传热学基础

传热学： 研究由温差引起的热能传递规律的科学。所谓的热能传递规律，主要是指单位时间内所传递的热量与物体中相应的温度差之间的关系。

传热学与工程热力学的主要区别 ：工程热力学研究的是处于平衡状态的系统，处理的是近似稳态问题，不考虑热量传递过程的时间，而传热学主要的物理量都以时间作为分母，即关心热量的传递速率。

传热学的重要物理量

（1） 热流量 ：单位时间通过某一表面所传递的热量。（简称热流）（单位： \mathrm{W} 或 \mathrm{kW} ）

\Phi =\frac{Q}{\tau}\\

（2） 热流密度 ：单位时间、单位面积所传递的热量。（单位： \mathrm{W/m^2} 或 \mathrm{kW/m^2} ）

q=\frac{\Phi}{A}\\

基本传热方式： 热传导 、 热对流 和 热辐射 。

1.1 热传导

物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热能传递称为热传导（heat conduction），简称导热。

1.1.1 平壁一维导热问题

假设热量从平壁左侧传向右侧，根据实际导热经验总结的导热规律（傅里叶定律），热流量的表达式可写为：

\Phi =\lambda A\frac{T_1-T_2}{\delta}\\

A 表示导热面积； \delta 表示平壁厚度； \lambda 是材料的导热系数,表示物体导热能力大小。

1.1.2 温度场

温度场 ：物体中某一时刻各点温度值所组成的集合。

T=f\left( x,y,z,\tau \right)\\

稳态条件工作下的温度场，物体中各点的温度不随时间变化。

等温线（面） ：温度场中温度相同的点连成线（面）。沿等温线（面）没有热量的传递。

温度梯度 ：具有连续温度场的物体内，过任意一点温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上，称过该点的最大温度变化率为温度梯度。

\mathbf{grad}T=\frac{\partial T}{\partial n}\boldsymbol{n}=\frac{\partial T}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial T}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial T}{\partial z}\boldsymbol{k}=\mathbf{\nabla }T\\

1.1.3 傅里叶导热定律

傅里叶导热定律 ：单位时间、单位面积上的传热量（热流密度）与温度梯度成正比。

q=-\lambda \mathbf{grad}T=-\lambda \mathbf{\nabla }T\\ \varPhi =-\lambda A\mathbf{grad}T=-\lambda A\mathbf{\nabla }T\\

符号“ - ”表示热量传递指向温度降低的方向（与温度梯度方向相反）。

1.1.4 导热机理与导热系数

导热机理 ：气体中，导热是气体分子不规则运动时相互碰撞的结果；导电固体主要靠自由电子的运动传递热量；在非导电固体中，导热是通过弹性声波（晶体结构的振动）来实现的；液体的导热机理比较复杂，既有晶格振动也有分子热运动，尚无定论。

导热系数 ：

导热系数与压力关系不大；
一般来说，气体的导热系数会随温度的升高而变大；
金属的导热系数大于非金属，多数金属的导热系数随温度升高而缓慢减小，合金及微量杂质会使金属的导热系数明显降低。；
固体的导热系数大于液体，液体的导热系数大于固体，气体和液体的导热系数与分子量密切相关，分子量越小，导热系数越大。

1.2.5 导热微分方程

从导热物体中取一平行六面微元体进行导热热平衡分析。设物体中含有内热源，其值为 \dot{S} ，它代表单位时间内单位体积产生或消耗的热量（单位 \mathrm{W/m^3} ，产生热量为正，消耗热量为负）。

将任一方向的热流量分解为 x ， y ， z 坐标轴方向的分热流量。以 x 方向为例，单位时间导入微元题的热量为：

q_xdxdz

导出微元体的热量：

q_{x+dx}dxdz=\left( q_x+\frac{\partial q_x}{\partial x}dx \right) dydz\\

导入微元体的净热量：

q_xdxdz-\left( q_x+\frac{\partial q_x}{\partial x}dx \right) dydz=-\frac{\partial q_x}{\partial x}dxdydz\\

一维导热的傅里叶定律表达式为：

q_x=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\\

带入前式，可得 x 方向上导入微元体的净热量：

\frac{\partial}{\partial x}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right) dxdydz\\

