工程光学（五）——几何光学（基础）
前言
前几篇文章的内容都属于 物理光学 （波动光学）的范畴，从这篇文章开始，介绍 应用光学 部分，这一部分在本系列文章中主要包含三部分： 几何光学 、 像差理论 和 典型光学系统的分析 .本文介绍几何光学的基础部分，主要是 球面系统 和 平面系统 .
几何光学在探究光的传播时一定程度上 忽略光的波动性 ，将光在均匀介质中的传播用直线表示，称之为光线，并通常忽略光的干涉、衍射和偏振现象，但在讨论不同颜色的光和不同折射率的介质时，又常 以波长为线索 考虑其差异，且在分析系统分辨率时也要根据 艾里斑 来分析.
本文结构如下：
- 首先就是从波动光学到几何光学的过渡，介绍 光线 、 光束 的概念，以及与相应的 光波 之间的关系，并介绍几何光学的四个 基本定律 ，并简单介绍 费马原理 .最后介绍关于 成像 的一些概念.
- 然后就通过 单个折射球面 介绍 近轴光学系统 ，并在这部分说明 符号的使用规则 .
- 接着专门对 球面系统 进行分析，包括 单个反射球面 以及由多个球面组成的 共轴球面系统 .分析的内容主要就是 物像位置关系 和三种 放大率 .
- 最后介绍 平面系统 ，包括利用 反射 光成像的 平面镜 和 双平面镜系统 ，以及利用 透射光 成像的 平行平板 .最后详细介绍棱镜，包括 反射棱镜 ， 折射棱镜， 并介绍 光楔 的特性，最后简单介绍 棱镜色散 .
1. 基础知识
1.1 基本概念和定律
在波动光学部分，提到了电磁波的 波长 和频率，但并没进行具体的分析，不同的波长的差异在应用光学中是不可忽略的.为描述方便，对于各种波长的电磁波要有名称，具体分布如下图所示：
但用于划分的具体数字在不同的文献中有不同的记录，这里就不写具体数字了，只表示出大致范围.
在波动光学中，又提到了各种波面，例如平面波，球面波.那么在几何光学中，就借助 光线 和 光束 来描述这些：
本质上，光线指的是能量流动方向所在的直线，即坡印廷矢量 \vec S 所指的方向，而在各向同性均匀介质中， \vec S 与波法线 \vec k 的方向是相同的，因此在这里对光线进行描述的时候，一般指波法线的方向.
光束是由光线构成的，对于平面波，在几何光学中用平行光束来表示，对于球面波，用同心光束来表示.而对于光学系统像差（后面会讲到）的作用非球面的光波，与之对应的是像散光束.如下图所示.
几何光学对光的传播问题总结了四个基本定律，分别是 直线传播定律 、 独立传播定律 、 折射定律 、 反射定律 .
- 直线传播 定律是指光在各向同性的均匀介质中沿直线传播.
- 独立传播 定律是指不同光源发出的光在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播，认为当光交会于一点时，光强简单叠加（不像波动光学那样发生干涉），离开交会点后仍按原来方向传播.
- 折射定律 在波动光学部分已经提到过，这里不再详细介绍.就是 n’\sin I’=n\sin n.
- 反射定律 主要是说两点：反射光线位于由入射光线和界面法线所确定的平面内；反射光和入射光位于法线两侧，反射角与入射角的绝对值相等，符号相反.简单说就是 I’’=-I.
对于入射、折射和反射，通常有如下符号约定：
三个角都用 I 系列字母表示，
对于入射角，用原字母 I ，无标记；对于折射角，用 I’ 表示；对于反射角，用 I’’ 表示.
对于三个角度都用锐角度量，由 光线 转向 法线 ， 顺时针 角度为 正 、 逆时针 角度为 负 .
- 费马原理
光从一点到另一点是沿光程为极值的路径传播的.
在界面是平面的情况下，光线按光程为极小值的路径传播，但光也可能按光程为极大值或常量的路径传播，若界面为曲面，随曲面的性质和曲率，光程可能是极小值、极大值或常量.
例如椭球反射面，根据椭球面的性质，从一个焦点发出的所有光经过反射面后必聚焦于另一个焦点，光程为常量.如下图所示.
1.2 关于成像
光学系统由一系列折射和反射面组成（通常是球面，也有平面和非球面），若它们的曲率中心在同一条直线上，则该光学系统称为 共轴光学系统(symmetrical optical system) ，这条直线称为 光轴(optical axis) .
以下图所示的光学系统为例.
它表示的是点 A 发出一束光束经过光学系统后会聚到 A’ 点.
称A点为 物点(object point) ，称 A’ 点为 像点(image point) .
