定义 1.1 (非负简单函数及其积分) . X 上 非负简单函数 指的是其可测集示性函数的非负有限 线性组合 , 即形如 ∑ i = 1 n ​ a i ​ 1 E i ​ ​ 的函数, 其中各 a i ​ 为非负实数, 各 E i ​ 为 X 中可测集, 1 E i ​ ​ 指的是在 E i ​ 取 1 在 E i ​ 之外取 0 的函数.

非负简单函数 s = ∑ i = 1 n ​ a i ​ 1 E i ​ ​ 的 Lebesgue 积分 指的是 ∑ i = 1 n ​ a i ​ μ ( E i ​ ) , 记作 ∫ X ​ s d μ , 这里约定 0∞ = 0 . 由 测度 的可加性容易看出, 这个和式的值只和 s 有关, 和它如何写成示性函数的线性组合无关. 无歧义时, 常省去下标 X 、符号 d μ .

定义 1.2 (非负可测函数及其积分) . X 上 非负可测函数 指的是从 X 到 [ 0 , + ∞ ] 的 可测函数 . 非负可测函数 f 的 Lebesgue 积分 , 记作 ∫ X ​ f d μ , 指的是 sup { ∫ X ​ s d μ ∣ ∣ ​ s 是非负简单函数 , s ≤ f } , 取值在 [ 0 , + ∞ ] . 如 ∫ X ​ f d μ < + ∞ , 则称 f 为 Lebesgue 可积 , 或简称 可积 . 无歧义时, 常省去下标 X 、符号 d μ .

定义 1.3 (可积实值函数及其积分) . 设 f : X → R 是可测函数, 记 f + ​ = sup { f , 0 } , f − ​ = sup { − f , 0 } , 则 f + ​ 和 f − ​ 都是非负可测函数, f = f + ​ − f − ​ . 称 f 为 Lebesgue 可积 , 或简称 可积 , 指的是 f + ​ 和 f − ​ 都在定义 1.2 的意义下可积. 此时 f 的 Lebesgue 积分 , 记作 ∫ X ​ f d μ , 指的是 ∫ X ​ f + ​ d μ − ∫ X ​ f − ​ d μ . 无歧义时, 常省去下标 X 、符号 d μ .