故导入整个微元体的净热量：

\left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right) +\frac{\partial}{\partial y}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} \right) +\frac{\partial}{\partial z}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial z} \right) \right] dxdydz\\

单位时间内微元体内能的增加为：

\rho c\frac{\partial T}{\partial \tau}dxdydz\\

根据能量守恒：单位时间内微元体内能=单位时间导入微元体的净热量+单位时间微元体内热源生成的热量，建立方程消去 dxdydz 可得：

\rho c\frac{\partial T}{\partial \tau}=\left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right) +\frac{\partial}{\partial y}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} \right) +\frac{\partial}{\partial z}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial z} \right) \right] +\dot{S}\\

上式是直角坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。

稳态条件下，时间项 \rho c\dfrac{\partial T}{\partial \tau} 为 0 ；无内热源条件下，源项 \dot{S} 为 0 。

常物性条件下，扩散项中的 \lambda 为常数，可直接提出，于是我们可以得到：

a=\frac{\lambda}{\rho c}\\

a 被称为 热扩散系数 ，反映了热扩散的能力。

定解条件:

解决导热问题，需要对微分方程进行求解，使微分方程获得适合某一特定问题的解的附加条件，称为定解条件。

定解条件常包含几何条件、物性条件、边界条件和初始条件。

导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类：

（1）第一类边界条件——————给定物体边界上的温度；

（2）第二类边界条件——————给定物体边界上的热流密度；

q=\left. -\lambda \frac{dT}{dx} \right|_{\mathrm{w}}\\

（3）第三类边界条件——————给定物体边界与周围流体间的对流换热系数 h 及流体的温度 T_f 。

h\left( T_{\mathrm{w}}-T_f \right) =\left. -\lambda \frac{dT}{dx} \right|_{\mathrm{w}}\\

平壁一维导热问题再讨论

✈假设导热系数为常数，无内热源，平壁两个表面分别维持在不同的均匀而恒定的温度，如下图所示：

一维、常物性、无内热源稳态导热微分方程为：

\frac{d^2T}{dx^2}=0\\

第一类边界条件为： x=0,T=T_1 ； x=\delta,T=T_2

微分方程通解为:

T=C_1x+C_2

由边界条件可以解出积分常数 C_1 和 C_2 ，得到温度分布：

T=\frac{T_2-T_1}{\delta}x+T_1\\

根据傅里叶定律还可以解出热流密度：

q=\lambda \dfrac{T_2-T_1}{\delta}\\

热流密度表达式也可以作为第二类边界条件助于微分方程的求解。

还有的问题会给定物体边界与周围流体间的对流换热系数 h 及流体的温度 T_f ，即第三类边界条件来助于微分方程的求解。

✈当平壁具有均匀的内热源，假设导热系数仍为常数。

一维、常物性、有内热源稳态导热微分方程为：

\lambda \frac{d^2T}{dx^2}+\dot{S}=0\\

该微分方程的通解为：

T=-\frac{\dot{S}}{2\lambda}x^2+C_1x+C_2\\

根据具体问题给出的边界条件解出积分常数便得到了温度分布。

2.1 热对流与对流换热

热对流（heat convection）是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。

自然对流是由于流体冷、热各部分的密度不同而引起的，产生的条件为：①温差；②流体具有膨胀性；③重力。

2.1.1 对流换热（对流传热）

工程上更关心流体流过一个物体表面时流体与物体表面之间的热量传递过程，即对流换热。

对流换热既包含流体区域的热对流，也有物体表面的导热，是热对流和热传导的组合，对流换热不是基本传热方式。

2.1.2 牛顿冷却公式

对流换热的基本计算式是牛顿冷却公式：

\varPhi =hA\varDelta T\qquad q=h\varDelta T\\

h ——————对流换热系数，单位： \mathrm{W/(m^2K)} ，与多重因素有关，它不是物性参数。

2.1.3 对流换热的影响因素

由于对流换热的影响因素众多，可以将对流换热分为不同的类型：

根据流动的起因，可以分为强迫对流换热和自然对流换热；
根据流动的状态，可以分为层流对流换热和湍流对流换热；
根据换热表面几何因素，可以分为内流对流换热和外流对流换热；
根据有无相变，可以分为单相对流换热和多相对流换热。

