量子力学中的时间反演对称性

给出了经典力学中得到时间反演态的方法，就是做替换 t=-\tau+C 。这种替换下，具有时间反演对称性的系统自然会得到结果 \bm{r}(t)=\bm{r}_R(\tau) ， \bm{v}(t)=-\bm{v}_R(\tau) 。在这篇文章中，研究一下如何将时间反演操作推广到量子力学中。一个自然的想法，就是将替换 t=-\tau+C 直接应用于量子力学中。那么来检验一下这种操作是否正确。

设 |\psi(t)\rangle 是一个归一化的态矢，它满足薛定谔方程

\begin{aligned} i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=\hat{H}(t)|\psi(t)\rangle \end{aligned} (1)

定义时间反演态 |\psi_R(\tau)\rangle=|\psi(-\tau)\rangle ，为简便这里取 C=0 。位矢算符 \hat{\bm{r}} 的期望值

\bm{r}(t)=\langle\psi(t)|\hat{\bm{r}}|\psi(t)\rangle=\langle\psi_R(\tau)|\hat{\bm{r}}|\psi_R(\tau)\rangle=\bm{r}_R(\tau) (2)

速度的期望值为位矢算符的期望值对时间的导数

\begin{aligned} \frac{d\bm{r}(t)}{dt}&=\frac{d}{dt}\langle\psi(t)|\hat{\bm{r}}|\psi(t)\rangle=\frac{d\tau}{dt}\frac{d}{d\tau}\langle\psi_R(\tau)|\hat{\bm{r}}|\psi_R(\tau)\rangle\\ &=-\frac{d\bm{r}_R(\tau)}{d\tau} \end{aligned} (3)

既 \bm{v}(t)=-\bm{v}_R(\tau) 。相似地可以证明加速度满足 \bm{a}(t)=\bm{a}_R(\tau) 。目前来看，这种替换满足了时间反演态的要求，看起来应该是想要的结果。但是，我们计算速度的期望值也可以使用速度算符 \hat{\bm{v}}(t)=\frac{1}{i\hbar}[\hat{\bm{r}},\hat{H}(t)] 来完成。当我们用速度算符来计算速度的期望值时，发现结果与 (3) 式矛盾

\bm{v}(t)=\langle\psi(t)|\hat{\bm{v}}(t)|\psi(t)\rangle=\langle\psi_R(\tau)|\hat{\bm{v}}(-\tau)|\psi_R(\tau)\rangle (4)

这里问， \hat{\bm{v}}(-\tau) 等于什么？若 \hat{\bm{v}}(-\tau)=-\hat{\bm{v}}(\tau) ，自然得出 \bm{v}(t)=-\bm{v}_R(\tau) 的结论。但是，系统要满足时间反演不变，则要求系统的哈氏量在时间反演操作下数学形式不变，既 \hat{H}(t)\rightarrow\hat{H}(-\tau)=\hat{H}(\tau) 。那么由速度算符的定义可以知道 \hat{\bm{v}}(-\tau)=\hat{\bm{v}}(\tau) ，又与系统满足时间反演对称性矛盾。因此，我们发现仅靠替换 t=-\tau 是不能得到时间反演态的。

为了解决这个问题，我们来分析这个矛盾的根本原因是什么。我们得到的速度算符的表达式是在 (3) 式的推导中利用薛定谔方程引入哈氏量来得到的。那么问题就应该出在薛定谔方程上。的确，不难验证，按上述方式得到的时间反演态是不满足薛定谔方程的不变性的

\begin{aligned} &i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=i\hbar\frac{d\tau}{dt}\frac{d}{d\tau}|\psi_R(\tau)\rangle=-i\hbar\frac{d}{d\tau}|\psi_R(\tau)\rangle\\ &\rightarrow{} -i\hbar\frac{d}{d\tau}|\psi_R(\tau)\rangle=\hat{H}(\tau)|\psi_R(\tau)\rangle \end{aligned} (5)

可见，时间反演态满足的方程多出来一个负号，破坏了薛定谔方程的不变性。只要找到一个操作把这个负号消去，我们就可以保证薛定谔方程的不变性。考虑到在方程左侧有一个虚数单位 i ，我们可以两侧取共轭来得到一个负号

\begin{aligned} i\hbar\frac{d}{d\tau}|\psi_R^*(\tau)\rangle=\hat{H}^*(\tau)|\psi_R^*(\tau)\rangle \end{aligned} (6)

