【几何学笔记】单纯复形与同调群

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抽象的几何形状不容易研究，可以将其进行单纯剖分，通过研究与其同胚的单纯复形来探究其拓扑性质。

设 $q$ 单纯形 $\sigma$ 表示 $q+1$ 个两两之间形成的向量线性无关的点集所包含的最小凸包。0单纯形为点，1单纯形为直线，2单纯形为三角形，3单纯性为四面体，4单纯形在四维空间中无法直观。

单纯复形 $K$ 指某个欧氏空间内的一组有限多个单纯形满足：某个单纯形属于这个组，它的每个面也属于这个组，并且组内两个单纯形或者不相交，如果相交则公共部分是一个公共面。

我们想要探究一个几何体的拓扑结构，比如一个二维环面。在上面作闭曲线可以得到三种，一种是绕孔洞一周的闭曲线A，一种是绕轴向的闭曲线B，还有一种是表面的封闭曲线C。

其中只有曲线C是一小块曲面的边界，我们想要了解环面的拓扑结构，应该想办法把那些作为曲面块边界的曲线予以忽略，只保留对认识环面结构有用的曲线(所谓忽略，在代数的意义下就是求商群)。

我们在计算之前先对单纯形加上定向，若 $u$ , $v$ , $w$ , $z$ 为3单纯性的四个顶点， $(u,v,w,z)$ 表示按定点次序 $u$ , $v$ , $w$ , $z$ 定向的这个单纯形。定向的改变用负号表示。所以

单纯形 $(u,v,w,z)$ 的边缘定义为去掉单纯形中的一个点剩余的点组成的单纯形。 $\partial (u,v,w,z) = (v,w,z) - (u,w,z)+(u,v,z)-(u,v,w) = \sum_{i = 0}^{3}(-1)^{i}(a_{0}\cdots a_{-i}\cdots a_{3})$ ， $a_{-i}$ 表示去掉第 $i$ 个点。

由于单纯形的边缘一定是闭的，所以边缘的边缘一定是0。

考虑单纯复形 $K$ 中的 $q$ 单纯性以整数为系数的线性组合：

这个线性组合没有什么几何意义，但是它可以定义一个群加法构成一个群

其幺元为0，为一阿贝尔群，叫作链群。

$C_{q}(K)$ 表示单纯复形 $K$ 上的 $q$ 链群，对其作边缘同态映射 $\partial :C_{q}(K)\rightarrow C_{q-1}(K)$

$C_{q}(K)$ 通过此映射后得到幺元的同态核是 $q$ 维链群 $C_{q}(K)$ 的子群叫作 $q$ 维闭链群，记作 $Z_{q}(K)$

$C_{q}(K)$ 中的所有边缘，即经过同态映射 $\partial :C_{q+1}(K)\rightarrow C_{q}(K)$ 得到的同态像，是 $q$ 维链群 $C_{q}(K)$ 的子群，也是 $q$ 维闭链群 $Z_{q}(K)$ 的子群(因为边缘都是闭的)，叫作 $q$ 维边缘闭链群，简称 $q$ 维边缘群，记作 $B_{q}(K)$ 。

定义单纯复形 $K$ 的 $q$ 维同调群为 $H_{q}(K) = Z_{q}(K)/B_{q}(K)$

#idsc 用于表示和演化几何界面的可变形 单纯复形 方法的实现。 ###Linux：确保您有依赖项：g++ libx11-dev libxrandr-dev libopenal-dev libsndfile1-dev libglew-dev libjpeg-dev 要构建运行： python waf configure python waf get_deps python waf build ###OSX：使用以下命令安装 Homebrew： ruby -e "$(curl -fsSL https://raw.githubusercontent.com/Homebrew/install/master/install)" 使用以下命令安装glew： brew install glew

几何学 上，单纯形或者n-单纯形是和三角形类似的n维几何体。精确的讲，单纯形是某个n维以上的欧几里得空间中的（n+1）个仿射无关（这样的点集被称为处于一般位置）的点的集合的凸包。例如，0-单纯形就是点，1-单纯形就是线段，2-单纯形就是三角形，3- 近线性结构通常被称为骨架或一维非线性结构（例如可以分解为线的树和图）。 单纯复形 是潜在具有额外数据的域的一般表示。大多数常见的数据结构，如图像堆栈和点云，都可以方便地转换为单纯复数，并可以进一步表示更不规则和复杂的域。工具箱是一个基于命令行的软件。它有一个核心模块 DiMorSC 和两个扩展模块 Triangulate graph2tree。 DiMorSC 从 单纯复形 中提取骨架。 Triangulate 模块将规则网格上的点云（即所有点具有整数坐标）转换为可被DiMorSC 读取的单纯复数。 graph2tree DiMorSC 的输出转换为树。 Python 中提供了用于可视化对象（例如体积、图形和 单纯复形 ）以及处理图像数据的辅助函数。 DiMorSC 来计算持久性对。 github bitbucket ()（往往有更新的版本）给定Δ2\Delta^2Δ2的定向如上图，三个顶点粘合为一个点，记作ppp，中间的二维单形记为UUU. 可写出XXX的链群： Δ0(X)=Z⋅p\Delta_0(X)=\mathbb{Z}\cdot pΔ0(X)=Z⋅p Δ1(X)=Z⋅a⊕Z⋅b⊕Z⋅c\Delta_1(X)=\mathbb{Z}\cdot a\oplus \mathbb{Z}\cdot b\oplus \mathb...