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抽象的几何形状不容易研究,可以将其进行单纯剖分,通过研究与其同胚的单纯复形来探究其拓扑性质。

q 单纯形 \sigma 表示 q+1 个两两之间形成的向量线性无关的点集所包含的最小凸包。0单纯形为点,1单纯形为直线,2单纯形为三角形,3单纯性为四面体,4单纯形在四维空间中无法直观。

单纯复形 K 指某个欧氏空间内的一组有限多个单纯形满足:某个单纯形属于这个组,它的每个面也属于这个组,并且组内两个单纯形或者不相交,如果相交则公共部分是一个公共面。

我们想要探究一个几何体的拓扑结构,比如一个二维环面。在上面作闭曲线可以得到三种,一种是绕孔洞一周的闭曲线A,一种是绕轴向的闭曲线B,还有一种是表面的封闭曲线C。

其中只有曲线C是一小块曲面的边界,我们想要了解环面的拓扑结构,应该想办法把那些作为曲面块边界的曲线予以忽略,只保留对认识环面结构有用的曲线(所谓忽略,在代数的意义下就是求商群)。

我们在计算之前先对单纯形加上定向,若 u , v , w , z 为3单纯性的四个顶点, (u,v,w,z) 表示按定点次序 u , v , w , z 定向的这个单纯形。定向的改变用负号表示。所以

单纯形 (u,v,w,z) 的边缘定义为去掉单纯形中的一个点剩余的点组成的单纯形。 \partial (u,v,w,z) = (v,w,z) - (u,w,z)+(u,v,z)-(u,v,w) = \sum_{i = 0}^{3}(-1)^{i}(a_{0}\cdots a_{-i}\cdots a_{3})a_{-i} 表示去掉第 i 个点。

由于单纯形的边缘一定是闭的,所以边缘的边缘一定是0。

考虑单纯复形 K 中的 q 单纯性以整数为系数的线性组合:

这个线性组合没有什么几何意义,但是它可以定义一个群加法构成一个群

其幺元为0,为一阿贝尔群,叫作链群。

C_{q}(K) 表示单纯复形 K 上的 q 链群,对其作边缘同态映射 \partial :C_{q}(K)\rightarrow C_{q-1}(K)

C_{q}(K) 通过此映射后得到幺元的同态核是 q 维链群 C_{q}(K) 的子群叫作 q 维闭链群,记作 Z_{q}(K)

C_{q}(K) 中的所有边缘,即经过同态映射 \partial :C_{q+1}(K)\rightarrow C_{q}(K) 得到的同态像,是 q 维链群 C_{q}(K) 的子群,也是 q 维闭链群 Z_{q}(K) 的子群(因为边缘都是闭的),叫作 q 维边缘闭链群,简称 q 维边缘群,记作 B_{q}(K)

定义单纯复形 Kq 维同调群为 H_{q}(K) = Z_{q}(K)/B_{q}(K)

#idsc 用于表示和演化几何界面的可变形 单纯复形 方法的实现。 ###Linux:确保您有依赖项:g++ libx11-dev libxrandr-dev libopenal-dev libsndfile1-dev libglew-dev libjpeg-dev 要构建运行: python waf configure python waf get_deps python waf build ###OSX:使用以下命令安装 Homebrew: ruby -e "$(curl -fsSL https://raw.githubusercontent.com/Homebrew/install/master/install)" 使用以下命令安装glew: brew install glew
几何学 上,单纯形或者n-单纯形是和三角形类似的n维几何体。精确的讲,单纯形是某个n维以上的欧几里得空间中的(n+1)个仿射无关(这样的点集被称为处于一般位置)的点的集合的凸包。 例如,0-单纯形就是点,1-单纯形就是线段,2-单纯形就是三角形,3- 近线性结构通常被称为骨架或一维非线性结构(例如可以分解为线的树和图)。 单纯复形 是潜在具有额外数​​据的域的一般表示。 大多数常见的数据结构,如图像堆栈和点云,都可以方便地转换为单纯复数,并可以进一步表示更不规则和复杂的域。 工具箱是一个基于命令行的软件。 它有一个核心模块 DiMorSC 和两个扩展模块 Triangulate graph2tree。 DiMorSC 从 单纯复形 中提取骨架。 Triangulate 模块将规则网格上的点云(即所有点具有整数坐标)转换为可被DiMorSC 读取的单纯复数。 graph2tree DiMorSC 的输出转换为树。 Python 中提供了用于可视化对象(例如体积、图形和 单纯复形 )以及处理图像数据的辅助函数。 DiMorSC 来计算持久性对。 github bitbucket ()(往往有更新的版本) 给定Δ2\Delta^2Δ2的定向如上图,三个顶点粘合为一个点,记作ppp,中间的二维单形记为UUU. 可写出XXX的链群: Δ0(X)=Z⋅p\Delta_0(X)=\mathbb{Z}\cdot pΔ0​(X)=Z⋅p Δ1(X)=Z⋅a⊕Z⋅b⊕Z⋅c\Delta_1(X)=\mathbb{Z}\cdot a\oplus \mathbb{Z}\cdot b\oplus \mathb...