若物、像是由实际光线指出或被指，则它们是 实物(real object) 和 实像(real image) .
若物、像是由实际光线的延长线相交所指的，则它们是 虚物(virtual object) 和 虚像(virtual image) .
物所在的空间称为 物空间(object space) ，像所在的空间称为 像空间(image space) .
点物所发的光是发散的同心光束，相当于发散的球面波，若它经过光学系统后，形成会聚的同心光束，即会聚的球面波，那么会聚的这个像点称为 完善像点(perfect image) .
应注意：
虚物是为描述和研究方便才定义的，它是由前面的光学系统给出的，不是任意设定的.
虚像不能被屏幕接收，但可以被人眼感受.而实像可以被屏幕接收.
2. 近轴光学(paraxial optics)
下面开始对光学系统进行分析，这还要从光路计算说起.
2.1 基本概念与符号
首先以折射球面为例，介绍一些 基本概念 和规则 符号规则 .
如下图所示， E 是一个球面折射面，半径为 r ，左侧 A 为物点，物空间折射率为 n ， A’ 点为像点，像空间折射率为 n’ .显然， A 与 A’ 都在光轴上.
（几何光学与光学设计领域中，像方参量符号与其对应的物方参量用同一符号表示，只是加撇号，例如 A 和 A’ ）
- 光轴与球面的交点 O 称为 顶点(vertex) .
- 光线与光轴的交点与 O 点的距离统称为截距.其中 AO 的距离 L 为 物方截距(object distance) ； A’O 的距离 L’ 为 像方截距(image distance) .
- 光线与光轴的夹角统称为孔径角，图中 U 为 物方孔径角 ， U’ 为 像方孔径角 .
对于各量的 符号 一般有如下约定：
- 沿轴线段 ：从左至右为正方向，并以顶点 O 为原点.例如图中标注的 -L,L’,r .
- 垂轴线段 ：以光轴为基准，上方为正，下方为负.例如图中标注的 h .
- 相邻两折射面的间隔 ：由前一面的顶点到后一面的顶点，顺光线方向为正，反之为负，通常用 d 来表示.
- 光线 与 光轴 夹角：以锐角度量，由光轴转向光线，顺时针为正，逆时针为负.例如图中标注的 U,U’ .
- 光线 与 法线 的夹角：以锐角度量，由光线转向法线，顺时针为正，逆时针为负.例如图中标注的 I,I’ ，包括图3中的 -I’’ .
- 光轴 与 法线 的夹角：以锐角度量，由光轴转向法线，顺时针为正，逆时针为负.例如图中标注的 \varphi.
- 应注意，在实际标注的时候，所有的长度和角度都应 标记为正数 ，只是认为真正的那个长度或角度可能会出现负数，例如 L 和 U 就是负数.在计算时，也应注意这一点，当不代入数值而只写符号时，在需要的时候要写成 -L 或 -U .在接下来的计算中会体现这一点.
2.2 近轴光学的由来
下面针对这个现象围绕像方截距 L’ 进行详细计算，从物方截距 L 和物方孔径角 U 说起.
- 先考察 \triangle AEC ，由正弦定理， \frac{\sin I}{-L+r}=\frac{\sin -U}{r}.
- 由折射定律， n’\sin I’=n\sin I.
- 由几何关系， \varphi=I+U=I’+U’.
- 综上，在 \triangle A’EC 中，由正弦定理， \frac{\sin I’}{L’-r}=\frac{\sin U’}{r}.
- 即整理出像方截距 L’=r\left(1+\frac{\sin I’}{\sin U’}\right).
这说明每一组 L 和 U 都确定着一个 L’ ，那么当 L 确定时 L’ 是 U 的函数，意味着同心光束经过折射球面后将不是同心光束，情况如下图所示.
这种现象称为 球差(spherical aberration) ，这是球面光学系统成像的固有缺陷.
但是当 U 很小时（一般认为不超过 \pm5° ）， I,I’,U’ 都很小，在这个区称为 近轴区(paraxial region) ，此区域内的光线称为 近轴光线 .
由于这些角度都很小，故可近似地用弧度值代替正弦值来计算，并用相应的小写字母代替.那么上述系列系列计算公式化为
\begin{cases}i=\cfrac{l-r}{r}u\\[2ex]i’=\cfrac{n}{n’}i\\[2ex]u’=u+i-i’\\[2ex]l’=r\left(1+\cfrac{i’}{u’}\right)\end{cases}
注意上述第四式，根据第三式可变形为 l’=r\left(1+\cfrac{1}{\cfrac{u}{i’}+\cfrac{i}{i’}-1}\right) ，利用前面两式可继续变形，其中的 \frac{i}{i’}=\frac{n’}{n} ，而 \frac{u}{i’}=\frac{n’r}{l-r}.