但是，这里的哈氏量也取了共轭。这个操作只有哈氏量是实算符才可以保证薛定谔方程的不变性。我们可以保证哈氏量总是实的吗？在大多数情况下是可以的，若系统的哈氏量是一个含有虚部的形式

\begin{aligned} \hat{H}=\frac{\hat{\bm{p}}^2}{2m}+\hat{V}_{1}+i\hat{V}_{2} \end{aligned} (7)

其中 \hat{V}_1 ， \hat{V}_2 是势函数，且是实算符，这种含有虚部的势场称为光学势。可以验证，对于这样的哈氏量，系统概率流不守恒。本质上这种现象是由于哈氏量不是厄米算符，自然无法保证系统是幺正演化的。由于要研究的是满足时间反演对称性的系统，自然要求满足波函数归一且概率流守恒。所以满足时间反演对称性的系统的哈氏量必然是实的。我们重新记时间反演态为 |\psi_R(\tau)\rangle=|\psi^*(-\tau)\rangle ，那么 (6) 式就写作

\begin{aligned} i\hbar\frac{d}{d\tau}|\psi_R(\tau)\rangle=\hat{H}(\tau)|\psi_R(\tau)\rangle \end{aligned} (8)

引入共轭算符 \hat{K} ，它满足 \hat{K}^2=1 。那么时间反演态也可以写作 |\psi_R(\tau)\rangle=\hat{K}|\psi(-\tau)\rangle 。此时，我们再用速度算符计算时间反演态的速度期望值

\begin{aligned} \bm{v}_R(\tau)&=\langle\psi_R(\tau)|\hat{\bm{v}}(\tau)|\psi_R(\tau)\rangle=\langle\hat{K}\psi(-\tau)|\hat{\bm{v}}(\tau)|\hat{K}\psi(-\tau)\rangle\\ &=\langle\psi(t)|\hat{K}\hat{\bm{v}}(t)\hat{K}|\psi(t)\rangle=-\langle\psi(t)|\hat{\bm{v}}(t)|\psi(t)\rangle\\ &=-\bm{v}(t) \end{aligned} (9)

可见满足了时间反演态的定义。

以上的讨论都是在薛定谔绘景下进行的，我们也可以将时间反演操作在海森堡绘景下进行。利用时间演化算符

\begin{aligned} \hat{U}(t,t_0)=\hat{T}_t\exp\left[\frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^t\hat{H}(\tau)\,d\tau\right] \end{aligned} (10)

我们可以将时间反演态表示为

|\psi_R(\tau)\rangle_S=\hat{K}|\psi(-\tau)\rangle_S=\hat{K}\hat{U}(-\tau,0)|\psi(0)\rangle_H (11)

下标 S 和 H 分别代表薛定谔绘景和海森堡绘景。另外，利用时间演化算符的定义，可以证明

\hat{K}\hat{U}(t,t_0)\hat{K}=\hat{U}(-t,-t_0) (12)

条件是哈氏量是实的且 \hat{H}(-\tau)=\hat{H}(\tau) 。于是时间反演态也可以表示为

|\psi_R(\tau)\rangle_S=\hat{U}(\tau,0)\hat{K}|\psi(0)\rangle_H (13)

那么在海森堡绘景下的含时算符

\hat{O}(t)=\hat{U}^\dag(t,0)\hat{O}\hat{U}(t,0) (14)

对应的时间反演状态下的算符为

\hat{O}_R(\tau)=\hat{K}\hat{U}^\dag(\tau,0)\hat{O}\hat{U}(\tau,0)\hat{K}=\hat{K}\hat{O}(\tau)\hat{K} (15)

这里，我们可以称 \hat{K} 为时间反演算符。

在对经典力学中的时间反演对称性的讨论中得知，系统若满足时间反演对称性，则系统的哈氏量是不能显含时间的。这是因为时间反演对称性的定义要求系统同时要满足时间平移对称性。因此，时间演化算符由 (10) 式可以简化为

\hat{U}(t,t_0)=e^{\frac{1}{i\hbar}\hat{H}(t-t_0)} (16)

