

甚至平面的曲线的情形也没有得到很好的理解 , 关于 Severi 的给定次数且具体确定个数的二重点的不可约平面曲线簇的不可约性的断言一直未能证明 , 然而这个断言有一个著名的推论—— Zariski 猜想 , 即 \mathbb{P}^2-C 的基本群是交换群 , 其中 C 是一条具有通常二重点的平面曲线 , 这个却已被 Fulton 和 Deligne 直接证明 .

亏格为 g 的代数曲线的同构类的集合构成一个 3g-3 维代数簇——参量空间(l'espace des Modulus) M_g , 除了小的 g 以外这方面的研究甚少 . Harris 和 Mumford 还给出了一个著名的论断 , 即 g \geq 24 时 M_g 是一般概形 , 特别地这里蕴含一条亏格为 g 的一般曲线不能用 3g-3 个独立的参量来描述 . 参量空间 M_g 的拓扑提出了一些有趣的难题 , 利用 Thurston 的方法 , Harer 和 Miller 已经做出了一些振奋人心的结果 , 但在这个领域中还有许多问题待解决 .

2.曲线和 Abel 簇 , \theta 函数

近期的一项重大突破就是发现了产生于物理的一些非线性方程(如 Korteweg-De Vries 方程和 Toda 格等) 与代数曲线及其 Jacobi 簇的几何之间的深刻联系 , 这样就使得某些微分算子代数与一条代数曲线的几何之间的对应( Kriěever 词典) , 从而能借助 \theta 函数型的函数显式地解方程 . 在上述所考虑的方程中 , 某些簇(如 KdV 系统和 KP 系统)具有对称性 , 且在仿射 Lie 代数中可以得到解释 . 其它的方程则来自经典力学 , 特别是完全可积的 Hamilton 系统理论 , 于是就可以归结为这些系统在 Abel 簇上的积分 , 这些簇可作为 Jacobi 簇或 Prym 簇被显式描述 , 因此是一个蓬勃发展的邻域 , 它与数学物理的其它分支有很强的联系 .

上面的结果都被应用于解决一个经典问题—— Schottky 问题 , 即在所有 Abel 簇中如何刻画曲线的 Jacobi 簇 . Novikov 曾猜测当 \theta 函数满足 KP 第一方程足以刻画 Jacobi 簇 , 这个猜测可能过于乐观 , 但已经得到了引人注目的部分结果 , 事实上 Schottky 问题的经典方法(通过 \theta 函数零点的多项式方程来刻画 Jacobi 簇)近期也有进展 .

3.曲面

自从意大利学派提出了代数曲面的一个分类后 , 日本数学家 Kodaira 又把它推广到了紧复曲面 , 这表明可以通过典范系和多重典范系的性质能够分出一些特殊类型的曲面 , 并且能够精确地描述它们(如有理曲面和 K3 曲面等) , 当然还剩下一个几乎囊括一切的大类——一般型曲面 .

一般型曲面在近十年内得到了广泛的研究 , 即对多重典范映射的性质和数值不变量之间的关系已经有了足够的了解 . 但这些曲面的集合目前就好比一个没有显著结构的标本库 , 数学家们已经构造和研究了大量的例子 , 却没有看到具有普遍意义的现象出现 , 这说明在这个领域还缺少一个具有指导性的思想 .

特殊型曲面 , 尤其是 K3 曲面和 Enriques 曲面 , 借助关于周期的深刻结果已经得到了广泛的研究 , 这些曲面的几何(包括自同构和嵌入等)现在已经被广泛认识 , 但参量空间的情况却有所不同 , 它的结构衍生出了一些有趣的问题 , Gieseker 给出了对一般型曲面参量空间是存在的 , 但对于其几何的研究却是一片空白 .

日本学派对开曲面的研究十分有兴趣且得到了非常类似于紧的情形的分类 , 这里提一下 Kogaira 分类在还有一个情形—— \text{VII}_0 型曲面 , 对它的描述近年来已取得了进展 , 然而也遇到了许多问题 .

4. 维数 \geq 3 的簇

曲面的分类对任意维数而言有一个自然推广 , 其重要的工具就是 Kodaira 维数不变量 , 它与多重典范系的性质有关 . 一个簇如果被称为是一般型 , 那么它满足 Kodaira 维数等于其维数 , 否则这个簇就属于特殊型 . 日本学派对簇的类型进行了研究 , 在研究过程中 C_{m,n} 和 C_{m,n}^+ 猜想起着重要的作用 , Kawamata 和 Viehweg 对好几种情形均给出了证明 , 由此得出了维数 \geq 3 的簇的分类轮廓 , 但尚有许多问题有待解决 .

