[统计学笔记] 统计学计算题选讲（精华）

成绩	学生人数	频率（%）
60分以下	3	7.5
60-70分	6	15
70-80分	15	37.5
80-90分	12	30
90-100分	4	10
合计	40	100

成绩	组中值 $\large x$	学生人数 $\large f$	频率（%） $\large f/\sum f$	$\large \left ( x-\overline{x} \right )^{2}\times f$
60分以下	55	3	7.5	$\large \left ( 55-77.0 \right )^{2}\times 3= 1452$
60-70分	65	6	15	864
70-80分	75	15	37.5	60
80-90分	85	12	30	768
90-100分	95	4	10	1296
合计		40	100	4440

第 2 题

有两个班级参加统计学考试，甲板的平均分数为75分，标准差11.5分；乙班的考试成绩资料如下：

按成绩分组（分）	学生人数（人）
60分以下	2
60-70分	5
70-80分	8
80-90分	6
90-100分	4
合计	25

要求：（1）计算乙班的平均分数和标准差；（2）比较哪个班级的平均分数更有代表性？

要计算乙班的平均分数，需要对上表进行一些简单的变形计算：

按成绩分组（分）	组中值（分） $\large \overline{x}$	学生人数（人） $\large f$	$\large \sum xf$
60分以下	55	2	110
60-70分	65	5	325
70-80分	75	8	600
80-90分	85	6	510
90-100分	95	4	380
合计		$\large \sum f = 25$	1925

乙班的平均成绩为：

根据公式：

计算变异系数：

因为甲班级的标准差系数大于乙班级的标准差系数，所以乙班级的平均成绩更具有代表性。

第 3 题

某钢铁厂生产某种钢管，现从该厂某月生产的500根产品中抽取一个容量为100根的样本。已知一级品率为60%，试求样本一级品率的抽样平均误差。

由题意可知：一级品率为60%，即 p=60%；从500根产品中抽取一个容量为100根的样本，则： $\large N=500$ ， $\large n=100$ ，

解答完毕。

第 4 题

某工厂生产的零件长度服从正态分布，从该工厂生产的零件中随机抽取25件，测得它们的平均长度为30.2厘米。已知总体标准差 $\large \sigma = 0.45$ 厘米。
求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差。（2）估计零件平均长度的可能范围（ $\large \alpha = 0.05$ ）。

由题意可知 $\large X$ ~ $\large N\left ( \mu , 0.45^{2} \right )$ ， $\large \overline{X}=30.2$ ， $\large n=25$ ， $\large 1-\alpha =0.95$

（1）抽样平均误差为： $\large \sigma \left ( \overline{x} \right ) = \frac{\sigma }{\sqrt{n}} = \frac{0.45}{\sqrt{25}} = 0.09$ ，查标准正态分布表可知在 $\large \alpha =0.05$ 时， $\large z_{\alpha /2} = 1.96$ ，

所以抽样允许误差为： $\large \Delta _{\overline{x}} = z_{\alpha /2}\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}} = 1.96\times 0.09 = 0.1764$

（2）总体均值的置信区间为：

即我们可以以95%的概率保证该厂零件平均长度在30.02厘米到30.38厘米之间。

解答完毕。

第 5 题

从某市高中生中按不重复抽样方法随机抽取25名调查每周收看电视的时间，分组资料见表：

要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差；（2）估计该市全体高中生每周平均看电视时间的置信区间（给定的显著性水平为0.05）。

解答：根据题目意思首先将上表做一个简单的处理，

每周看电视时间（小时）	组中值 $\large x$	学生人数（人） $\large f$	$\large \left ( x-\overline{x} \right ) ^{2}\times f$
2以下	1	2	32
2 ~ 4	3	6	24
4 ~ 6	5	8	0
6 ~ 8	7	8	32
8 ~ 10	9	1	16
合计		$\large \sum f=25$	104

