数据结构与算法 - 图论

林东洲

这篇文章是我当时在上数据结构课的时候做的笔记的，现在重新整理了一下，也算是一篇简单的科普文。

基本概念：

图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

图论是一种表示 "多对多" 的关系

图是由顶点和边组成的：(可以无边，但至少包含一个顶点)

一组顶点：通常用 V(vertex) 表示顶点集合
一组边：通常用 E(edge) 表示边的集合

图可以分为有向图和无向图，在图中：

(v, w) 表示无向边，即 v 和 w 是互通的
<v, w> 表示有向边，该边始于 v，终于 w

图可以分为有权图和无权图：

有权图：每条边具有一定的权重(weight)，通常是一个数字
无权图：每条边均没有权重，也可以理解为权为 1

图又可以分为连通图和非连通图：

连通图：所有的点都有路径相连
非连通图：存在某两个点没有路径相连

图中的顶点有度的概念：

度(Degree)：所有与它连接点的个数之和

入度(Indegree)：存在于有向图中，所有接入该点的边数之和

出度(Outdegree)：存在于有向图中，所有接出该点的边数之和

图的表示：

图在程序中的表示一般有两种方式：

1. 邻接矩阵：

在 n 个顶点的图需要有一个 n × n 大小的矩阵

在一个无权图中，矩阵坐标中每个位置值为 1 代表两个点是相连的，0 表示两点是不相连的

在一个有权图中，矩阵坐标中每个位置值代表该两点之间的权重，0 表示该两点不相连

在无向图中，邻接矩阵关于对角线相等

2. 邻接链表：

对于每个点，存储着一个链表，用来指向所有与该点直接相连的点

对于有权图来说，链表中元素值对应着权重

例如在无向无权图中：

在无向有权图中：

可以看出在无向图中，邻接矩阵关于对角线对称，而邻接链表总有两条对称的边

而在有向无权图中：

邻接矩阵和链表对比：

邻接矩阵由于没有相连的边也占有空间，因此存在浪费空间的问题，而邻接链表则比较合理地利用空间

邻接链表比较耗时，牺牲很大的时间来查找，因此比较耗时，而邻接矩阵法相比邻接链表法来说，时间复杂度低。

图的遍历：

图的遍历就是要找出图中所有的点，一般有以下两种方法：

1. 深度优先遍历：(Depth First Search, DFS)

基本思路：深度优先遍历图的方法是，从图中某顶点 v 出发

访问顶点 v

从 v 的未被访问的邻接点中选取一个顶点 w，从 w 出发进行深度优先遍历

重复上述两步，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到

伪码实现：

//伪码实现，类似于树的先序遍历 public void DFS(Vertex v){ visited[v] = true; for(v 的每个邻接点 W){ if(!visited[W]){ DFS(W);

2. 广度优先搜索：(Breadth First Search, BFS)

广度优先搜索，可以被形象地描述为 "浅尝辄止"，它也需要一个队列以保持遍历过的顶点顺序，以便按出队的顺序再去访问这些顶点的邻接顶点。

实现思路：

顶点 v 入队列

当队列非空时则继续执行，否则算法结束

出队列取得队头顶点 v；访问顶点 v 并标记顶点 v 已被访问

查找顶点 v 的第一个邻接顶点 col

若 v 的邻接顶点 col 未被访问过的，则 col 继续

查找顶点 v 的另一个新的邻接顶点 col，转到步骤 5 入队列，直到顶点 v 的所有未被访问过的邻接点处理完。转到步骤 2

要理解深度优先和广度优先搜索，首先要理解搜索步，一个完整的搜索步包括两个处理

获得当前位置上，有几条路可供选择

根据选择策略，选择其中一条路，并走到下个位置

相当于在漆黑的夜里，你只能看清你站的位置和你前面的路，但你不知道每条路能够通向哪里。 搜索的任务就是，给出初始位置和目标位置，要求找到一条到达目标的路径。

深度优先就是，从初始点出发，不断向前走，如果碰到死路了，就往回走一步，尝试另一条路，直到发现了目标位置。这种不撞南墙不回头的方法，即使成功也不一定找到一条好路，但好处是需要记住的位置比较少。

广度优先就是，从初始点出发，把所有可能的路径都走一遍，如果里面没有目标位置，则尝试把所有两步能够到的位置都走一遍，看有没有目标位置；如果还不行，则尝试所有三步可以到的位置。这种方法，一定可以找到一条最短路径，但需要记忆的内容实在很多，要量力而行。

最短路径算法 (Shortest Path Algorithm)

1. 无权图：

问题：在图中找到某一个顶点到其它所有点的距离

对于初始点 v 来说，某个点的 d 代表该点到初始点的距离。

基本步骤：

将所有点的距离 d 设为无穷大

挑选初始点 s，将 ds 设为 0，将 shortest 设为 0

找到所有距离为 d 为 shortest 的点，查找他们的邻接链表的下一个顶点 w，如果 dw 的值为无穷大，则将 dw 设为 shortest + 1

增加 shortest 的值，重复步骤 3，直到没有顶点的距离值为无穷大

2. 有权图：

在有权图中，常见的最短路径算法有 Dijkstra 算法 Floyd 算法

迪杰斯特拉 Dijkstra 算法：Dijkstra 算法适用于权值为正的的图

Dijkstra 算法属于单源算法，即只能求出某点到其它点最短距离，并不能得出任意两点之间的最短距离。

算法步骤：

将所有边初始化为无穷大

选择一个开始的顶点，添加到优先队列中

对于该点的所有邻接顶点进行判断，如果到该点的距离小于原先的值，则将该值进行更新

将该点所有邻接顶点添加到优先队列中

从优先队列中挑选出一个路径值最小的顶点，将其弹出，作为新的顶点，重复步骤 3，4，5

直到所有点都被处理过一次

例如：

首先选取 v0 作为起始点，添加到优先队列中，将v0弹出，然后对 v0 邻接点进行判断，由于一开始所有边都为无穷大，那么 <v0, v1> 和 <v0, v3> 都更新，值为 2 和 1，按路径大小升序将v3、v1添加到优先队列。

之后将 v3 弹出，对所有 v3 邻接点进行值的更新，并将所有邻接点按路径大小升序添加到优先队列中，若遇到值相同，则无所谓其先后顺序

重复这样的过程，直到所有的点都被处理过，则算法终止，这样最后可以得出从 v0 到其它 v1~v6 节点的距离。

Dijkstra 算法适合于权值为正的情况下，若权值为负则不能使用，因为出现死循环。这时候我们需要计算每个顶点被处理的次数，当某个顶点已经处理过的话，就跳出该循环。

佛洛伊德 Floyd 算法：可以求出任意两点的最短距离

Floyd 算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点 i 到点 j 的最短路径。

从任意节点 i 到任意节点 j 的最短路径不外乎 2 种可能：

是直接从 i 到 j

是从 i 经过若干个节点 k 到 j

所以，我们假设 Dis(i,j) 为节点 u 到节点 v 的最短路径的距离，对于每一个节点 k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j) 是否成立，如果成立，证明从 i 到 k 再到 j 的路径比 i 直接到 j 的路径短，我们便设置 Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点 k，Dis(i,j) 中记录的便是 i 到 j 的最短路径的距离。

时间复杂度： O(n^3)

for(int k=0; k<n; k++) { for(i=0; i<n; i++) { for(j=0; j<n; j++) if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])) {