可以验证简化的时间演化算符与时间反演算符仍然满足 (12) 式。

下面，我们来讨论泡利算符的时间反演操作。泡利算符 \hat\sigma_\alpha\,(\alpha=x,y,z) 是与自旋角动量相联系的算符，它满足对易关系以及反对易关系

[\hat\sigma_\alpha,\hat\sigma_\beta]=2i\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\hat\sigma_\gamma,\quad{}\{\hat\sigma_\alpha,\hat\sigma_\beta\}=2\hat{I}\delta_{\alpha\beta} (17)

以及归一性 \hat\sigma_\alpha^2=\hat{I} 。在泡利表象下， \hat\sigma_x 和 \hat\sigma_z 是实算符，而 \hat\sigma_y 是虚算符。对于轨道角动量而言，时间反演的操作会导致轨道角动量反向。因此，我们认为自旋角动量同样具备这种性质，既 \hat{\bm{\sigma}}=-\hat{\bm{\sigma}}_R 。那让我们将关系式 (15) 作用于泡利算符上，看看是否满足这个条件

\begin{aligned} &\hat{K}\hat{\sigma}_x\hat{K}=\hat{\sigma}_x\\ &\hat{K}\hat{\sigma}_y\hat{K}=-\hat{\sigma}_y\\ &\hat{K}\hat{\sigma}_z\hat{K}=\hat{\sigma}_z \end{aligned} (18)

发现仅有 \hat{\sigma}_y 反转了符号，因此之前定义的时间反演算符还是不够完备的。那么现在的问题是，额外找到一个算符，作用于 \hat\sigma_x 和 \hat\sigma_z 上能额外得到一个负号，而作用于 \hat{\sigma}_y 上不变。这个条件意味着这个算符与 \hat{\sigma}_y 对易。从线性代数中可以知道，泡利算符和单位算符作为二阶方阵构成旋量空间的一组完备基。这个空间中的任意一个算符均可以由它们四个线性表示出来。从最简单的角度出发，利用泡利算符和单位算符之间的反对易性，不难选出 \hat{\sigma}_y 是合适的算符。于是有

\hat{\bm{\sigma}}=-\hat{K}\hat{\sigma}_y\hat{\bm{\sigma}}\hat{\sigma}_y\hat{K}=-\hat{\bm{\sigma}}_R (19)

因此，时间反演算符在旋量空间中可以记作 \hat{T}=\hat{\sigma}_y\hat{K} 。

接下来可以讨论一下时间反演算符 \hat{T} 的一些性质，首先是反幺正性。所谓反幺正性是指反线性和幺正性的统一称谓。一个算符 \hat{U} 是线性算符说明具有如下性质：

\hat{U}(c_1|\phi_1\rangle + c_2|\phi_2\rangle) = c_1\hat{U}|\phi_1\rangle + c_2\hat{U}|\phi_2\rangle (20)

而一个算符 \tilde{U} 是反线性则是说明具有如下性质：

\tilde{U}(c_1|\phi_1\rangle + c_2|\phi_2\rangle) = c_1^*\tilde{U}|\phi_1\rangle + c_2^*\tilde{U}|\phi_2\rangle (21)

其中 c_1 和 c_2 是任意复数， |\phi_1\rangle 和 |\phi_2\rangle 是任意态矢。而幺正性是指算符作用在归一化的态矢后仍然是归一化的或者模不变的：

\langle\phi|\phi\rangle=1 \Rightarrow \langle\tilde{U}\phi|\tilde{U}\phi\rangle=1 (22)

对于幺正算符 \hat{U} ，我们可以根据它是一个线性算符和幺正性推出它是厄米算符且 \hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dag} ：

设 |\phi\rangle = c_1|\phi_1\rangle + c_2|\phi_2\rangle ，根据幺正性我们有：

\langle\phi|\phi\rangle= \langle\hat{U}\phi|\hat{U}\phi\rangle (23)

\langle\phi|\phi\rangle= |c_1|^2\langle\phi_1|\phi_1\rangle + |c_2|^2\langle\phi_2|\phi_2\rangle + c_1^*c_2\langle\phi_1|\phi_2\rangle + c_2^*c_1\langle\phi_2|\phi_1\rangle (24)

