概述

数理逻辑 (Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。

历史背景

“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统 的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。 本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.

传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。

基本体系结构

数理逻辑的主要分支包括：模型论、证明论、递归论和公理化集合论。其中，两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。谓词演算是数理逻辑最基本的形式系统，其又被称为一阶逻辑。一个可以回答真假的命题，不仅可以分析到简单命题，还可以分析到其中的个体、量词和谓词。个体表示某一个物体或元素，量词表示数量，谓词表示个体的一种属性 。

数理逻辑和计算机科学有许多重合之处两者都属于模拟人类认知机理的科学。许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家，如阿兰·图灵、邱奇等。递归论主要研究可计算性的理论，它和计算机的发展和应用有密切的关系。模型论主要是研究形式系统和数学模型之间的关系。

程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来，而程序验证中的模型检测则从模型论衍生而来。柯里－霍华德同构给出了“证明”和“程序”的等价性，这一结果与证明论有关，直觉主义逻辑和线性逻辑在此起了很大作用。λ演算和组合子逻辑这样的演算现在属于理想程序语言。计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献，比如说自动定理证明和逻辑编程。

一些基本结果

1. 一阶公式的普遍有效性的推定证明可用算法来检查有效性。用技术语言来说，证明集合是原始递归的。实质上，这就是哥德尔完全性定理，虽然那个定理的通常陈述使它与算法之间的关系不明显。
2. 有效的一阶公式的集合是无限不可数（Uncountable Infinite）的。这一集合是“递归枚举的”，即不存在一图灵机（从而不存在任何现有计算机和算法）可以对某个非一阶公式的输入告诉你“这个输入一定不是一阶公式”——它可能一直运算下去。普遍有效的二阶公式的集合甚至不是递归可枚举的。这是哥德尔不完全性定理的一个结果。
3. 勒文海姆-斯科伦定理。
4. 相继式演算中的切消定理。
5. 保罗·约瑟夫·科恩（Paul Cohen）在1963年证明的连续统假设的独立性。

重要意义

现代逻辑学常常被称为分析方法学，它在 20世纪获得了充 分肯定和发展。许多分析哲学家都认为：哲学就是应用逻辑和 逻辑分析，哲学就是语言分析。甚至维特根斯坦所讲：“全部哲 学就是语言批判。”美国哲学家普特南(H．Putnam)曾说：“不懂 得微积分的人不可能精通物理学，同理，不懂得数理逻辑的人不 可能理解分析哲学。 数理逻辑以推理本身作为自己的研究对象，这就决定 了逻辑中的演绎推理数学化 一一推理的有效性、数学内容逻辑化一证明的真实性及数学的真理性探索、计算可行性的研究和 非经典逻辑系统如模态逻辑，多值逻辑等都应纳入数理逻辑的 研究领域。因此，可以推出数理逻辑对其数学、计算机科学 的关系是非常密切的 ，也对逻辑学、哲学等自然科学和人文科 学产生了现实的意义。

未来发展

数理 逻辑蓬勃发展了三百多年 ，衍生出众多的理论分支，其旺盛的生命力来 自于形式研究与具体内容 的紧密结合。比如，众多应用逻辑的出现，就在于将形式系统与人类思维推理中的标志性内容结合 起来，才产生了如模态逻辑 、道义逻辑 、认知逻辑等逻辑分支。当前的人工智能研究，也是借助数理逻辑的研究成果来对人类思维和推理进行模拟和运算 。再比如，元逻辑研究为人类理论知识的公理化、系统化提供 了方法论启示 。通过对形式系统的研究及其元逻辑追问 ，人们进一步认清形式系统的基本性质、本质特征，为其他学科 (尤其 是 自然科学)的理论化 、形式化提供 了逻辑规则上的工具支持，提供了一种理论发展的方法论指导。离开了与人类思维和其他知识体系具体内容的紧密结合，数理逻辑就失去了内在生命力 。

参考文献

1. A. S. Troelstra & H. Schwichtenberg (2000). Basic Proof Theory (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science) (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-77911-1.
2. George Boolos & Richard Jeffrey (1989). Computability and Logic (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00758-5.
3. Elliott Mendelson (1997). Introduction to Mathematical Logic (4th ed.) Chapman & Hall.
4. A. G. Hamilton (1988). Logic for Mathematicians Cambridge University Press.
5. 张家龙主编．逻辑学思想史[M]．长沙：湖南教育出版 社，2002：315—316
6. [美]爱丽丝．玛丽．希尔顿著．逻辑，计算机与自动化系 统[M]．华盛顿：斯巴达书籍出版社，1963：158
7. [美]帕特里克．赫尔利著，陈波等译．简明逻辑学导论 (第10版)[M]．2010年，第11页