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小百科  ›  商空间
子空间 拓扑 等价类
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商空间

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拓扑学概念
本词条由 “科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。
在 线性代数 中，一个向量空间 V 被一个子空间 N 的商是将 N “坍塌”为零得到的 向量空间 ，所得的空间称为商空间（quotient space），记作 V / N （读作 V 模 N ）。
中文名
商空间
外文名
quotientspace
所属学科
一般拓扑学
性    质
反身性，对称性，传递性
公    式
V / N

目录

  1. 1 定义
  2. 2 性质
  3. 3 拓扑空间
  4. ▪ 定义
  1. ▪ 性质
  2. 4 性质推广
  3. 5 商空间
  4. ▪ 定义
  1. ▪ 例子
  2. 6 局部凸空间

定义

播报
编辑
设 V 是域 K 上的一个 向量空间 ，且 N 是 V 的一个子空间。我们定义在 V 上定义一个 等价类 ，如果
则令
。即如果其中一个加上
中一个元素得到另一个，则与
相关。
的所在等价类通常记作
因为它由
给出。那么商空间
定义为
/
， V 在
下所有等价类集合。等价类上的数乘与加法定义为：
1) 对所有
，
，
2)
。
不难验证这些运算是良定义的（即与代表元之选取无关）。这些运算将商空间
转化为 K 上一个向量空间，成为零类。相对应的， 商映射 即定义为
与等价类
之映射

性质

播报
编辑
（1）反身性：
（2） 对称性 ： 若
则
（3）传递性： 若
则

拓扑空间

播报
编辑

定义

设X为 拓扑空间 ，~为X的等价关系。π:X→X/~为典范映射。U⊂X/~，若π -1 (U)为X中 开集 ，定义U为X/~中开集，则X/~在 商拓扑 下为 商空间 。 [3]

性质

X/~的商拓扑为使π为的X的最强的拓扑。 [3]
设X为 连通空间 ，则X/~亦然。
设X为 道路连通空间 ，则X/~亦然。
设X为 紧空间 ，则X/~亦然。 [3]

性质推广

播报
编辑
令
为标准 笛卡儿 平面，
是
中过原点的一条直线。则商空间
可与 X 中与 Y 平行的所有直线等价。这就是讲，集合
的元素是 X 中平行于 Y 的元素。这给出了以一种几何的方式看 商空间 的方法。
另一个例子是
被前
个标准基向量张成的子空间的商。空间 R 有所有实数
元组
组成。子空间，与
等价，由只有前
元素是非零
的所有
元组组成。的两个向量在模去这个子空间的同一个共轭类中当且仅当他们的后
个坐标相等。商空间
/
显然地 同构 于
。
更一般地，如果 V 写成子空间 U 与 W 的一个（内部）直和：
则商空间
自然同构于
[1] 。
如果 U 是 V 的一个子空间， U 在 V 中的 余维数 定义为 V / U 的 维数 。如果 V 是有限维的，这就是 V 与 U 的维数之差：
从
到商空间
有一个自然 满射 ，将 x 送到它的等价类
。这个满射的核（或 零空间 ）是子空间
。此关系简单地总结为短正合序列：
令
是一个 线性算子 ， T 的核，记作
，是所有
使得
的集合。核是
的一个子空间。线性代数 第一同构定理 说商空间 V /ker( T )同构于
在
中的像。一个直接推论，对有限维空间的 秩-零化度定理 ： V 的维数等于核的维数（
的零化度）加上像的维数（
的 秩 ）。
线性算子
的余核定义为商空间
。

商空间

播报
编辑

定义

如果 X 是一个 巴拿赫空间 而 M 是 X 的一个闭子空间，则商 X / M 仍是一个巴拿赫空间。上一节已经给出商空间一个向量空间结构。我们定义 X / M 上一个范数为
商空间 X / M 关于此范数是 完备 的，所以是一个 巴拿赫空间 。

例子

令
表示区间[0,1]上连续实值函数的巴拿赫空间。记所有函数
使得
的子空间为 M 。则某个函数
的等价类由它在0点的值决定，商空间 C [0,1]/ M 同构于 R 。
如果 X 是一个 希尔伯特空间 ，则商空间 X / M 同构于 M 的正交补 [2] 。

局部凸空间

播报
编辑
局部凸空间被一个 闭 子空间商还是局部凸的。事实上，假设是局部凸的所以
上的拓扑由一族半范数
生成，这里
是一个指标集。设
是一个闭子空间，定义
上半范数
则
是一个局部凸空间，上面的 拓扑 是商拓扑。
进一步，若 X 是可度量化的，则
也是；如果 X 是 弗雷歇空间 ，
也是。
 
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