此外，对流换热还与流体的物性有关。

一般情况下，流体为水比流体为空气时的 h 更高；流体流速升高，可使 h 增加；湍流状态下比层流状态下 h 更高。

2.1.4 对流换热的分析思路

当黏性流体在壁面上流动时，贴壁处的流体与壁面相对静止，这个极薄的贴壁流体层以热传导的方式进行热传递，不考虑辐射，对流传热量等于贴壁流体层的导热量。

将傅里叶定律应用于贴壁流体层，可得：

q=\left. -\lambda \frac{\partial T}{\partial y} \right|_{y=0}\\

式中： \left. \dfrac{\partial T}{\partial y} \right|_{y=0} 为贴壁处壁面法线方向上的流体温度变化率。将牛顿冷却公式与上式联立，可以得到：

h=-\frac{\lambda}{\varDelta T}\left. \frac{\partial T}{\partial y} \right|_{y=0}\\

它将对流换热表面的传热系数与流体的温度场联系起来，是对流换热分析的重要公式。

2.1.5 边界层

速度边界层 ：当流体流过固体壁面时，由于流体粘性的作用，使得在固体壁面附近存在速度发生剧烈变化的薄层，又称附面层。

速度边界层将流场分为边界层内与边界层外两个区域，边界层外称为主流区，速度梯度极小，可以忽略黏性造成的切应力，只在边界层内才考虑流体的黏性作用。

通常规定达到主流速度的 99\% 处的距离 y 为速度边界层的厚度，记为 \delta。

温度边界层 ：当流体流过固体壁面时，在壁面附近的一个薄层内，流体温度在壁面的法线方向上发生剧烈变化，这个薄层称为温度边界层，其厚度记为 \delta_t 。

过余温度：流体中某点温度与壁面温度之差。表达式为：

\theta =T-T_{\mathrm{w}}\\

壁面处 \theta_{\mathrm{w}}=0 ，主流区 \theta_{\infty}=T_{\infty}-T_{\mathrm{w}} 。

对于外掠平板的对流换热，一般以过余温度为来流过余温度的 99\% 处定义为 \delta_t 的外边界。

边界层的发展

边界层内会出现层流和湍流两类状态不同的流动。流体以 u_{\infty} 的流速沿平板流动，在平板的起始段， \delta 很薄，随着 x 的增加，由于壁面黏滞力的影响逐渐向流体内部传递，边界层逐渐加厚，此时流体在一定距离内作有秩序的分层流动，各层互不干扰，这时的边界层被称为层流边界层。边界层沿流动方向逐渐增厚，在临界距离 x_{cr} 处，惯性力的作用开始大于黏性力的作用，此时边界层内的流动变得不稳定起来，流动朝着湍流过渡，该区域被称为转捩区，最终流动过渡为湍流区。

湍流边界层的主体核心虽然处于湍流流动状态，但紧靠壁面处黏滞应力仍占主导地位，致使贴附于壁面的一极薄层内仍保持着层流流动的主要性质，这个极薄层被称为湍流边界层的黏性底层。在湍流核心和黏性底层之间存在着起过渡性质的缓冲层。

动力黏性系数 ：通常用 \mu 表示，是流体黏性大小的一种度量，其大小与流体的物理性质和温度有关
运动黏性系数 ：动力黏性系数与密度之比称为动力黏性系数，单位为 \mathrm{m^2/s} ，它的表达式为：
\nu =\dfrac{\mu}{\rho}\\ 因为它的量纲中仅有长度和时间，即具有动力量的量纲，故称为运动黏性系数，反映了动量扩散的能力。

对于外掠平板，雷诺数表达式可写为：

\mathrm{Re}=\frac{\rho u_{\infty}x}{\mu}=\frac{u_{\infty}x}{\nu}\\

当 \mathrm{Re}>5\times10^5 时，层流变为湍流。湍流出现在大雷诺数下，流体呈现涡旋运动，微团之间的掺混使得扩散增强，在空间上和时间上很不规则。

普朗特数 ：表明动量扩散和热扩散能力的相对大小,也反映了速度和温度边界层厚度的相对大小。

\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{a}\\

2.1.6 典型对流换热问题

（一）外掠平板的对流换热

外掠平板对流换热问题的对流换热系数变化规律为： h 在前沿点较高，随着层流边界层的逐渐增厚， h 逐渐降低；发生转捩后， h 骤然升高；随着湍流边界层的发展，层流底层逐渐增厚， h 逐渐降低。

