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指数函数是重要的
基本初等函数
之一，其定义来源于正整数
指数
的运算。指数函数作为一元实函数时，其表现出的特点与底数有关：底数大于0小于1时，函数单调递减；底数大于1时，函数单调递增。当指数函数作为一元复函数时，指数函数是一个单值的在复平面处处解析的周期函数。
指数函数具有广泛的应用。它可以用于描述复制增值的生物过程、算法的计算复杂度等。
- 中文名
- 指数函数
- 外文名
- exponential function
- 学 科
- 数学
- 属 性
- 基本初等函数
- 应用领域
- 物理、化学、生物、计算机等
指数运算
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正指数运算
当
为正整数时，
个数
的积可记作
，又称
的
次方。其表达式为
其他整数指数
当
且
时，
。
当
且
时，
。
分数指数
当
为最简分数形式，
为正整数且
时，
。
其中
表示
的
次方根，其为关于
的方程
的唯一正实数解。
[1]
实数指数
当
且
时，考虑集合
满足
故对于任意满足
的有理数
，可知
是
的上界。根据
确界原理
，可知集合
存在
上确界
，由此定义
当
且
时，
。
当
且
时，
。
[1]
至此，可以得到定义在实数上的一元实值函数。
指数函数作为一元实值函数，表示为
，其中
且
。
函数图像和性质
播报
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指数运算的性质
正整数指数的上述性质可以很容易验证。可以认为，有理数指数的定义是为了保持正整数指数的上述性质而给出的，实数指数的定义是为了使得指数函数连续而给出的。
指数函数的图像
当
时，函数
的图象大致如图。
底数大于1的指数函数图像
当
时，函数
的图象大致如图。
底数小于1的指数函数图像
底数小于1的指数函数图像
当两正数
满足
时，函数
和
的图象关于y轴对称。
对称的指数函数图像
指数函数的性质
指数函数
的定义域为
，值域为
。
指数函数在
处的取值等于
，与
的具体取值无关。即
。
当
时，指数函数
在
单调递增。且当
时，
；当
时，
。
当
时，指数函数
在
单调递减。且当
时，
；当
时，
。
指数函数具有反函数。指数函数的反函数是对数函数。
指数函数的函数值增长或减小是非常快的，该特点又被称为“指数爆炸”。
指数函数具有幂级数展开
指数函数的导函数与不定积分均为自身，即
应用举例
播报
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例1
已知指数函数
是单调递减的，求
的取值范围。
解 由指数函数的性质可知
解得
即
的取值范围是
。
例2
，
，比较
和
的大小关系。
解 由指数函数的性质可知
。故而可知
和
的大小关系为
。
例3
实时荧光定量PCR技术是一种在DNA扩增反应中，以荧光化学物质测每次聚合酶链式反应（PCR）循环后产物总量的方法，能够在PCR反应过程中实时监测DNA的扩增情况，从而实现对靶DNA的定量分析。在实时荧光定量PCR中，荧光强度
和循环后产物的浓度
成正比，循环
次后产物浓度
与靶DNA的初始浓度
之比为
。具体地：
其中
是定值。
（1）反应循环10次后，荧光强度会变为原来的多少倍。
（2）Ct值，即循环阈值的含义为：每个反应管内的荧光信号到达设定阈值时所经历的循环数。已知反应管A中的Ct值比反应管B中的Ct值小3，求管A和管B中靶DNA的初始浓度比的取值范围。
解 （1）
，即荧光强度会变为原来的1024倍。
（2）假设荧光信号的设定阈值为
，管A和管B中靶DNA的初始浓度分别为
，
，则可由信息得
故而：
此即管A和管B中靶DNA的初始浓度比的范围。
例4
指数函数可以用于描述计算复杂度。计算复杂度指的是算法运行过程中消耗时间或空间随问题规模变大而增长的速度。由于指数函数具有“指数爆炸”的特点，如果一个算法的复杂度是指数级别的，那么该算法的开销一般被认为是不理想的。
1994年，P.W.Shor提出的大数因子分解的量子算法，首次把大数因子分解的指数复杂度降低到多项式量级
[2]
。降低指数复杂度算法的复杂度是一个重要而深刻的问题。
复指数函数
播报
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指数函数的自变量可以拓展至复数域。
设复函数
，其中复数
。考虑指数函数的性质，结合欧拉公式有：
此即复指数函数的定义。其图象大致如图
复数域内的指数函数图像
[3]
复数域内的指数函数图像
[3]
指数函数作为复函数是单值的，且在复平面上处处解析的，具有周期
。实指数函数具有的诸多性质，对于复指数函数依然成立。
