公理化集合论简介（二）
- 本篇内容
从本篇开始我们将介绍 ZFC 公理系统中每条公理的意义和作用，以及集合论中的各种重要对象.
本篇介绍的内容包括：外延公理，子集，分离公理，类，空集，配对公理，元有序对
相关回顾
- 外延公理(axiom of extension)
如果两个集合有相同的元素，则它们相等
\forall u(u\in x\leftrightarrow u\in y)\rightarrow x=y
对尚不熟悉这些符号的读者的解释：“对任意的元素 u ，如果 u 是 x 的元素当且仅当 u 是 y 的元素（也就是说 x 和 y 的元素完全一致），那么 x=y ”
所谓外延，和内涵相对，是逻辑学中的概念. 注意如果 x=y ，那么 x 的元素和 y 的元素是相同的，这是由相等这个关系决定的，是谓词演算中的公理. 而外延公理说的是相反的方向，它告诉我们，只要元素相同，集合就相等，换言之，“一个集合完全被它的元素（外延）决定 ”.
这条公理给出了判断集合相等的方法. 事实上，在定义 子集 的概念后使用这条公理会更加方便：
定义 子集(subset)
如果 x 的元素全都是 y 的元素，我们就说 x 是 y 的子集，记作 x\subseteq y .
公式描述如下：
x\subseteq y \leftrightarrow \forall u(u\in x\rightarrow u\in y)
要记忆这个记法，只需注意
\subseteq
和
\leq
的相似性. 有了子集概念后，外延公理就等价于“如果
x\subseteq y \wedge y\subseteq x
则
x=y
”
这正是我们早在中学时期就学过的判断两个集合相等的方法，这个方法追根溯源正是来自外延公理.
子集有一些简单的性质，读者可自行验证：
- 每个集合 x 都是自身的子集，即对任意的 x 都有 x\subseteq x
- 子集关系具有所谓“传递性”，即 (x\subseteq y\wedge y\subseteq z)\rightarrow(x\subseteq z)
- 分离公理(axiom schema of separation)
在上一篇中我们曾提到著名的罗素悖论——一个以所有不属于自身的集合为元素的集合，它既属于自身，又不属于自身.
产生这条悖论的根源就是所谓的概括公理——对每一个公式 P(x) ，存在一个以满足 P 的所有对象为元素的集合 Y=\{x:P(x)\}
概括公理看起来很美好，但它太强了，至少对于集合来说是这样. 通过这条公理我们可以创造出一些容纳了“过多”对象的“集合”.
为了排除悖论，我们不得不抛弃概括公理而采用它的弱化版本——
分离公理(axiom schema of separation)
设 S(x) 是一个公式，或者说叫关于自由变量（以后解释） x 的一个性质，则对任意的集合 X ，存在一个集合 Y ，它的所有元素恰是 X 中满足 S(x) 的元素
\forall X \exists Y \forall x(x\in Y\leftrightarrow x\in X\wedge S(x))
通俗地说，就是对每一个关于 x 的性质 S(x)
[就是一条以 x 为自由变量的公式，所谓自由变量，就是 x 至少要在 S(x) 中出现一次，但它必须是“外源的”——即它不能出现在这条公式 S 里的某个量词后面（还记得量词后面也要跟一个符号吗）]，
我们都可以通过这条性质从某个已经存在的集合 X 中把所有满足这个性质的元素全都分离出来，构成一个新的集合 Y ，这也是分离公理名字的由来.
对比一下，概括公理是从整个“集合universe”中筛选元素，而分离公理只允许我们从已经存在的集合中筛选元素. 我们看到分离公理创造的新集合总是比原来的小，也就不会创造出罗素悖论中的那种“过大”的集合.
仿照罗素悖论的构造，我们可以从分离公理得出有一个有趣的推论——没有集合能容纳所有集合.
设 x 是一个集合，考虑集合 y=\{u\in x:u\notin u\}
比起罗素悖论中的那个集合， y 的元素都是从 x 中选出来的，尚不论 u\in u 是否真的会出现（看起来不太可能），我们可以证明 y\notin x .
采用反证法：如果 y\in x ，那么有两种可能：1.如果 y\in y ，那么根据 y 的定义， y 不是 x 中那些不属于自身的元素之一，因此 y 不属于 y ，导致矛盾；2.如果 y\notin y ，那么同样根据定义， y 是 x 中不属于自身的元素之一，从而 y\in y ，同样矛盾.