（二）管内对流换热

热边界层厚度由零发展到汇合于通道中心，传热强度由最高而逐渐减弱。

管内对流换热的入口效应 ：入口段由于边界层较薄，对流换热系数高于充分发展段。

（三）自然对流换热

现以一块竖直地置于流体空间中的温度均匀的固体平壁附近形成的自然对流为例来分析。一般情况下，不均匀温度场仅发生在靠近换热壁面的薄层之内。在贴壁处，流体温度等于壁面温度 T_{\mathrm{w}} ，在离开壁面的方向上逐步降低，直至周围环境温度 T_{\infty} ，如图所示。薄层内的速度分布则有两头小中间大的特点。贴壁处，由于黏性作用速度为零，在薄层外缘温度不均匀作用消失，速度也等于零，在接近热壁的中间处速度有一个峰值。

格拉晓夫数（Grashof）数 ：反映重力场中浮升力对自然对流换热的影响。

\mathrm{Gr}=\frac{g\beta \left( T_{\mathrm{w}}-T_{\infty} \right) L^3}{\nu ^2}\\

\mathrm{Gr}\cdot \mathrm{Pr}>10^9 为湍流，否则为层流。

（四）高速气流对流换热

绝热壁温：

T_{\mathrm{aw}}=T_{\infty}+r\frac{u^2}{2c_p}=T_r\\

T_r 被称为恢复温度； r 是恢复系数，对于层流 r=\sqrt{\mathrm{Pr}} ，对于湍流， r=\sqrt[3]{\mathrm{Pr}} 。

当气流被加热，壁面被冷却， T_{\mathrm{w}}>T_{\mathrm{aw}} ;当气流被冷却，情况与前面相反。

3.1 热辐射

由于热的原因而产生的电磁波辐射称为热辐射，热辐射有时也指物体通过电磁波来传递热量的过程。热辐射的电磁波是物体内部微观粒子的热运动状态改变时激发出来的。

热辐射的特点：①不需要冷热物体的直接接触：能量可以在真空中传播（不需要介质）；②热量在传递过程中发生能量形式上的变化（发射时从热能转化为辐射能，被吸收时从辐射能转化为热能）；③凡是温度高于 0\mathrm{K} 的物体都有向外发射热射线的能力。

3.1.1 电磁波谱

电磁波的波长包括从零到无穷大的范围。

工业上遇到的温度大多在 2000\mathrm{K} 以下，大部分能量位于红外线区段的 0.76\sim20\mathrm{\mu m} 内，在可见光区段 0.38\sim 1.76\mathrm{\mu m} 热辐射能量占比不大。

太阳辐射的能量主要集中在可见光和红外线范围内；地球表面对外辐射的能量主要集中在红外线范围（温室气体可吸收红外线）；人体辐射的能量主要集中在红外线范围。

3.1.2 辐射能的吸收、反射和透射

当热辐射的能量投射到物体表面上时，会发生吸收、反射和穿透现象。在外界投射到物体表面的总能量 Q 中，物体吸收的能量为 Q_{\alpha} ，反射的能量为 Q_{\rho} ，透射的能量为 Q_{\tau} ，根据能量守恒定律：

Q=Q_{\alpha}+Q_{\rho}+Q_{\tau}\\

也可以写为：

\frac{Q_{\alpha}}{Q}+\frac{Q_{\rho}}{Q}+\frac{Q_{\tau}}{Q}=\alpha +\rho +\tau =1\\

\alpha ————吸收率； \rho ————反射率； \tau ————透射率。对于一般固体和液体，可以认为 \tau=0 ；对于气体，可以认为 \rho=0 。

3.1.3 黑体辐射基本定律

黑体 ：吸收率 \alpha=1 的理想物体。在相同温度物体中，黑体的辐射能力最强。

（一）斯忒藩-玻尔兹曼定律

辐射力 ：单位时间内单位表面积向其上半球空间的所有方向辐射出去的全部波长范围内的能量称为辐射力，记为 E ，单位为 \mathrm{W/m^2} 。

E_b=\sigma T^4

\sigma ————黑体辐射常数，其值为 5.67\times 10^{-8}\mathrm{W}/\left( \mathrm{m}^2\cdot \mathrm{K}^4 \right) ，也被称作斯忒藩-玻尔兹曼（Stefan-Boltzmann）常数。

