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一元三次方程三根的条件？
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一元三次方程，永远都是三个根。
分两种情况，1，三个都是实根；2，两个虚根一个实根。
没有第三种情况，譬如什么三个虚根或一虚两实之类。
其中第2种情况，两个虚根必然互为共轭。（正因为这个原因，所以不存在“三个虚根“或“一虚两实”这类情况）
第1种情况，又分为三个不等的实根（无重根），两重根，三重根，这三种情况 。
如果要判断具体属于哪种情况，也一样有判据。但这个判据很复杂，先要将方程化为“缺二次方项”型，然后再用判据展开判断，这个判据涉及及求根公式。这一套程序走下来，要花很多时间。
所以，不如你准备一个手机上或电脑上那种具备函数绘图功能的计算器，画出方程左面那个函数的图像，然后观察一下函数图像与x轴有几个交点。大体上你就可以判断出：
一、函数与x轴有三个交点，这属于“无重根”，或“三个不同实根”。
二、函数与x轴有两个交点，这属于“两重根”，其中有一个交点是切点，这就是重根的位置，另一个交点则是第三根。
三、函数与x轴有一个交点，这属于“三重根”或“一实两虚”。区别是要看这个交点是否是拐点（同时也相切），若是，则属于三重根；若否，则属于“一实两虚”。虚根在图面上是不显示的。
当然，由于绘画都是有一定范围的，有时候显示不完整，故这方法有局限性，不一定全都好用，但“大体上”还是能用的。
下图就是第一和第三种情况的典型图示。红线属于“三重根”，黑线属于“一实两虚”，紫线属于“三实根”。
如果把紫色线条朝上平移（或朝下），到达与x轴相切的位置，那就属于“两重根”的情况，其中切点是重根，另一个交点是第三根。
当然，如果你会微积分，也可以通过研究其导数，来大体上明确曲线的形状。不一定非得用计算器作图。对应的结论是：
无极值（即导数永不为0），是黑线的情况； 一实两虚
只有一个点，其导数为0，二阶导数也为0，这个叫作拐点，且拐点在x轴上，这是红线的情况； 三重根。
有两个极值点（即一阶导数为0的点），且一正一负，是紫线的情况； 无重根（三实根）。
有两个极值点，但其中有一个在x轴上，那就属于图中没画出的情况（即，紫线向上平移或向下平移的情况）。 两重根 。
美之觉察
哇啊！被这种不知道多少年的老问题找上了啊！！fukoudesi！
啊没有。开个玩笑。
先放答案（纯手算，赏个赞呗）：
我是真不相信这种常识性问题居然在知乎还存在缺口，于是我找了一下，发现已经有名为“三次多项式的判别式是什么？”的问题了：
然而里面只有两个回答（就像此时此刻的这个回答一样）。
（就在刚刚，第三个回答出现了）
想了想，我觉得还是有必要稍微补充和解释一下一元三次方程的求解思路。
首先第一点，也是求解三次方程时常做的第一步，通过左右平移和尺缩解决三次和二次的系数。更直白来说，就是把
变成
令t=x+B/3A，并令图中一次项与常系数分别为B’,C’，则只要解决形如Ax^3+B’x+C’=0的问题就可以了（容易证明，这两种形式是可以互化的且解数完全一样）。
我们只需考虑更一般的三次方程：
X^3+aX=b.
求导即知当a≧0时方程恒为一解（利用单调性同样易证），当a<0时，利用导数计算其极值后边界式为
记为delta.
则delta>0时，方程恰有一实数解；
delta=0时，方程恰有两实数解，包含双重根；
delta<0时，方程有三个实数解。
回溯推理过程，有
故3AC≧B^2时仅有一解其余情形delta为（约去了729A^6）：
如果保留二次方程中delta>0时有全解的习惯，我们将delta取负数，再将大写字母换成小写（鬼知道我开始为什么要打大写），就变成
这与[匿名用户]（我不知道是谁啦，反正就是2018-11-02的回答）在问题 三次多项式的判别式是什么？ 中给出的答案相一致（没有算错，啊，太好了）。
另外对于提到过的3ac≧b^2的情况，这时delta可视为以d为主元开口向下的二次函数（如图6所示），其判别式为16(b^3-3ac)^3，这表明3ac≧b^2时delta≦0，即delta的判断在3ac≧b^2时也是准确的，故其可作为可靠的判别式而不需考虑其它关系。
结语：对于一元三次方程：
ax^3+bx^2+cx+d=0，
记为delta，为其（实数）根的判别式。
其中，delta>0时，方程恰有一实数解；
delta<0时，方程有三个实数解。
特别地，delta=0时，需检查计算b^2-3ac的值，若其为0，则恰有一根，若其为正，则恰有两根（可证明此时其值非负）。
也即：
至此讨论是结束了。
手算不易，给个赞呗！