我们看到，在 y\in x 的前提下，无论后续是哪种情况，都是矛盾的，从而 y\in x 不可能是真命题，因此 y\notin x . 注意我们并没有给 x 附加任何条件，这事实上就证明了对任意的集合 x ，我们都能找到一个不是它元素的集合 \{u\in x:u\notin u\} ，也就是说没有集合能容纳所有集合.
那当我们想要考虑所有的集合时要怎么办呢，很多时候这样的概念是很方便的. 为了弥补这一点，我们有了以下概念：
定义 类(class)
类以集合为元素，我们仿照外延公理，规定元素相同的类相等，同时让概括公理对类成立：对任何的性质 S(x) ，都存在一个类 C=\{x:S(x)\}
这样，只要应用一条恒真的性质，就可以得到所有集合的类，比如这样 Universe=\{x:x=x\}
而由于类不能作为类的元素，只能以集合为元素，这就避免了罗素悖论. 这个思路可能来自罗素曾经思考过的给集合设置等级的想法，因为类看起来就像是集合之上的高一级的集合.
仿照集合中的概念，我们可以定义子类，类的交，并，补（后面会给集合定义这些概念）等.
目前为止我们其实还没有理由说真的有一个集合存在，不过看看上一篇中提到过的 无穷集公理——至少存在一个无穷集合 ，即便不去理解它的具体含义，光从字面上我们就知道它规定了某个集合（比如记作 Inf ）的存在性，这样，应用分离公理我们可以得到：
定义 空集(empty set)
∅=\{x\in Inf:x\ne x\}
很明显地，空集没有任何元素，且由外延公理它是唯一的，并且我们还有以下结论：
空集是任意集合的子集.
借此机会我们演示一下如何去证明空集是否满足某个性质，就以上述命题为例， 要证明空集是任意集合 x 的子集，按定义我们应该验证它的每个元素都属于 x . 然而空集没有元素，这个命题就是“虚真(vacuously true)”的. 更具体来说，我们去验证命题的反面——如果空集不是 x 的子集，那么，“空集的每个元素都是 x 的元素”的否定是“空集至少有某个元素不是 x 的元素”. 这样由于空集没有元素，上述否定命题是不可能成立的，因此原命题成立.
在遇到与空集相关的命题时都可以用类似的方法考察.
- 配对公理(axiom of pairing)
如果 x 和 y 都是集合，那么存在一个集合 z ，它的 元素恰是 x 和 y
\forall x\forall y\exists z\forall u(u\in z\leftrightarrow u=x\vee u=y)
根据外延公理，得到的以 x 和 y 为元素新集合是唯一的，我们通常把它记作 \{x,y\} ,而如果对 x 和 x 应用配对公理，得到的 \{x,x\} 就记作 \{x\} .
通过配对公理得到的集合可以称作无序对，因为根据外延公理有 \{x,y\}=\{y,x\} .
有时候有序对会更有用. 所谓的有序对就是，我们希望两个有序对相等，当且仅当它们的第一元和第二元分别相等，即 (a,b)=(c,d) 当且仅当 a=c\wedge b=d ，这样在 a\ne b 时有 (a,b)\ne (b,a) ，这也是所谓的“序”所要求的结果.
为了定义有序对以及更一般的有序n元组，需要多花一点功夫，并且可能有几种不同的方式来定义. 按照本系列采用的思路，我们要先定义这个概念：
定义 元有序对
<a,b>=\{\{a\},\{a,b\}\}
之所以称为元有序对，是因为它只是正式定义有序对乃至有序n元组的一个工具，在完成工作之后就作为底层内容被隐藏起来. 证明 <a,b>=<c,d> 当且仅当 a=c\wedge b=d 并不困难，只需要细心验证即可，因此留给读者完成.
虽然元有序对很好的满足了我们对有序对的期望，但它有一些“病态的”性质——比如 \{a\}\in<a,b> . 这条性质是完全多余的，或者说和我们对有序对的期望无关，不过对于一个临时的工具而言，元有序对已经足够好了，起码在我们只关注想用的性质时它是足够用的.
为了正式定义有序对我们必须引入幂集公理，这将会留在后续篇目中完成.
- 后续内容