对于实际物体，辐射力 E 总是小于同温度下的黑体的辐射力 E_b ，两者的比值被称为实际物体的发射率（又称黑度），记为 \varepsilon ，因此实际物体的辐射力可以写为：
E=\varepsilon E_b=\varepsilon \sigma T^4\\
物体的发射率仅取决于物体本身，与周围环境条件无关。

（二）普朗克定律

光谱辐射力 :单位时间内单位表面积向其上半球空间的所有方向辐射出去的包括波长 \lambda 在内的单位波长内的能量称为光谱辐射力，记为 E_{b\lambda} ，单位通常为 \mathrm{W}/\left( \mathrm{m}^2\cdot \mathrm{\mu m} \right) 。

E_{b\lambda}=\frac{c_1\lambda ^{-5}}{e^{c_2/\left( \lambda T \right)}-1}\\

c_1 ————第一辐射常量， 3.7419\times 10^{-16}\mathrm{W}\cdot \mathrm{m}^2 ；

c_2 ————第二辐射常量， 1.4388\times 10^{-2}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K} 。

普朗克定律与斯忒藩-玻尔兹曼定律的关系：
E_b=\int_0^{\infty}{E_{b\lambda}}d\lambda =\int_0^{\infty}{\frac{c_1\lambda ^{-5}}{e^{c_2/\left( \lambda T \right)}-1}}d\lambda\\

（三）维恩位移定律

光谱辐射力最大处的波长 \lambda_m 随着温度的升高向短波长移动。

\lambda _mT=2.8976\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}

对于太阳， \lambda_{max}=0.5\mathrm{\mu m} ， T\approx 5800\mathrm{K} 。

3.1.4 实际物体表面的热辐射

漫反射 ：当物体表面的不平整尺寸大于投入辐射的波长时，形成漫反射，这时从某一方向投射到物体表面上的辐射向空间各个方向反射出去，一般工程材料的表面都形成漫反射。

实际物体表面对于不同波长的光谱，具有不同的发射率 \varepsilon(\lambda) ，这给辐射传热的计算带来了很大的不便。为了简化计算，假设实际物体对于不同波长的光谱的，具有相同的发射率 \varepsilon ，这个理想物体被称为灰体。

实际物体表面在不同方向上，具有不同的辐射强度，为了简化问题，假设在不同的方向上，物体表面具有相同的辐射强度。

4.1 综合传热问题

4.1.1 “传热过程”和热阻分析法

热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中的过程称为“传热过程”（Overall Heat Transfer）。

考察冷、热流体通过一块大平壁的传热过程，分析仅限于稳态条件下的传热，不考虑热辐射。一般来说，传热过程包括串联着的三个环节：（1）从热流体到壁面高温侧的热量传递（对流换热）；（2）从壁面高温侧到壁面低温侧的热量传递（导热）；（3）从壁面低温侧到冷流体的热量传递（对流换热）。稳态条件下，通过串联着的每个环节的热流量 \Phi 是相同的。

三个环节的热流量表达式如下：

\begin{align}\Phi &=Ah_1\left( T_{f1}-T_{\mathrm{w}1} \right) \notag\\ \Phi &=\lambda A\frac{T_{\mathrm{w}1}-T_{\mathrm{w}2}}{\delta}\notag\\ \Phi &=Ah_2\left( T_{\mathrm{w}2}-T_{f2} \right)\notag \end{align}\\

改写为温压形式：

T_{f1}-T_{\mathrm{w}1}=\dfrac{\Phi}{Ah_1}\\T_{\mathrm{w}1}-T_{\mathrm{w}2}=\frac{\Phi}{\lambda A/\delta}\\T_{\mathrm{w}2}-T_{f2}=\frac{\Phi}{Ah_2}\\

三式相加，消去 T_{\mathrm{w1}} 、 T_{\mathrm{w2}} 可得：

\Phi =\frac{T_{f1}-T_{f2}}{\dfrac{1}{Ah_1}+\dfrac{\delta}{A\lambda}+\dfrac{1}{Ah_2}}\\

