DTFT与DFT的关系及推导_dft和dtft

DTFT 到DFT的推导

首先将DTFT求和公式中的连续频域变量 ω ( -π≤ω≤π )用离散频率变量代替，表示第k个采样频域点对应的频率变量。其次将DTFT的求和次数定为有限值。

那么对于有限长信号，其DTFT在频率采样值下为：

L为序列x[n]的长度，N表示采样频率点的个数。

通常频率间隔选择为 0≤ ω k≤2π ，如果使用N个等间隔的频率计算，得到：

通过以上两个公式可以得到DFT的N个频率样本：

因为上式左边只取决于频率指数k，故定义

当频率样本数N等于信号长度L时，得到离散傅里叶变换公式，即DFT：

所以说，DFT是时间和频率上都是离散的傅里叶变换。DFT将时域中的N个样本转换为频域中的N值X[k]。特别的，x[n]通常是实数，但是上述公式中的x[n]可以是复数的。

一文搞懂：FT、 DTFT 、 DFT 、I DFT 写在前面一切为了计算机的处理推导步骤总结近期重温了一下可爱的数字 信号处理 ，又回想起当初被 FT、 DTFT 、 DFT 、I DFT 这几兄弟折腾的傻傻分不清的日子，今天特地在此对它们进行一个梳理。珠玉在前，非常感谢这篇文章的点拨：一幅图搞懂 DFT 与 DTFT 的关系一切为了计算机的处理我们知道，FT就是傅里叶变换，其可以将信号从时域变换到频域，但是此刻的信号无论在时域还是频域，都是连续的。然而，计算机只能处理离散的数据，因此我们要在计算机中完成傅里叶变换，就

这里讲的离散时间傅里叶变换（ DTFT ）是针对离散非周期信号的 DTFT ，事实上， DTFT 本身也就是为了表示非周期信号而出现的。推导的过程采用与连续时间傅里叶变换完全并行的思路，连续时间傅里叶变换的推导参看博文：连续时间信号的傅里叶变换对连续时间傅里叶变换的一点回顾：在连续时间傅里叶变换这篇博文中，我们看到，一个连续时间周期方波的傅里叶级数可以看成一个包络函数的采样值，并且随着这... 很多同学学习了数字 信号处理 之后，被里面的几个名词搞的晕头转向，比如 DFT ， DTFT ，DFS，FFT，FT,FS等，FT 和 FS属于信号与系统课程的内容，是对连续时间信号的处理，这里就不过多讨论，只解释一下前四者的关系。　　首先说明一下，我不是数字 信号处理 专家，

在刚开始学习数字 信号处理 时，对于各种傅里叶变换特别是离散傅里叶变化的概念及作用完全不清楚，在整理了CSDN、百度百科、知乎上关于 DTFT 、 DFT 的各知识点后才算理解，下面是自己的总结加整理集合的资料。通过下⾯的⽹络⽂献得出FS，FFT， DTFT ， DFT 的关系结论：在数字 信号处理 中，对处理数字信号进⾏傅⾥叶变换转频域的情况更多，数字信号来⾃于对模拟信号的采样，即将模拟信号的连续采样后变为离散，这...

FT、 DTFT 、 DFT 和 FFT之间的关系 FT(傅立叶变换：Fourier transform) 对于一个模拟信号，要分析它的频率成分，必须变换到频域，通过傅立叶变换可以得到模拟信号的频谱。模拟信号的傅立叶变换： x(t)↔FTX(jΩ)=∫T2T2x(t)e−jΩtdtx(t) \stackrel{FT} \leftrightarrow X(j \Omega)=\int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j \Omega t}dtx(t)↔FTX(jΩ)=∫2T2T

目录1 内容简介2 Fourier Series 傅里叶级数3 CFT 连续时间傅里叶变换4 DTFT 离散时间傅里叶变换5 DFS 傅里叶级数6 DFT 离散傅里叶变换7 矩阵表达更方便的用处 1 内容简介写这个内容呢完全是因为要复习一下信号与系统这门课程，一下子给我蹦出了CFT, FT, DTFT , DFS, DFT 一堆乱七八糟的玩意，书上写的详尽，但杂乱，网络上的资料粗略草率，但是整理得很好。因此我希望从更好的数学角度去总结所有的变换和级数的由来。因此本篇并不是从概念理解讲起，不会直观地解释他们的