而根据 (20) 我们有

\begin{align} \langle\hat{U}\phi|\hat{U}\phi\rangle= &|c_1|^2\langle\hat{U}\phi_1|\hat{U}\phi_1\rangle + |c_2|^2\langle\hat{U}\phi_2|\hat{U}\phi_2\rangle +\\ &c_1^*c_2\langle\hat{U}\phi_1|\hat{U}\phi_2\rangle + c_2^*c_1\langle\hat{U}\phi_2|\hat{U}\phi_1\rangle \end{align} (25)

由于 c_1 和 c_2 是任意的复数，对比系数可以知道 \langle\phi_1|\phi_2\rangle = \langle\phi_1|\hat{U}^{-1}\hat{U}\phi_2\rangle = \langle\hat{U}\phi_1|\hat{U}\phi_2\rangle

记 |\hat{U}\phi_2\rangle = |\phi_2'\rangle ， \langle\phi_1|\hat{U}^{-1}\phi_2'\rangle = \langle\hat{U}\phi_1|\phi_2'\rangle := \langle\phi_1|\hat{U}^{\dag}\phi_2'\rangle \Rightarrow \hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dag} 证毕。

而对于反幺正算符 \tilde{U} ，我们得不出它是厄米算符。类比如上证明，我们有：

\langle\phi|\phi\rangle= \langle\tilde{U}\phi|\tilde{U}\phi\rangle (26)

而根据 (21) 我们有

\begin{align} \langle\tilde{U}\phi|\tilde{U}\phi\rangle= &|c_1|^2\langle\tilde{U}\phi_1|\tilde{U}\phi_1\rangle + |c_2|^2\langle\tilde{U}\phi_2|\tilde{U}\phi_2\rangle + \\ &c_1c_2^*\langle\tilde{U}\phi_1|\tilde{U}\phi_2\rangle + c_2c_1^*\langle\tilde{U}\phi_2|\tilde{U}\phi_1\rangle \end{align} (27)

对比系数可以知道 \langle\phi_1|\phi_2\rangle = \langle\phi_1|\tilde{U}^{-1}\tilde{U}\phi_2\rangle = \langle\tilde{U}\phi_2|\tilde{U}\phi_1\rangle

记 |\tilde{U}\phi_2\rangle = |\phi_2'\rangle ， \langle\phi_1|\tilde{U}^{-1}\phi_2'\rangle = \langle\phi_2'|\tilde{U}\phi_1\rangle := \langle\phi_1|\tilde{U}^{\dag}\phi_2'\rangle \Rightarrow \tilde{U}^{-1}=\tilde{U}^{\dag} 证毕。

可见反幺正算符从一侧移到另一侧的同时还需要加上共轭， \langle\tilde{U}\phi|\psi\rangle^* = \langle\phi|\tilde{U}^{\dag}\psi\rangle 。

那么时间反演算符 \hat{T} 是幺正的还是反幺正的？从它对波函数的作用来看，其结果是波函数的共轭可以推出来它是个反幺正算符。或者从时间反演和时间平移的对易关系推导：设系统满足时间反演对称，则时间反演态 |\psi_R(t)\rangle 可以将 \hat{T} 作用在 |\psi(t)\rangle 上得到

|\psi_R(t)\rangle=\hat{T}|\psi(t)\rangle=\hat{T}e^{-i\hat{H}t}|\psi(0)\rangle

或者将 \hat{T} 作用在 |\psi(0)\rangle 后再向反方向时间演化得到

|\psi_R(t)\rangle=e^{-i\hat{H}(-t)}|\psi_R(0)\rangle =e^{i\hat{H}t}\hat{T}|\psi(0)\rangle

所以有 \hat{T}e^{-i\hat{H}t} = e^{i\hat{H}t}\hat{T} 。考虑无穷小时间平移 dt ， e^{-i\hat{H}dt}=1-i\hat{H}dt 。从一阶项我们有 -\hat{T}(i\hat{H}) = i\hat{H}\hat{T}= i\hat{T}\hat{H} 。对比反线性算符的定义，我们得出 \hat{T} 是反幺正的。

那么接下来问 \hat{T} 的逆是什么？根据时间反演的定义，我们连续两次作用时间反演算符应当得到原来的状态，所以有 \hat{T}^2=1 ，则 \hat{T}=\hat{T}^{-1}=\hat{T}^{\dag} 。根据时间反演算符的性质，我们可以得出结论：时间反演对称的系统具有 Kramer 简并，既 \langle\psi|\hat{T}\psi\rangle = 0 ，证明如下：

