上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。
勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。
勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为：
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内容直白明了。
推导
Legend
re Equation
(1−x2)d2ydx2−2xdydx+k(k+1)y=0
(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2}-2x\frac{d y}{dx} + k(k+1)y=0
(1−x2)dx2d2y−2xdxdy+k(k+1)y=0
我们变换一下常微分不等式。检查2x(1−x2)\frac{2x}{(1-x^2)}(1−x2)2x，和k(k+1)(1−x2)\frac{k(k+1)}{(1-x^2)}(1−x2)k(k+1) 满足是用幂级数（Power Seri
推导
Legend
re Polynomials（勒让德
多项式
）
证明
Legend
re Polylnomails（勒让德
多项式
）是
Legend
re Differential Equation（勒让德微分方程）的解
勒让德微分方程:(1−x2)d2ydx2−2xdydx+k(k+1)y=0
勒让德微分方程:(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2}-2x\frac{d y}{dx} + k(k+1)y=0
勒让德微分方程:(1−x2)dx2d2y−2xdxdy+k(k+1)y=0
* @time:17.11.09
* @author:icesongqiang
*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h> // for srand()
#include <malloc.h> // for malloc() && free()#include <time.h>
Legend
re
多项式
是一组经典的数学函数，它们在科学和工程领域中有着广泛的应用，特别是在描述周期性的物理现象、统计学中的正态分布以及数学分析中作为解析函数的基础。这些
多项式
是以法国数学家Adrien-Marie
Legend
re的名字命名的。
1. 定义：
Legend
re
多项式
\( P_n(x) \)是n阶的
多项式
，其定义域通常为-1到1，表示为：
\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} [(x^2 - 1)^n] \]
2. 特征：
Legend
re
多项式
是正交的，这意味着它们在给定区间上互相垂直，即它们的乘积的积分为零。这使得它们成为求解偏微分方程的理想基函数。
3. 应用：它们常用于插值、拟合数据、信号处理、概率密度函数（如高斯分布）以及在物理学中的量子力学和固体物理学等领域，如拉普拉斯变换和傅里叶级数。