综上所述， n,n’,r 当然是先行确定的，这说明只要给定 l ，则 l’ 即是确定的，与 u 无关.
这差别的关键在于近似式第四式中 u’=u+i-i’ 的代换，在原式中 \sin U’=\sin(U+I-I’) 就不允许后面的操作.
那么在这个意义下，成像就是 完善 的，这个像称为 高斯像(Gaussian image) ，过高斯像点做光轴的垂面，该面称为 高斯像面 ，研究近轴区域成像性质的光学称为 高斯光学(Gaussian optics) ，或 近轴光学(paraxial optics) .
这样一对物像关系的点称为 共轭点(conjugate point) ，过共轭点做光轴的垂面即是 共轭面 ..
根据上述近似系列式中的第一、三、四式可得出 l’u’=lu ，对于近轴光线，进一步有 l’u’=lu=h.
- 另外，根据其中的第一、二、四式，可得出 n’\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{l’}\right)=n\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{l}\right) ，记作 Q ，称之为 阿贝不变量(Abbe invariant) .这个所谓的不变，指的是对于单个折射面，物空间、象空间的阿贝不变量 Q 是不变的，但随共轭点的位置改变.
- 展开整理得到 \frac{n’}{l’}-\frac{n}{l}=\frac{n’-n}{r}. 它直接给出了单个折射球面物像位置的关系.
- 根据前式还可进一步改写为 n’u’-nu=(n’-n)\frac{h}{r}. 它直接给出了物像方孔径角的关系.
下面考察式 \frac{n’}{l’}-\frac{n}{l}=\frac{n’-n}{r} ，不难发现，对于给定的物距 l ，则像距 l’ 由 \frac{n’-n}{r} 确定，可以说可以说它表达了折射球面的特征，称之为 光焦度(focal power) ，记作 \Phi ，即 \Phi=\frac{n’-n}{r}. 从另个角度说，当光焦度确定时，系统被确定，此时像的位置取决于物的位置.
进一步考虑无穷远轴上物点所成的像，这时应视为平行光入射，光线平行于光轴.
称无穷远点所成的像点为 像方焦点(image focus) （或后焦点），如图中 F’ 所示.
这时的像距称为 焦距(focal length) （或后焦距），如图中 f’ 所示.
对于物方的F和f就是物方焦点和物方焦距（或前焦点、前焦距）.
过焦点且垂直于光轴的平面称为 焦平面(focal plane) .
代入解析式则有 f’=\frac{n’}{n’-n}r 以及 f=\frac{n}{n-n’}r. 显然 f’+f=r.
并考虑光焦度，又有 \Phi=\frac{n’}{f’}=-\frac{n}{f}. （更常用的式是 \frac{f’}{n’}=-\frac{f}{n} .后面将会看到，这两式对任何光学系统都适用）.
2.3 关于轴外物点
最后要说的是同样是细光束，但是轴外物点成的像，如下图所示.
由于球面的对称性，其任意直径所在的直线都可视为相同的光轴，那么考虑完全对称的情况，上图中左侧 A_1,A,A_2 三点所成的像就分别是右侧的 A_1’,A’,A_2’ 它们是在同一个球面上的.
而对于左侧 B 点所成的像，则是右侧的 B’ ，这显然就在另一个球面上了.
可见平面物体即使是细光束（忽略球差），依然不能得到完善的平面像，这也是成像的相差之一，这种情况叫做 像面弯曲 .
而如果物平面是十分靠近光轴的垂轴平面，则可认为像面也是平的，成完善像.
3. 球面系统
这里专门谈一谈球面镜成像，主要分为 单个折射面 、 单个反射面 以及由一系列共轴的折/返射球面构成的 共轴球面系统 .而分析的内容主要是 物像位置关系 和 放大率 .
3.1 单个折射球面
对于其物像关系，刚刚已经说得足够详细了，下面从放大率谈起.
放大率可从三个角度来分析： 垂轴放大率（横向放大率）(transversal magnification) 、 轴向放大率(longitudinal magnification) 、 角放大率(angular magnification) .
- 垂轴放大率
例如在光轴上物距为 l ，高为 y 的垂轴物体通过球面折射面成像，如下图所示.
物 AB 的像为 A’B’ ，物高为 y ，像高为 y’ .定义 垂轴放大率 为 \beta=\frac{y’}{y}.
根据 \triangle ABC 和 \triangle A’B’C 的相似性有 -\frac{y’}{y}=\frac{l’-r}{r-l} ，并根据阿贝不变量得到 \beta=\frac{y’}{y}=\frac{nl’}{n’l}.