3 维簇的双有理几何比曲面要复杂得多 , 特别地当还不清楚极小模型的等价概念是 , 但由于 Mori 的工作 , 沿着这个方向已经跨出了坚实的一步 , 让我们有希望得到极小模型的存在性 , 只要允许某些简单奇点的存在性 , 即 Mori 已经证明了 3 维簇极小模型的存在性 . 另外两个问题(关于典范环的有限生成性和双有理态射的分解问题)与上述的问题有联系 , 近期也取得了重大进展 , 其中 3 维情形的典范环的有限生成问题已经解决 . 以上这些问题都是十分有趣的问题并具有很强的生命力 , 尽管离完全解决还有一段距离 .

最后提一下由 Iskovskih 和 Mori-Mukai 作出的 Fano 簇(即负典范除子为丰沛的 3 维簇)的完全分类以及 Iskovskih 对某些 Fano 簇的双有理自同构群的研究 , 后一个研究提供了一个关于 Fano 簇的非有理性的判别法 , 另一个判别法则是借助中间 Jacobi 簇 . 总之可以认为有理性问题在 3 维情形时已经初步得到解决 , 但在更高维的情形则没能取得突破 .

5.向量丛

代数向量丛在近几年里已经被广泛的研究 , 主要是对射影空间 \mathbb{P}^n 上的向量丛已经得到了各种结果 , 尤其是 n 比较小和秩也有了一般的方法(如跳跃直线和 monade) . 至于参量空间的一个有趣的问题现在已经有了结果 .

这些问题的强大动力大多来自它与规范场的物理理论的惊人联系 , 如 S_4 上 Yang-Mills 方程的解可由 \mathbb{P}^3 上某些秩 2 向量丛(称为瞬子)所提供 , 目前已经能部分地描述这些向量丛的参量空间 , 但还不清楚对于取定次数的向量丛是否不可约 .

另一个有趣的问题是当 n \geq 5 时 \mathbb{P}^n 上秩 2 的不可分解向量丛的存在性问题 , 它与下面的问题有密切联系 , 即当 n \geq 6 时 \mathbb{P}^n 中的一个余维数为 2 的簇是否为两个超曲面的交 , 尽管 Zak 作出了漂亮的结果 , 但这个问题仍无法解决 .

6.计算几何

这个经典几何的分支是寻求计算 , 如与 5 个给定的圆锥曲线相切的平面圆锥曲线的个数 , 或与一条空间曲线交于 4 个点的割线条数 . 当然重点不在于结果本身 , 而是在于得到这些结果的技巧 .

上面所说的技巧之一就是相交理论 , 它是在适当的 Chow 环中设法定义两个子簇的相交闭链 . 当环绕簇为非奇异簇时 , 就可以直接使用相交理论 , 而在一般情形下 Fulton 的工作提供了一个满意回答 , 从而使得很多计数问题能被解决 , 一个引人注目的应用就是通过 Chern 类的某些多项式的正性来刻画向量丛的丰沛性 .

计数几何的另一经典内容就是完全簇空间的定义 . 这个问题在某些低次数的情形有了一些结果 , 而一般情形则是十分复杂的 . 其它的一些问题 , 比如一个射影簇的多重割线的条数计算或一个浸入的重点数的计算 , 实际上就是对某些几何地定义的簇的特征类的表示 , 关于这些问题已获得了很多结果 , 似乎数学家们已有了相当清楚的了解 .

7. Hodge 理论

非奇异复射影簇 X 的上同调具有一个 Hodge 结构 , 就是一个分解 H^n(X,C)=\displaystyle\bigoplus_{p+q=n}H^{p,q} 且满足 H^{q,p}=\overline{H^{p,q}} . Torelli 问题就是给定 Hodge 结构(这等价于给定 X 上 n -形式的周期矩阵)是否足以决定一个簇 . 这是一个困难而又引人人胜的问题 , 目前还仅仅知道在几种特殊情况下的答案 , 即曲线 , 某些 3 维簇和 K3 曲面 , 这里的最后一个情形现在已完全搞清楚了 , 其结果格外引人注目 , 即给出一个曲面等价于给出其 Hodge 结构 , 这样一来对于 K3 曲面的参量空间有了一个非常确切的超越描述 .

Griffiths 及其学派用不同的方法研究 Torelli 问题 , 他们不是从单独的 Hodge 结构 , 而是从它的无穷小形变来重新构造簇 . 事实表明这种方法提供了较易处理的几何对象 , 这个方法使得对几乎所有的超曲面都能证明一般的 Torelli 定理 .