设 |\psi\rangle 是 \hat{H} 的本征矢，且 [\hat{H},\hat{T}]=0 ，则有

\hat{T}\hat{H}|\psi\rangle = \hat{H}\hat{T}|\psi\rangle = E\hat{T}|\psi\rangle (28)

因此 \hat{T}|\psi\rangle 应当跟 |\psi\rangle 线性相关， \hat{T}|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle 。而根据 \hat{T}^2=1 我们可以得出

\hat{T}^2|\psi\rangle = \hat{T}(\lambda|\psi\rangle) = \lambda^*\hat{T}|\psi\rangle = |\lambda|^2|\psi\rangle (29)

因此 \lambda=e^{i\theta} 是一个相因子。

有了旋量空间的时间反演算符，我们就可以简单地理解量子霍尔效应(QHE)、量子自旋霍尔效应(QSHE)和量子反常霍尔效应(QAHE)的区别和联系了。首先，先说明它们三个现象出现的条件。如图 1 所示，QHE 的出现是要求有外界磁场的情况；而 QSHE 不需要磁场的出现，但需要样品具有自旋轨道耦合的效应；QAHE 则是要求样品有自发的磁矩。

其次，说明它们的实验现象。这三种量子霍尔效应均出现沿着样品边缘单向运动的边缘态电流。不同之处在于 QHE 的边缘态电流不区分自旋，两种自旋电子沿着一个方向传播；而 QSHE 的边缘态电流的方向与自旋是锁定的，两种自旋电子沿相反方向传播；QAHE 则是仅有一种自旋电子沿着边缘运动。

最后，我们从时间反演算符的形式出发，来理解为何这三种量子霍尔效应有不同的实验现象：

对于 QHE ，系统没有或具有很弱的自旋轨道耦合，此时电子的轨道自由度和自旋自由度是可以看作无耦合关系的。又由于磁场 \bm{H} 直接影响电子的轨道自由度，因此时间反演算符可以记作 \hat{T}=\hat{K} ，仅与轨道自由度的部分有关。因为磁场 \bm{H} 的出现破坏了轨道自由度的时间反演对称性，如图1(左)所示，所以电子只能沿着边缘按一个方向运动。并且自旋轨道退耦合，导致电流方向不区分电子的自旋。

对于 QSHE ，系统具有很强的自旋轨道耦合。尽管我们单看轨道自由度并不满足时间反演对称性，既系统在时间反演算符 \hat{T}=\hat{K} 的作用下是不满足对称性的 ，但是由于自旋轨道耦合的作用，轨道自由度和自旋自由度的联合时间反演操作还是可以满足对称的，既系统在时间反演算符 \hat{T}=\hat{\sigma}_y\hat{K} 的作用下还是满足对称性的。这有点像高能物理中的宇称(P)不守恒和电荷-宇称(CP)守恒的关系。对于弱相互作用过程，宇称尽管不守恒，但是我们将电荷与宇称联合起来操作，系统还是满足对称性的。回到 QSHE 上来，如图1(中)所示，我们可以看到对于单个自旋电子，它只能沿着一个方向运动，它的轨道自由度不满足时间反演对称性。但是，对比两种自旋电子发现这两种自旋电子沿着相反方向运动。它们整体上构成了彼此的时间反演态。

对于 QAHE ，如图1(右)所示，系统具有磁化强度 \bm{M} ，意味着轨道自由度的时间反演对称性被破坏；而仅出现一种自旋电子的自旋流，意味着系统也具有自旋轨道耦合。因此，系统在时间反演算符 \hat{T}=\hat{\sigma}_y\hat{K} 的作用下是不满足对称性的，系统的时间反演对称性被破坏。实验上实现 QAHE 的方法是在出现 QSHE 的样品中掺入磁性杂质，它仅对一种自旋电子产生散射，故 QSHE 的一种自旋流被抑制，样品就会出现 QAHE 。从理论上来看，引入磁性杂质相当于在哈氏量中引入与旋量算符相关的势能项，它的出现导致了哈氏量与时间反演算符不能够对易。因此，QAHE 的出现必然伴随着时间反演对称性的破坏。