这说明垂轴放大率仅取决于共轭面的位置，在一对共轭面上， \beta 是恒定的，因此物和像是相似的.
综上，可以根据 \beta 来判断成像特性：像的 正倒 、 虚实 、 放缩 .
- 若 \beta>0 ，说明 y’ 与 y 同号，成 正像 ；另外还能说明 l’ 和 l 同号， 物像虚实相反 .
- 若 \beta<0 ，说明 y’ 与 y 异号，成 倒像 ；另外还能说明 l’ 和 l 异号， 物像虚实相同 .
- 若 |\beta|>1 ，说明 |y’|>|y| ，成放大的像.
- 若 |\beta|<1 ，说明 |y’|<|y| ，成缩小的像.
- 轴向放大率
轴向放大率指的是像点与其对应的物点沿轴移动时，移动量之比，用 \alpha 表示，即 \alpha=\frac{dl’}{dl}.
对 \frac{n’}{l’}-\frac{n}{l}=\frac{n’-n}{r} 微分得到 -\frac{n’}{l’^2}dl’+\frac{n}{l^2}dl=0 整理得到 \alpha=\frac{nl’^2}{n’l^2}.
还能发现 \alpha=\frac{n’}{n}\beta^2.
由此可得到两个结论：
- 折射球面的轴向放大率总是正数，因此物点与像点在轴上同向移动.
- 轴向放大率与垂轴放大率不同，因此空间物体在沿轴方向上则不是相似的，会出现变形的情况.
- 角放大率
角放大率定义为折射前后的一对光线与光轴夹角之比，记作 \gamma. 如上图所示即 \gamma=\frac{u’}{u}.
根据前述的 lu=l’u’ 可知 \gamma=\frac{l}{l’}.
比较 \beta 还能发现 \gamma=\frac{n}{n’\beta}.
角放大率表示折射球面将光束变宽或变细的能力，显然角放大率只与共轭点的位置有关，不受光线孔径角影响.
- 综上可发现三种放大率间的关系： \alpha\gamma=\beta.
另外，根据 \beta=\frac{y’}{y}=\frac{nl’}{n’l}=\frac{nu}{n’u’} ，可得到非常有用的 nyu=n’u’y’ .它说明，在近轴区成像时，对于一对共轭面，物体大小 y 、物方孔径角 u 、物所在空间折射率 n 三者乘积为常数，称之为 拉格朗日-赫姆霍兹不变量 ，简称 拉赫不变量 或 拉格朗日不变量(Lagrange invariant) ，通常记作 J .
后面将会看到，物高与视场范围有关，孔径角与进入光学系统的能量有关，那么拉赫不变量表达了物高 y 与孔径角 u 间的制约关系，即视场范围越大，能量就越弱.因此，拉赫不变量是表征光学系统性能的参数.
3.2 单个反射球面
在 \frac{n’}{l’}-\frac{n}{l}=\frac{n’-n}{r} 式中代入 n’=-n ，即得到 \frac{1}{l’}+\frac{1}{l}=\frac{2}{r}. 这就是球面反射镜的物像位置关系.
球面反射镜又具体分为 凹面镜(concave mirror) (r<0) 和 凸面镜(convex mirror) (r>0) ，如下图所示.
对于三种放大率，还是将 n’=-n 代入可得到
\begin{cases}\beta=\cfrac{y'}{y}=-\cfrac{l’}{l}\\[2ex]\alpha=\cfrac{dl'}{dl}=-\cfrac{l’^2}{l^2}=-\beta^2\\[2ex]\gamma=\cfrac{u'}{u}=-\cfrac{1}{\beta}\end{cases}
据此得到如下结论：
- 单个球面反射镜恒有 \alpha<0 ，说明物体与像是反向移动的.而如果有多个这样的反射面，当偶数次反射时，恒有 \alpha>0 .
- 对于凸面镜，若 |l|\gg r ，则导致 \beta\ll 1 ，会成正立缩小的虚像，成像范围很大.因此图面反射镜常用于车后视镜；在一些路口也会有这样的凸面镜，以便瞭望路况.
- 特别地，若物点位移球面镜球心，即 l=r=l’ .那么 \beta=\alpha=-1 ， \gamma=1 .球面镜成倒像，光线经反射后沿原路返回，球面镜对于球心是等光程面，故成完善像.
3.3 共轴球面系统
上面讨论的是单个折/返射球面的成像规律，而对于由一系列球面组成的共轴球面系统，只需要搞清楚相邻两球面间的参量和光线的关系，就可以计算出整体的成像特征.
下面考虑一个共轴的球面光学系统，它由 k 个球面组成，具体参数如下：
- 各球面的曲率半径分别为 r_1,r_2,\cdots,r_k.
