概率论与随机过程相关书籍点评（上）
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这次讲一下我比较了解的概率论与随机过程的相关书籍，也讲一下相关知识的学习顺序。提到的书，如果没有特别注明，都是国内出版过的。
按北大的课程设置，相关课程是初等概率论、初等随机过程、初等随机分析，测度论，高等概率论、高等随机过程、高等随机分析（当然，课程名不是这样的）。后三门大概是基于测度论的前三门的强化。一般是大二下初等概率论，大三上初等随机过程，大三下测度论，大四上高等概率论，大四下高等随机过程，两门随机分析都是两年开一次，什么时候赶上什么时候学。
1 初等概率论。只需要一些微积分，可能还要一点线性代数。只是讲一些概率论的基础概念，理解难度不大（虽然我并没有资格说这种话，毕竟初等概率论考了专业课最低分...），看什么书没太有区别。
北大常用的是何书元的《概率论》和李贤平的《概率论基础》（最新是第三版，配有习题解答《概率论基础学习指导书》，用来刷题不错）。我觉得李贤平的书好一点。此外钟开莱有一本《初等概率论》（应该只有英文），Sheldon Ross有一本《概率论基础教程》，我只是翻过，应该都不错。
2 初等随机过程。这门课在北大叫做应用随机过程，据说是『随机过程随机过』的出处。我修这门课的时候，大岳老师说只要期中和期末加起来够60分就可以，结果期中平均分三十多...这门课需要修过初等概率论，可能还要一点常微分方程。讲离散时间和连续时间的马氏链，以及布朗运动的初等理论。这门课的内容比较杂，也不是特别成体系，我有一个后来去学代数几何的好基友选了这课，就觉得学起来不舒服。如果出于偏应用的目的学这门课，其实没必要搞这么难，有很多金融数学系的同学抱怨，所以后来开了难度不同的两个班。
北大用的教材是钱敏平、龚光鲁、陈大岳、章复熹的《应用随机过程》（陈大岳老师主页上有勘误表）。坦白说这本书很不适合一般人用。这么多内容，却只有134页，原因就是很多定理证明被留做了习题。
（此处插播一个段子，见 http://www. duanzhihu.com/answer/10 590568
西江月·证明
即得易见平凡，仿照上例显然。留作习题答案略，读者自证不难。
反之亦然同理，推论自然成立，略去过程QED，由上可知证毕。）
而且这本书的习题特别难，似乎也没有流传的习题解答。有几道题我当时问大岳老师，他都要想好几天才能告诉我答案。我当时专门组织了一个习题课，给大家讲作业题。（题图就是这本书，纪念我在这本书上花的心血和写下的心得笔记，以及被师弟顺走又在毕业两年之后被我找回来的离奇经历）
钱敏平老师对这本书不满意，又写了一本，我在的时候还说让我校对一下，结果前几天才刚出版，叫《应用随机过程:模型和方法》。我显然是没看过，但看目录里塞了那么多东西，还不到两百页，估计也不太好读...
我上这门课的时候，参考书是Lawler的《随机过程导论》和Norris的Markov Chains （这本书国内没出版过，北大的同学可以去本阅借）。我比较喜欢Norris，马氏链讲得很清楚。布朗运动的非严格理论我好像没太看过什么参考书，记得课上提到过钟开莱有一本Green, Brown, and Probability（也是国内没出版）。Sheldon Ross有一本《应用随机过程:概率模型导论》，很厚，细节比较多，可以适当参考。
3 初等随机分析。需要初等随机过程。讲随机积分和随机微分方程的初等理论。
这课我就没有好好学过，最后和初等概率论一样并列专业课最低分。用的教材是龚光鲁的《随机微积分方程及其应用概要》，用起来还可以。参考书是Oksendal的《随机微分方程》，虽然好像里面有些写得不严格，但还挺好用的。钟开莱有一本《随机积分导论》应该也可以。偏金融的话可以看Shreve的《金融随机分析》。偏物理化学的话可以看饭卡盆（大雾）van Kampen的《物理和化学中的随机过程》。
最后以一个段子结尾，这个段子也是我下决心学概率的原因之一。
二维网格上的简单随机游动是（零）常返的，是说会以概率一回到出发点（虽然用时的期望是无穷），三维网格上的简单随机游动是非常返的，有一个正概率再也回不到出发点。
Shizuo Kakutani （角谷静夫）说A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever. 醉汉总能找到家，但醉鸟可能会永远沉醉不知归路。因为醉汉在地上走，是二维随机游动，总能到家，醉鸟在天上飞，是三维随机游动，有可能永远也找不到家。
这个段子还被用来安慰在理科楼（迷）群（宫）里随机游动不知归路的同学们：二维随机游动，终归是能到想去的地方的。