与电学的欧姆定律 I=\dfrac{U}{R} 比较， \dfrac{1}{Ah_1}+\dfrac{\delta}{A\lambda}+\dfrac{1}{Ah_2} 具有类似电阻的作用，称其为传热过程的热阻， \dfrac{1}{Ah_1} 、 \dfrac{\delta}{A\lambda} 和 \dfrac{1}{Ah_2} 分别是各个环节的热阻。画出热阻网络图如下：

热量传递是自然界中的一种转移过程，各种转移过程可以归结为：

对于热流量的表达式：热流量 \Phi 是传热过程的转移量；温压 T_{f1}-T_{f2} 是转移过程的动力， \dfrac{1}{Ah_1}+\dfrac{\delta}{A\lambda}+\dfrac{1}{Ah_2} 是转移过程的阻力，故被称为热阻。

多层平壁导热

不考虑接触热阻，利用热阻分析法写出热流量表达式：

\Phi =\frac{T_1-T_2}{\dfrac{\delta _1}{A\lambda _1}+\dfrac{\delta _2}{A\lambda _2}+\dfrac{\delta _3}{A\lambda _3}}\\

该方法对任意层的多层壁也适用。

4.1.2 传热的强化与弱化

在温压不变的情况下，传热的强化与弱化分别是减小热阻和增大热阻。

传热的强化

（一）增大 A :（1）扩大尺寸；（2）扩展表面——肋片（肋片的尺寸、形状、疏密需要合理选择）。

（二）增加 h :（1）改变流体的物性——流体对流换热>气体对流换热； （2）改变流动状态——湍流>层流； （3）改变流动的起因——强迫对流>自然对流。

（三）减小接触热阻:（1）加压； （2）填充导热系数较大的物质。

传热的弱化

（一）减小 \lambda :采用保温材料（ \lambda<0.12\mathrm{W/(m\cdot K)} ）

（二）对于热辐射，可以安装遮热板。

......

4.1.3 非稳态导热

物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。非稳态导热过程中在热量传递方向上不同位置处的导热量是不同的；不同位置间导热量的差别来自该两个位置间的物体内能随时间的变化，这是区别于稳态导热的一个特点。

非周期性非稳态导热过程有两个重要阶段，分别是非正规状况阶段和正规状况阶段。

非正规状况阶段 ：环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，即物体大部分区域受到初始温度分布控制的阶段。必须用无穷级数描述。

正规状况阶段 ：环境的热影响已经扩散到整个物体内部，即物体主要受热边界条件影响的阶段。可以用初等函数描述。

集中参数法

下面分析第三类条件下 Bi 数对平板中温度分布的影响，将初始温度为 t_0 的平板置于温度为 t_{\infty} 的流体中进行冷却。

当平板的导热热阻 \delta/\lambda 与表面对流换热热阻 1/h 数值比较接近时，平板的温度分布随时间 \tau 的变化趋势大致呈图（a）所示。

当 1/h\gg\delta/\lambda 时，这时平板的导热热阻 \delta/\lambda 几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移整体地下降，逐渐趋近于 t_{\infty} ，如图（b）所示。

导热热阻与表面对流换热热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。表征这两个热阻比值的无量纲数就是毕渥（Boit）数：

Bi=\dfrac{\dfrac{l}{\lambda A}}{\dfrac{1}{hA}}=\dfrac{hl}{\lambda}\\

l ————特征长度。（对于平板，特征长度取其厚度的一半）

当固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻固体内部的温度都趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬间均处于同一温度下。此时温度 T 是时间 \tau 的一元函数而与空间坐标无关，这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为 集中参数法 。

对于平板等一维非稳态第三类边界条件下的导热问题，当定义的毕渥数满足：

Bi=\frac{hl}{\lambda}\leqslant 0.1\\

此时可用采用集中参数法简化计算，并且计算的结果在要求的精度范围内。

温度场的分析解

假设一初始温度为 T_0 的物体，投入到温度为 t_{\infty} 的流体中。物体的体积 V 、比热容 c 、导热系数 \lambda 、密度 \rho 、换热面积 A 、对流换热系数 h 。（ Bi\leqslant0.1 ）