- 相邻球面顶点间隔为 d_1,d_2,\cdots,d_{k-1}.
- 各面之间介质折射率为 n_1,n_2,\cdots,n_{k+1}.
假设对于每一个球面的物方孔径角分别设为 u_1,u_2,\cdots,u_k ，按习惯，其像方孔径角应设为 u_1’,u_2’,\cdots,u_k’ .同样的物距和像距就分别是 l_1,l_2,\cdots,l_k 和 l_1’,l_2’,\cdots,l_k’.
由此具体地分析相邻两球面间的参量和光线的关系，以两个折射球面为例，如下图所示
显然有
\begin{cases}n_{i+1}=n_i’\\[2ex]u_{i+1}=u_i’\\[2ex]y_{i+1}=y_i\\[2ex]l_{i+1}=l_i’-d_i\end{cases}
这就是近轴光路的过渡公式.
在这种近似下，正弦值与弧度也认为是等同的，那么根据上述关于 u 和 l 的公式并考虑 lu=l’u’=h 还可计算光线的入射高度，即 h_{i+1}=h_i-d_iu_i’.
若考虑每一个面的拉赫不变量，有 J=n_1u_1y_1=n_2u_2y_2=\cdots=n_ku_ky_k=n_k’u_k’y_k’. 这说明对于整个系统来说拉赫不变量也是恒定的.
对于整个系统的放大率，显然有 \begin{cases}\beta=\beta_1\beta_2\cdots\beta_k\\[2ex]\alpha=\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k\\[2ex]\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_k\end{cases}
代入具体的参量可得到 \beta=\frac{n_1u_1}{n_k’u_k’} ， \alpha=\frac{n_k’}{n_1}\beta^2 ， \gamma=\frac{n_1}{n_k’\beta}.
且依然有 \alpha\gamma=\beta.
4. 平面系统
除了球面系统外，平面系统也是光学系统中很常用的，例如平面反射镜、平行平板、反射棱镜等，它们主要用来改变光路方向，改变像的正倒等.
4.1 平面镜(plane mirror)
平面反射镜，简称平面镜，其成像规律也可以借助球面反射镜的公式进行分析，认为 r\rightarrow\infty ，即可得到 l’=-l ， \beta=1 .
这说明物像分布在镜的两侧，大小相等，虚实相反，如下图所示.
值得一提的是，平面镜是成完善像的，这一点由图中的几何关系可判断出来（全等三角形），即例如 A 点发出的同心光束，经反射变成以 A’ 点为顶点的同心光束.
另外，平面镜成像时，物像空间是不一致的，具体如下图所示.
物和像关于镜面是对称的，具体说是 上下同方向，左右颠倒 （或者说左右同方向，上下颠倒，本质在于如何选取左右或上下方向），这种对称的像称为 镜像(mirror image) .上图中表示的是，一个右手坐标系经镜面反射后，其像是一个左手坐标系.
上述是一次反射成像，进一步可发现，对于奇数次反射成像都是镜像，而偶数次反射成像就会是与物一致的像.
平面镜还有一个重要的性质是关于旋转的.
如下图所示，保持入射角不变，转动平面镜 \alpha 角，则会导致反射光转过 2\alpha 角.
实际上这就相当于放大变量，可以利用这个原理来测量微小的角度或位移.下图表示的就是这样的装置.
分划板 R 位于物镜 L 的物方焦平面上，分划板上标尺的零位点（图中 F 点，对准物镜中心）发出的光束经过 L 后平行于光轴，若平面镜与光轴垂直，即测杆使平面镜处于 M_0 位置，则光从原路返回.
（焦平面上不同点的点光源发出的球面波通过透镜后变成平面波，只是平行的方向不同，这一点在后面会看到）
而如果平面镜不垂直于光轴，例如在 M_1 位置，
下面进一步要说的就是另一种有用的系统—— 双平面镜系统(bimirror) ，先讲双平面镜用来 折转光路 ，如下图所示.
两个平面镜反射面相对，夹角为 \theta.
入射光线 AO_1 经过双平面镜系统后沿 O_2A_2’ 方向射出.
为了探究入射光线和出射光线的夹角，延长 AO_1 ，使之与 O_2A_2’ 交于交于点 M ，两直线的夹角 \beta 即是所求的夹角.
分别考察 \triangle O_1O_2M 和 \triangle O_1O_2N ，由几何关系可得到 \begin{cases}I_1=I_1'\\[2ex]I_2=I_2'\\[2ex]\beta+I_2+I_2'=I_1+I_1'\\[2ex]\theta+I_2=I_1'\end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ (\beta=2\theta).
这说明入射光线与出射光线夹角只与两平面镜夹角有关，与入射角无关.