周期映射(即使一个簇与其 Hodge 结构相伴)的研究提出了许多其它问题 , 它成为个非常有趣的课题 .

开簇或奇异簇允许带有混合 Hodge 结构 , 这是通常 Hodge 结构的扩展 . 尽管是关于奇点的内容 , 但必须指出奇异簇的混合 Hodge 结构在退化的研究中起着重要的作用 . 另一方面 \mathscr{D} -模理论的一个主要问题之一就是在奇异簇的相交上同调上定义一个纯 Hodge 结构 .

8.代数闭链

尽管代数簇上余维数为1的闭链——除子的群结构是相当清楚的 , 但余维数 \geq 2 时却并非如此 . 数学家们在这个群上给出了一些等价关系 , 包括有理等价 , 代数等价和同调等价 . 对非奇异代数簇上闭链的群关于上述等价关系的商群的研究是代数几何的一个主要问题 .

闭链群关于有理等价的商群称为 Chow 群 . Chow 群一般是很大的 , 甚至大到不能成为代数群 , 对 0 -闭链的情形 , Roitman 和 Bloch 使上述断言精确化了 , 相反地他们证明了挠子群是具有有理大小的 , 要指出的是甚至对于某些曲面还不知道 0 -闭链的 Chow 群是零还是非常大 .

代数 K -理论给出了 Chow 群的方法并提供了一个上同调解释 . 这个方法尽管使用起来并不总是容易的 , 但是能得到某些结果 , 特别是关于 0 -闭链和余维数为 2 的闭链的结果 .

关于闭链的代数等价则知道得极少 . 一般来说它与同调等价不一般 , 更糟的是 Clemens 发现同调平凡的闭链所成的群模去代数等价之后可能不是有限型的 , 故这个群仍是很神秘的 .

Hodge 理论为闭链的研究提供了一个重要工具——中间 Jacobi簇 . 这个复环面对于闭链所起的作用就像曲线的 Jacobi 簇对其除子所起的作用一样 , 但相应的阐述就更困难 . Griffiths 的作为解决 Hodge 猜想可能的途径而引入的正规函数方法显示出非常丰富的内容 , 尽管对其原始目的不太有效 . 代数闭链和 Hodge 结构之间的关系构成了一个困难但又是基础的课题 , 这个课题在今后几年内将会有所进展 .

最后提一下 Hodge 猜想 , 这个猜想把代数闭链的上同调类刻画为 Hodge 分解的 (p,p) -型有理类 , 目前这个基本猜想毫无进展 . 尽管如此还是应该引述 Deligne 的一个结果 , 尽管这个结果是算术性质的 , 即数域 K 上Abel 簇 (p,p) -型类的概念有一个内在的含义, 与 K 在 C 中的嵌入无关 .

二、算术几何

9. Mordell 猜想

我们以 Faltings 的一个著名结果——Mordell猜想的证明开始 , 即数域上的亏格 \geq 2 的所有曲线都只有有限多个有理点 . 尽管这个定理的叙述非常接近数论 , 但其证明是几何性质的 , 需要利用了后面将阐述的 l -进上同调和 p -进上同调的方法 .

因为 Faltings 没有给出这些解的一个界或高度 , 从这个意义上来讲他的证明不是有效的 , 所以研究这种界是一个很有趣的问题 .

10. l -进上同调

首先回顾一下 Deligne 在1973年证明的 Weil 猜想 , 它计算了有限域上的正常光滑簇上的关于 l -进上同调的 Frobenius 自同态的特征值的模 . Deligne 随后用一个层代替常数系数 Q_l 推广了这个理论 , 即关于 Frobenius 特征值的对层上的点的假设可以导出上同调的类似的整体性质 .

这些结果对于奇异簇仍然成立 , 此时由 Goresky-Mac Pherson 的拓扑倒错性而引入的倒错层已被证实是基本的结果 . 它允许我们象在复数情形一样定义一个相交复形 , 这也是一个倒错层并且它的上同调作为关键结果的 Gabber 的纯粹性定理使得有可能控制一大类倒错层(特别是相交复形)的Frobenius特征值 . 关于这种层的上同调有一些惊人的推论 , 如分解定理和 Lefschetz 定理等 .

现在在 l -进层论与复簇上的 \mathscr{D} -模理论之间有一个富有启发性的词典 , 那是一个富有潜力的正在蓬勃发展的领域 , 关于 $l-进层的 Fourier 变换的发现就是一个很好的例子且这个变换具有引人注目的性质 , 这些性质使得有可能如同 Weil 猜想一样给出在数论中自然出现的一些三角和的上界 .

