以 $T$ 为周期的函数 $f(x+T)=f(x)$ ，取 $\xi=\frac{2\pi x}T$ ，则 $y(\xi)=f(\frac{T}{2\pi}\xi)$ ，且有
因此，只研究周期为 $2\pi$ 的函数就可以了。
定义 1 . 以 $2\pi$ 为周期的函数 $f(x)$ 的 Fourier级数 展开为
其中 $a_0$ , $a_n$ , $b_n$ , $n=1,2,\cdots$ 称为 $f(x)$ 的 Fourier系数
定义 2 . 三角函数 $1$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $\sin2x$ , $\cos2x$ , $\cdots$ 称为 三角函数系 。
三角函数系在其一个周期 $[-\pi,\pi]$ 上具有 正交性 ，即三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间 $[-\pi,\pi]$ 上的积分为 $0$
$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot \sin(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot \cos(nx)dx=0$ , $n=1,2,3,\cdots$
$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx=0$ , $m\neq n$
$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx=0$ , $m,n=1,2,3,\cdots$
$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)dx=\pi$ , $n=1,2,\cdots$
$\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2\pi$
则Fourier系数由下面的Euler-Fourier公式给出
例 1 . ( 10.1.2 ) 将函数展开为Fourier级数
判定敛散性，并求和函数
定理 2 . ( Dirichlet收敛定理 ) $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，且在任意有限区间上逐段光滑，则
（1） 它的Fourier级数在整个数轴上都收敛； $f(x)$ 在每个连续点处收敛于 $f(x)$ ，在每个间断点处收敛于 $\frac{f(x+)+f(x-)}2$
（2） 如果 $f(x)$ 在整个数轴上处处连续，则其Fourier级数在整个数轴上绝对一致收敛于 $f(x)$ ，即Fourier级数的绝对值级数在整个数轴上一致收敛 逐段光滑 是指：对任意有限区间 $[a,b]$ ，存在有限个点，将区间 $[a,b]$ 分成有限个子区间，使得函数 $f(x)$ 在每个子区间内连续，且有连续的导数 $f'(x)$ ，而在这些子区间的端点处 $f(x)$ 及 $f'(x)$ 最坏只能是第一类间断。
为一个 $n$ 次三角多项式 。
定理 3 . $f(x)$ 是定义在整个数轴上的周期为 $2\pi$ 的逐段光滑的连续函数，则 $f(x)$ 可以被三角多项式一致逼近
Gibbs现象 : Fourier级数在 $f(x)$ 的间断点附近的误差趋于该间断处跳跃 $|f(x+)-f(x-)|$ 的约 $9\%$ 。
若 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期，取
则 $g(t)$ 以 $2\pi$ 为周期，这样，有
回到变量 $x$ ，就有
若 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的奇函数，则有
称为 Fourier正弦级数 ，此时
若 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的偶函数，则有
称为 Fourier余弦级数 ，此时
有限区间上的函数，作“周期延拓”到整个区间，然后求解
$f(x)$ 定义在 $[-l,l]$ 逐段光滑，直接做周期为 $2l$ 的 周期开拓 ，
则 $F(x)$ 是定义在整个数轴上的 $2l$ 为周期的函数
则有Fourier展开
对于 $f(x)$ 同样有，
例 2 . 将函数
展开成Fourier级数。
例 3 . 将函数 $f(x)=sgn(x), x\in(-\pi,\pi)$ 展开成Fourier级数。并求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$
$f(x)$ 定义在 $[a,b]$ 上时，取 $2l=b-a$ ，则有
例 4 . 在 $(a,a+2l)$ 中展开 $f(x)=x$
$f(x)$ 定义在 $[0,l]$ 上，先做 奇性开拓
然后再做周期开拓，得到 $F_o(x)$ 。 这样，函数 $F_o(x)$ 是整个数轴上的周期为 $2l$ 的奇函数，可以展开为Fourier正弦级数
$f(x)$ 定义在 $[0,l]$ 上，先做 偶性开拓
然后再做周期开拓，得到 $F_e(x)$ 。 这样，函数 $F_e(x)$ 是整个数轴上的周期为 $2l$ 的偶函数，可以展开为Fourier余弦级数
例 5 . 对函数 $f(x)=x^2$ ，
（1） $x\in[-\pi,\pi]$ ，作余弦展开
（2） $x\in[0,\pi]$ ，作正弦展开
（3） 在 $x\in[0,2\pi]$ 上展开
例 6 . 把 $(0,\frac{\pi}2)$ 上的函数 $f(x)$ 开拓到 $(-\pi,\pi)$ ，使得Fourier级数形如
可以证明 $L^2[-\pi,\pi]$ 为线性空间。
引入 内积
及 度量 （称为 $L^2$ 度量 ）
$L^2[-\pi,\pi]$ 中函数列 $f_n(x)$ 收敛到函数 $f(x)$ ，或 $f_n(x)$ 均方收敛 到 $f(x)$ ，是指
对 $f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$ ，则
存在有限，有
第 $n$ 个部分和
部分和 $T_n(x)$ 是否在 $L^2$ 度量收敛到 $f(x)$ ?
定理 4 . ( Fourier系数的最优性 ) $f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$ ， $T_n(x)$ 是 $f(x)$ 的Fourier级数的第 $n$ 个部分和， $S_n(x)$ 是任意一个 $n$ 次三角多项式，则有
定理 5 . ( Bessel不等式 ) $f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$ ，且
定理 6 . ( Parseval等式 ) $f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$ ，且
则 $T_n(x)$ 在 $L^2$ 度量下收敛到 $f(x)$ ，且有
（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{|a_n|+|b_n|}n$ 收敛
（2） $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0$
推论 2 . ( 推广形式的Parseval等式 ) $f(x), g(x)\in L^2[-\pi,\pi]$ ， $f(x)$ 的Fourier系数为 $a_n$ , $b_n$ ， $g(x)$ 的Fourier系数为 $\alpha_n$ , $\beta_n$ ，则有
则对区间 $[-\pi,\pi]$ 上的任意 $a$ , $b$ ，有如下的逐项积分公式
例 7 . ( 逐项积分 ) 已知
求 $x^2$ , $x^3$ 的展开式
例 8 . ( Parseval等式 ) 求
的Fourier展开式，并求
例 9 . 将周期 $2\pi$ 的函数
展开为Fourier级数，并求
例 10 .