如果保持入射光方向不变，使双平面镜系统沿棱边 P 旋转，出射光反向是不变的.利用这一性质折转光路比单个反射面方便很多，因为这种方式对双面镜的安置精度要求不高.
然后说用双平面镜成像，考虑连续一次成像，如下图所示.
它表达的是两个平面镜 RP 和 QP 的反射面相对，夹角为 \alpha. 中间有一个物，是右手坐标系 xyz ，先经 QP 反射，像为 x’y’z’ ，再经 RP 反射，像为 x’’,y’’,z’’ .
注意到 \angle y’’Py\color{brown}{=\angle y’’Py’-\angle yPy’}=2\angle RPy’-2\angle QPy’\color{brown}{=2\alpha}.
说明这个连续一次像相当于物体绕棱边 P 旋转 2\alpha 交形成的，旋转方向是第一反射镜转向第二反射镜，在这里就是顺时针.（如果先 PR 后 PQ 则是逆时针）
特别地，当 \alpha=\frac{\pi}{2} 时，两个连续一次像重合，他们都和物相对于棱 P 对称.
这里同样可以得到一个结论，保持物不动的情况下，当双面镜夹角不变时，双面镜转动，像固定不动.
如果说更一般的理论，对于实际情况不是一连反射就停止的，会连续不断地反射，从而产生一系列像（应指出，所有这些都是虚像），如下图所示.
物 A 经 RP 反射成像 A_1’ ，再经 QP 反射成像 A_2’ ，再经 RP 反射成像 A_3’ .
另一方面，也有先经 QP 反射成像 A_1’’ ，再经 RP 反射成像 A_2’’ ，再经 QP 反射成像 A_3’’ .
一直这样下去，直到像点位于两个反射镜共同的背面不再反射为止.
根据几何关系还可发现，这些像都是在以棱 P 为圆心， AP 为半径的圆周上.
4.2 平行平板(parallel-plate)
由两个相平行的折射平面构成的光学元件叫做平行平板.
从放大率入手进行分析，如下图所示.
可利用折射球面和共轴球面系统的结论进行分析，对于厚度为 d ，折射率为n的平行平板放在空气中（认为空气中 n=1 ），可认为 r_1=r_2\rightarrow\infty.
可做如下推导 \begin{cases}\cfrac{n’}{l’}-\cfrac{n}{l}=\cfrac{n’-n}{r}\\l_{2}=l_1’-d\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\beta_1=1\\\beta_2=1\end{cases}\ \ \Rightarrow \ \ \ \beta=\beta_1\beta_2=1.
以及 (\alpha=\frac{n_2’}{n_1}\beta^2)\wedge(n_2’=n_1=1)\ \Rightarrow\ \alpha=1
还有 \gamma=\frac{n_1}{n_2’\beta}=1
这说明平行平板是 无光焦度 的，不使物体放大或缩小，且光线经过平行平板后方向不变，但会产生侧向位移.这段位移可以从两种角度来描述，一种是垂直位移，即图中的线段 DG 记作 \Delta T ；另一种是沿轴位移，即图中的 \Delta L’ .
可以计算出 \Delta T=d\sin I_1\left(1-\frac{\cos I_1}{n\cos I_1’}\right) ， \Delta L’=d\left(1-\frac{\tan I_1’}{\tan I_1}\right) .
其中 I_1,I_1’ 分别是光线入射到前一折射面时的入射角和折射角，如上图中所示.
注意到 \Delta L’ 与入射角 I_1 有关，即同心光束经过平行平板后变成非同心光束，说明平行平板 不能成完善像 .
特别地，如果是 近轴区细光束 的情况， I_1 和 I_1’ 都很小，余弦值近似认为是 1 ，那么轴向位移可近似为 \Delta l’=d\left(1-\frac{1}{n}\right). 即可认为 成完善像 .
4.3 反射棱镜(reflection prism)
将同一块玻璃上的一个或多个面制成反射面的光学元件叫做叫做反射棱镜.如果反射面对于入射光线，不能使它们全部发生全反射，则必须要在反射面上镀膜（银、铝、金等），以减少反射面光能损失.反射棱镜可以用来转折光轴，转像等.
在使用反射棱镜光学系统中，光轴在棱镜中的部分一般是折线，每经过一次反射光轴就折转一次.
棱镜中，入射面、出射面、反射面统称为 工作面 ，工作面之间的交线称为 棱 ，垂直于棱的平面称为 主截面 .在光路中，光轴在主截面当中，因此又称之为 光轴截面 .
反射棱镜有很多种，大致可分为 简单棱镜 （又包括一次、二次、三次反射棱镜）、 屋脊棱镜 、 立方角锥棱镜 和 复合棱镜 .
