PDE|释义：解，条件，问题
本文简单梳理偏微分方程中可能遇到的那些 “解”，“条件” 和 “问题” 。
写在前面：“定”与“泛定”
在一些文献的语境中，“定”是相对于“泛定”而言的。如果一个方程只有孤零零一个等式它自己，没有别的附加的任何条件，我们就把这个方程称为是泛定的，也就是它是一个 泛定方程（pan-set equation） 。有的地方就直接把泛定方程称为 数学物理方程 。泛定方程反映的是普遍的物理规律。
解
一般来说，
只要有一个函数具有偏微分方程所要求的各阶偏导数，代入后使得方程在求解区域上恒成立，这就可以称为该方程的 解（solution） 。
整个偏微分方程理论，就是围绕着求方程的解和研究解的性质进行的。但是，在求解的过程中我们还可能构造出其他函数，它们不是解，但和解有紧密的关系，或者“在某种意义上是解”，所以我们还要发展解的概念，提出一些别的“解”。
定解
一般来说，在定解条件下求解原方程，得到的解就应该称为 定解（definite solution） 。
基本解
Lf=\delta 的解称为 基本解（fundamental solution） ，其中 \delta 是Delta函数。
强解
强解是通过某种收敛性定义的。
若有函数列 u_n 满足 Lu_n=f_n ，且当 n \to \infty 时， u_n \xrightarrow{\text{some way}} u ， f_n \xrightarrow{\text{some way}} f ，我们就把 u 称为方程 Lu=f 的强解。
弱解
弱解的定义是通过对原方程两边乘一个性质较好的测试函数 \varphi ，两边在适当的区域上积分，然后利用形式上的分部积分法，把对未知函数 u 的导数转移到测试函数上，从而满足此式的 u 未必是相应可微的。
条件
求解偏微分方程的经验显示，如果仅仅有微分方程本身，往往不足以将所需要的函数确定下来，但是在具体的物理过程中，解往往具有唯一性，所以我们还需要附加一些条件。同样的方程，在不同的条件下，其解表现可能大不相同。
边界条件
由于我们对方程的求解往往是在一定的区域上进行的，直观上可以想象，在边界上对函数的值加以规定，可以“传导、蔓延”到整个区域内，确定整个区域上的函数值。
如果我们在区域的边界各点规定了函数值，这样的一个条件就叫做 边界条件（boundary condition） 。
需要注意，这个函数值未必是直接对解的规定，也可以是对解的导数、方向导数等和解相联系的函数的规定。
常见的边界条件有这么几种：
-
第一类边界条件（Dirichlet边界条件）
直接规定解在边界上的值，即 u|_{\partial \Omega} 。 -
第二类边界条件（Neumann边界条件）
规定解在边界上法向导数的值，即 \frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial \Omega} 。 -
第三类边界条件（Robin边界条件）
规定解和它在边界上的法向导数的函数线性组合的值，即 (\frac{\partial u}{\partial n}+\sigma u)|_{\partial \Omega} 。
初始条件
由于偏微分方程往往来自于物理问题，具有强烈的物理背景，经常会摄入时间 t 作为它的变量之一。我们把 t=0 称为是 初始时刻 。
如果我们在初始时刻规定了函数值，这样的一个条件就叫做 初始条件（initial condition） 。
需要注意，这个函数值依然未必是直接对解的规定，也可以是对解的导数、方向导数等和解相联系的函数的规定。
定解条件
很多文献把 定解条件（definite condition） 理解为 初始条件和边界条件的总和 。
问题
定解问题
在定解条件下求解方程的问题称为 定解问题（definite problem） 。
有的文献把定解问题对应的英文称为 problem-set solution ，而 泛定 称为 pan-set 。有的地方还把定解问题称为 正问题 。
初值问题
有的时候我们的定解条件中没有边界条件，只有初始条件。
只有初始条件的定解问题称为 初值问题（initial value problem） ，又叫 柯西问题（Cauchy problem） 。
边值问题
只有边值条件的定解问题称为 边值问题 。
相应于各个边值条件，把这些边值问题对应命名为 第一边值问题（Dirichlet问题）、第二边值问题（Neumann问题）、第三边值问题 。
混合问题/初边值问题
有的时候我们的定解条件里面既有边界条件，又有初始条件。
既有初值条件又有边界条件的定解问题称为 初边值问题 或 混合问题 。
内/外问题
有时我们特别在在意区域内外的差别，在区域内部求解方程就称为 内 问题，在区域外部求解就称为 外 问题。