在某一瞬时：

\rho cV\frac{dT}{d\tau}=hA\left( T_{\infty}-T \right) \\

引入过余温度 \theta=T-T_{\infty} ，上式变为：

\rho cV\frac{d\theta}{d\tau}=-hA\theta\\

以过余温度表示的初始条件为： \theta _0=T_0-T_{\infty} ，分离变量后积分：

\int_{\theta _0}^{\theta}{\frac{d\theta}{\theta}}=-\int_0^{\tau}{\frac{hA}{\rho cV}}d\tau \\

结果为：

\ln \frac{\theta}{\theta _0}=-\frac{hA}{\rho cV}\tau \\

可以写为：

\frac{\theta}{\theta _0}=\frac{T-T_{\infty}}{T_0-T_{\infty}}=\exp \left( -\frac{hA}{\rho cV}\tau \right) \\

记 \dfrac{1}{\tau _c}=\dfrac{hA}{\rho cV} ，于是有：

\frac{\theta}{\theta _0}=\frac{T-T_{\infty}}{T_0-T_{\infty}}=e^{-\dfrac{\tau}{\tau _c}}\\

\tau_c ——————时间常数。反映了物体对温度变化响应的快慢， \tau_c 越小，响应越快。

当经历 1 个时间常数时，过余温度变为初始过余温度的 36.8\% ；
当经历 4 个时间常数时，过余温度变为初始过余温度的 1.8\% ，此时可认为物体的温度达到了环境温度。

对于厚为 \delta 的平板，特征长度 l 取 \delta/2 ，若 A 为整个平板的面积，则时间常数为:

\tau _c=\frac{\rho cV}{hA}=\frac{\rho c\frac{A}{2}\delta}{hA}=\frac{\rho c\delta}{2h}\\

✈当 Bi>0.1 时，对于平板，它的无量纲温度分析解为：

\dfrac{\theta \left( \eta,\tau \right)}{\theta _0}=2\sum_{n=1}^{\infty}{\exp \left[ -\left( \mu _n \right) ^2\dfrac{a\tau}{\delta ^2} \right]}\dfrac{\sin \left( \mu _n \right) \cos \left[ \left( \mu _n \right) \dfrac{x}{\delta} \right]}{\mu _n+\sin \left( \mu _n \right) \cos \left( \mu _n \right)}\\

式中 \eta=x/\delta ， \mu_n 是下列超越方程的根：

\tan \left( \mu _n \right) =\frac{Bi}{\mu _n},n=1,2,\cdots \\

非周期性的非稳态导热过程在进行到一定深度后，初始条件对物体中无量纲温度分布的影响基本消失，温度分布主要取决于边界条件的影响，这一阶段就是正规状况阶段。在一定的 Bi 数下 \mu_n 的值随 n 的增加而迅速增加，无穷级数第一项以后的项会随着 \dfrac{a\tau}{\delta ^2} 的增加而迅速衰减。通过分析可以得出分析解无穷级数的第一项就是正规状况阶段温度场的解。

对于平板，正规状况阶段的简化表达式为：

\frac{\theta \left( \eta ,\tau \right)}{\theta _0}=\frac{2\sin \mu _1}{\mu _1+\sin \mu _1\cos \mu _1}\exp \left[ -\left( \mu _1 \right) ^2\frac{a\tau}{\delta ^2} \right] \cos \left( \mu _1\eta \right)\\

正规状况阶段的任何时刻，平板中任意处（ \eta ）与平板中心（ \eta=0.0 ）处的过余温度之比为：

\frac{\theta \left( \eta ,\tau \right)}{\theta \left( 0,\tau \right)}=\frac{\theta}{\theta _m}=\cos \left( \mu _1\eta \right) \\

对于无限大的平板，先根据简化表达式给出的 \theta_m/\theta_0 随 \dfrac{a\tau}{\delta ^2} 和 Bi 变化的曲线（诺谟nomogram图）,随后计算 \theta/\theta_m 的值，于是平板中任意一点的 \theta/\theta_0 便为：

\frac{\theta}{\theta _0}=\frac{\theta _m}{\theta _0}\cdot \frac{\theta}{\theta _m}\\

参考资料：

[1]传热学.陶文铨
[2]气体动力学.潘锦珊
[3]传热和传质基本原理.F.P.Incropera
[3]航空发动机传热学课程PPT

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