- 一次反射棱镜
一次反射棱镜只有一个反射面，转像情况和平面反射镜相同，垂直于主截面的坐标方向不变，位于主截面内的坐标方向改变.
最常用的一次反射棱镜是等腰直角棱镜，如下图(a)所示，它将光轴折转 90° .
图(b)也没有什么本质上的变化，光垂直入射，垂直射出，唯一不同的是它将光轴折转60°.这种等腰棱镜还可以制成其他的角度，从而使光轴折转任意角度.
图(c)称为 道威棱镜(Dove prism) ，由直角棱镜去掉直角部分制成，其入射面、出射面与光轴都不垂直，但出射光轴与入射光轴的方向不变，即整体上对光轴没有折转.
- 道威棱镜 的特性在于，当其绕光轴转动 \alpha 角时，反射的像会同方向转动 2\alpha 角，例如图(c)中表示的，下图相对于上图，逆z轴方向看是顺时针旋转90°，那么像的坐标系就顺时针旋转 180° .
- 二次反射棱镜
二次反射棱镜有两个反射面，作用相当于双面镜.由前述结论可知，出射光线与入射光线的夹角仅取决于两反射面的夹角；另外，物像一致，并不是镜像.
常用的二次反射棱镜如下图所列.
- (a)- 半五角棱镜 ，常用于显微镜观察系统，使光轴转为便于观察的方向.
- (b)- 30° 直角棱镜 ，用途与半五角棱镜相同.
- (c)- 五角棱镜(pantagonal prism) ，若要避免成镜像，可用相同它来代替一次反射直角棱镜；
- (d)- 二次反射直角棱镜 ，常用于转向系统，或与其他棱镜组成复合棱镜.
- (e)- 斜方棱镜 可以使光轴平移，多用于双目观察的仪器，用来调节两目镜的中心距离以满足不同的眼基距的人的需要.
- 三次反射棱镜
最常用的是 施密特棱镜(Schmidt prism) ，如下图所示.
- (a)- 施密特棱镜(Schmidt prism) ，出射光线与入射光线成 45° 角，且成镜像.它可以用来折叠光路，使仪器结构紧凑.
- (b)- 列曼棱镜(Leman-Springer prism) ，沿光轴方向的入射光线和出射光线平行，且有一段距离，直立使用可以改变瞄准线，使之高于或低于观测线.
- 屋脊棱镜(roof prism)
屋脊棱镜本质上是指带有屋脊面的棱镜，两个相互垂直的反射面叫做屋脊面，如下图所示.
以施密特屋脊棱镜为例，如下图所示
它其实就是施密特棱镜的一个反射面改造为屋脊面，这样就是偶次反射，从而物像一致.
- 立方角锥棱镜(corner cube)
可以看作是从立方体切下一个角而成，如下图所示.
其特性是，光线以任意方向从底面入射，经过三个直角面反射后，出射光线始终平行于入射光线.此时当棱镜绕顶点旋转时，出射光线方向不变，只产生平行位移.
- 复合棱镜
由两个以上的棱镜组合起来就形成复合棱镜，从而可以实现特殊的功能，下面介绍几种常用的复合棱镜.
两块直角棱镜的斜面相对，其中一块的斜面上镀有半反半透膜，即可将一束光分成两束光强相等的光，且它们在棱镜中的光程相等.这就是 分光棱镜 ，如上左图所示.
还有一种相对复杂的，如上右图所示，a面镀有反蓝透红绿的介质膜，b面镀有反红透绿介质膜，这样当白光（各种不同颜色光的混合）入射时，就可以使不同的方向上出射不同的光，从而达到分色的目的。这就是 分色棱镜 .
还有就是 转像棱镜 ，其出射光轴与入射光轴平行，实现完全倒像（上下、左右都颠倒），这可以用于望远镜系统，下图列举的就是几种常见的转像棱镜.
4.4 折射棱镜(refracting prism)
光线通过折射棱镜的情况如下图所示.
折射棱镜的两工作面间的夹角 \alpha 称为折射棱镜的 折射角 .
称出射光线与入射光线的夹角 \delta 为折射棱镜的 偏向角 ，其正负规定为：以锐角度量，由 入射光线 转向 出射光线 ， 顺时针 为 正 ， 逆时针 为 负 .
下面分析偏向角的性质.由图中几何关系可推知
\begin{cases}\alpha=I_1’-I_2\\\delta=\delta_1+\delta_2\color{brown}{=I_1-I_1’+I_2-I_2’}\end{cases}\Rightarrow\ \alpha+\delta=I_1-I_2'.
