|
|
如何学习数论？
关注者
608
被浏览
173,783
15 个回答
GTM84我当年是看了点的（到Eisenstein互反律那章之前；那一章初等操作太麻烦没看下去），现在觉得好像没什么必要，不过那些特征和的操作是很有趣、接地气的……
GTM7前面的内容是互反律，后面的内容是密度定理（模形式暂且不说），它们更一般的形式是读GTM7之后自然想去学的内容。这些东西我看的是Neukirch的代数数论前两章以及Milne的类域论讲义。不过现在让我推的话大概会推荐Milne自己的代数数论讲义和类域论讲义，因为当初看Neukirch前两章的时候感觉比较费劲。Milne的讲义在他自己主页 http://www. jmilne.org 都有。
我学的时候会把证明都读懂并尽量记下它的主要步骤。很多细节无法记下来。比如整体类域论很多细节（比如化归到分圆情形）由于不如局部类域论那样流畅而没有记住。又如Hilbert类域的主理想定理 https:// en.wikipedia.org/wiki/P rincipal_ideal_theorem 的证明中用到的一个群论事实：对有限群G，G/G'到G'/G''的transfer映射是0。这件事的证明我在wiki引用的Artin和Tate的原始类域论书中看到了（一个使用上同调和splitting module的证明，虽然麻烦但大概也比纯群论证明省事不少），但细节较多也没有去记。
当然类域论这种事重要的是它的结论，毕竟现在已经在搞高维的和非交换的了，不太可能用到类域论的证明细节。最近在学代数几何和一些模形式（以前也试着开过模形式，主要是GTM228，但由于那时没有理解Riemann-Roch而暂停；现在连Serre对偶这一套都学了2333），这和现代数论的关系大概更密切吧。
对了，以上都假设题主熟悉Galois理论，否则先学学Galois理论吧（比如可以用GTM211的第5,6章，跳过第6章第11节）。
说一个数论里比较偏的方向：Additive Number Theory；Combinatorial Number Theory
其实也不是很偏了，但是可能不合很多人的口味，题主不一定喜欢。之前认识的一个做数论和算术代数几何的教授，就很难接受抽屉原理。并不是说不懂抽屉原理，就是之前我朋友在和他讲一个类Ramsey问题的结果时，他就是很难理解其中的一步抽屉原理的花式应用。
不严谨的说，这个方向研究的是Abelian Group中的结构，比如费马大定理里面有 x^n ，就不算这个方向的问题；哥德巴赫猜想，孪生素数猜想，就可以考虑Additive Number Theory。最近这个领域比较有名的突破就是Green-Tao Theorem了。
这个领域传统的工具是调和分析，不过我比较感兴趣的是Graph Theoretical Method。下面这个图我很喜欢：（来自Yufei Zhao的主页）
这个领域的一大目标是描述一种随机性：很多素数的猜想（比如small gap和large gap）就是试图证明素数的分布满足随机性。很多定理（比如density H-J Theorem）都在试图描述随机性满足某种规律（例如包含长APs）。当然这个方向我也是正在学，可能有一些理解不到位的地方。
推荐一些书籍：（主要是graph theoretical method）
Lovasz, Large networks and graph limits
Alon and Spencer, The probabilistic method
Tao and Vu, Additive combinatorics
有关的问题可以找我一起讨论。