Hodge 猜想的 l -进等价就是 Tate 猜想 , 它是通过在 Galois 群下不变的性质来刻画代数上同调的类 , 这里基域是有限域或数域 . 在一般情况下这个猜想无法解决 , 但关于数域上的 Abel 簇的这种重要特殊情形已被 Faltings 证明 , 这是证明 Mordell 猜想的关键的一步 , 另一种非常特殊的情形就是有限域上的 K3 曲面 , 在几乎所有的情况都被证明了 .

然后我们需要指出 , 开簇上的 l -进上同调还了解得极少 , 在完备簇时已被认为是经典的结论—— Frobenius 特征多项式的有理性不依赖于 l 都还不清楚且看上去是极其困难的 .

11. p -进上同调

现在有一个使用很方便的结晶上同调的定义 , 至少在光滑完备簇上是如此 , 但在开簇的情形还不清楚 , 即使某些问题还有待于阐明 , 比如提升和除幂的相关性等 , 其实我们已经有了相当合适的理论 , 它避免了特征 p 的微分运算的基础 . 人们可以期望建立特征 p 下的 \mathscr{D} 模的一些理论 , 并得到 \mathscr{D} 模和 p -进层之间的一个字典 , 就如同复数域上一样 .

类似于 Hodge 理论 , 结晶上同调使得我们能够定义周期的概念 , 并提出 Torelli 问题 . 这个问题仅仅在很特殊的簇上进行了研究 , 如在 K3 曲面上 .

但 l -进上同调与 p -进上同调的相互关系无疑是一个十分有前途的领域 . 算术几何的重大向画之一就是 Galois 表示的方法 , 给定局部域或数域 K 上的簇 X , 并想办法了解 \overline{K}/K 的 Galois 群在 X 的 l -进上同调中的表示 . 当 l 等于剩余域的特征时就必需联系由平展上同调 , 结晶上同调和 de Rham 上同调所赋予的各不相同的结构 . 这些问题由于 Fontaine 的工作和 Bloch-Gabber-Kato 对一大类簇即通常簇的 Hodge-Tate分解(类似于用 Galois 表示定义的 Hodge 分解的结构)存在性的证明而有所进展 . 但是在这个内容十分丰富的课题中仍有很多工作有待于推进 .

12. 对自守形式的应用

这里的相互作用源于与某些代数簇相关联的算术函数( \zeta 函数和 L 函数)允许构造自守函数 , 这是 Langlands 的非常一般的猜测的一个方面 . 而起着本质作用的是 Shimura 簇 , 这是对称 Hermite 域关于算术群的商簇 , Shimura 簇具有定义在数域上这个性质 , 某些 Shimura 簇可以看作具有附加构造(包括motif 以及 Hodge闭链等)的 Abel 簇的参量空间 . 这个理论的主要问题之一就是典范模型(即定义在与所研究的情形有关的数域上)的存在性 , 它是被 Borovoi 解决的 . 尽管如此 Shimura 簇的研究提出许多深刻的问题而这仅仅是一个开端 , 最后还要提一下 Deligne 和 Beilinson 关于 L 函数的整点值的猜想 .

13.具体算术几何

数学家们希望把经典代数几何的结果推广到特征 p 的情形 , 目前已经得到了曲面的一个分类 , 且这个分类与复数情形相差很小 . 不过一些病态现象还是出现 , 如非闭的全纯形式和 Kodaira 消灭定理的反例 , 这些在更高维的情形几乎没有得到结果 . 事实上已经对一些特殊的曲面进行了研究 , 主要是为上同调理论提供非平凡的例子 .

任意域上的簇的研究是当前一个活跃的领域 , 研究得最多的是有理曲面 , Manin 和 Iskovskih 对此作了分类 , 但仍有很多有趣的问题 , 包括有理性判别 , 有理点的存在性 , Chow 群的结构等 . 我们以一个代数几何在编码理论中的漂亮应用来结束本文 , 即借助于 F_q 上的代数曲线 , Coppa 已定义了一族码 , 它具有一些引人注目的特性且有着应用代数几何的可能性 , 并可以肯定在未来将得到发展 .

三、后记

本文刊载于《数学译林》1992年第11卷第3期 , 它是由法国国家科研中心所写的关于代数几何的近期发展以及与其他数学分支之间的联系 , 事实上原文的来源为《Rapport de Prospective en Mathematiques.Sous la direction de Christion Houzel.Presses du CNRS》 , 由我国的谈胜利和陈志杰首次翻译和校对 .