并注意 \sin I_1=n\sin I_1’ 和 \sin I_2’=n\sin I_2. 两式相减，并利用和差化积公式，综上可得到 偏向角表达式 \sin\left(\frac{\alpha+\delta}{2}\right)=n\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\cos\cfrac{I_1’+I_2}{2}}{\cos\cfrac{I_1+I_2’}{2}}.
- 这说明偏向角 \delta 对于给定的棱镜，只与入射角 I_1 有关，下面考察其极值情况.
由 \alpha+\delta=I_1-I_2' 对 I_1 微分得到 \frac{d\delta}{dI_1}=1-\frac{dI_2’}{dI_1}. 并注意取得极值时，即当 \frac{d\delta}{dI_1}=0 时有 \frac{dI_2’}{dI_1}=1.
由 \sin I_1=n\sin I_1’ 和 \sin I_2’=n\sin I_2 对 I_1 微分并相除，得到 \frac{dI_2’}{dI_1}=\frac{\cos I_1\cos I_2}{\cos I_1’\cos I_2’}.
代入取得极值时的条件 \frac{dI_2’}{dI_1}=1 ，得到 \frac{\cos I_1}{\cos I_1’}=\frac{\cos I_2’}{\cos I_2}.
注意折射定律式还可写成 \frac{\sin I_1}{\sin I_1’}=\frac{\sin I_2’}{\sin I_2}=n. 进而说明，仅当 I_1=-I_2’ 且 I_1’=-I_2 时取得极值.
此时 \frac{d^2\delta}{dI_1^2}>0 ，说明取得极小值.
将极值的条件代入偏向角表达式得到 \sin\frac{\alpha+\delta_m}{2}=n\sin\frac{\alpha}{2}.
利用此关系式，在实验中，只要测得最小偏向角即可求得试件的折射率.
对于折射角非常小的棱镜，称之为 光楔(optical wedge) .如下图所示.
由于这个楔角很小，可近似看作 平行平板 ，这样就可认为 I_1’=I_2，I_1=I_2’ ，同时， \alpha 和 \delta 都很小，可用其弧度值代替正弦值，那么偏向角表达式可化为 \delta=\left(n\frac{\cos I_1’}{\cos I_1}-1\right)\alpha.
特别地，当光线垂直入射或入射角很小时，其余弦值可近似认为是 1 ，这是 \delta=(n-1)\alpha. 这说明，此时的偏向角仅取决于光楔的楔角和折射率.
光楔的一大用处就是测量微小的角度和位移.
先说角度，对于几种特殊的形式如下图所示.
两光楔的直角边面平行放置，如上图所示.
若楔角同测在上，则产生最大楔角 \delta=2(n-1)\alpha ；
若楔角异侧，则整体上无楔角，相当于平行平板，这时偏向角为零.
若楔角同侧在下，则产生反向最大偏角 \delta=-2(n-1)\alpha.
这三种情况相当于将两光楔以光轴为轴，转动形成的.对于更一般的情况，当两光楔相对旋转，其中一个逆时针旋转 \phi 角，另一个顺时针旋转 \phi 角（即相对旋转 2\phi 角），则两光楔产生的总偏向角为 \delta=2(n-1)\alpha\cos\phi. 这就是说，两光楔每相对旋转 360° ，总偏向角就会从 2(n-1)\alpha 到 -2(n-1)\alpha.
这就将微小偏向角 \delta 转换为大旋转角度 \phi ，这样就方便读数，从而实现微小角度的测量.
而对于微小位移的测量，可根据如下原理.如下图所示，两光楔的斜边面相对平行放置.
当两光楔贴合时，它们是一体的，相当于一块平行平板，光线垂直入射，路径沿直线不发生改变.而如果它们不贴合，产生一段空隙，以沿光轴的距离度量，空隙为 \Delta z ，则整体的出射光会产生位移 \Delta y. 它们之间的关系为 \Delta y=\delta z(n-1)\alpha .这就可以将微小的位移 \Delta y 转换成较大的位移 \Delta z 来读数，从而实现微小位移的测量.
4.5 棱镜色散
由各种不同波长的单色光混合而成的光叫做 白光 .
实际上，不但不同介质所谓的折射率不同，同一透明介质对于不同波长的单色光的折射率也是不同的.
在折射棱镜偏向角的部分，根据公式已经看到，不同的折射率会对应不同的偏向角，因此白光经过棱镜折射后，会向不同的方向分解为各种不同颜色的光，这种现象称为 色散(dispersion) .
通常来讲，波长越长的光折射率越小，因此红光偏向角较小，紫光偏向角较大.如下图所示.
当白光入射时，经过棱镜后会在透镜 L_2 的焦面上排列着各色光的狭缝的像（原理在下一篇文章会详细说明）
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