（1）解方程，判别一元二次方程根的情况．
它有两种不同层次的类型：
②系数中含有字母；
③系数中的字母人为地给出了一定的条件．
（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．
（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）
应用
① 解一元二次方程，判断根的情况。
② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④ 应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是
完全平方式
⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点
联立方程。
抛物线
与x轴的交点 （1）当y=0时，即有
，要求x的值，需解一元二次方程
。可见，抛物线
与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程
的根的情况确定的，而决定一元二次方程
的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
1）当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程
的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。
2）当Δ=0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（
，0）。
3）当 Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。
⑧ 利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题。
⑨当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