学生看电视的平均值为： $\large \overline{x} = \frac{1\times 2+3 \times 6 + 5 \times 8 + 7 \times 8 + 9 \times 1}{25} = 5$ 小时，

样本方差为： $\large \sigma ^{2}= 104/\left ( 25-1 \right )=4.33$

查 $\large t$ 分布表知 $\large \alpha =0.05$ 时，临界值 $\large t_{\alpha /2}\left ( n-1 \right ) = t_{\alpha /2}\left ( 25-1 \right ) = 2.0639$

抽样平均误差为： $\large \sigma \left ( \overline{X} \right ) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{4.33}}{\sqrt{25}} = 0.416$

抽样允许误差为： $\large \Delta _{\overline{X}} = t_{\alpha /2} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.0639 \times 0.416 = 0.859$

总体均值置信度为95%的置信区间为： $\large \left ( \overline{X}-\Delta _{\overline{X}},\overline{X}+\Delta _{\overline{X}} \right )$ ，即 $\large \left ( 5-0.859,5+0.859 \right ) = \left ( 4.14,5.86 \right )$

即我们可以以95%的把握保证该市高中生每周平均看电视时间在4.14到5.86小时之间。

解答完毕。

第 6 题

某工厂对一批产成品按不重复抽样方法随机抽选200件进行质量检测，其中一等品160件，试以90%的概率估计一等品率的范围。

由题意已知：p = 160/200 = 80%； 1-α = 90% ；n=200；

查表知： $\large z_{\alpha /2} = 1.645$ ，计算得样本比例的抽样平均误差为：

抽样极限误差为： $\large \Delta _{p} = z_{\alpha /2}\times \sigma \left ( p \right ) = 1.645 \times 0.0283 = 0.04655$ ，即 4.655%

所以，该批产品的一等品比例的置信区间为：80%-4.655% ~ 80%+4.655%，即 75.35% ~ 84.66% 之间。

解答完毕。

第 7 题

从某班学生中随机抽取16人，计算得语文平均成绩为75分，方差为25分。假定学生成绩服从正态分布，试求总体方差及标准差的置信区间（给定的显著性水平为0.05）。

有题目已知： $\large n=25$ ， $\large \alpha =0.05$ ，查 $\large \chi ^{2}$ 分布表确定两个临界值：

将临界值数字带入公式中，总体方差和标准差的置信度为 $\large 1-\alpha$ 的置信区间分别为：

解答完毕。

第 8 题

1、某快餐店某天随机抽取49名顾客对其的平均花费进行抽样调查。调查结果为：平均花费8.6元，标准差2.8 元。试以95.45％的置信度估计：
（1）该快餐店顾客总体平均花费的置信区间及这天营业额的置信区间（假定当天顾客有2000人）；
（2）若其他条件不变，要将置信度提高到99.73％，至少应该抽取多少顾客进行调查？

（提示： $\large z{_{0.0455}} = 1.69$ ， $\large z{_{0.0455/2}} = 2$ ， $\large z{_{0.0027/2}} = 3$ ， $\large z{_{0.0027}} = 2.78$ ）

由题意值 $\large \overline{x} = 8.6$ ，标准差： $\large \sigma = 2.8$ ， $\large n=49$ ，

由于以95.45%的置信度估计，则 $\large 1-0.9545 = 0.0455$

总体均值的置信区间： $\large \left ( 8.6-0.8 , 8.6+0.8 \right )$ ，即 $\large \left ( 7.8, 9.4 \right )$

营业总额的置信区间： $\large \left ( 2000\times 7.8, 2000\times 9.4 \right )$ ，即 $\large \left ( 15600, 18800 \right )$

若其它条件不变，将置信度提高到 99.73%，至少应该抽取的顾客数量为：

必要的样本容量： $\large n = \frac{z_{\alpha /2 \times \sigma ^{2}}} {\Delta_{\overline{x}}^{2}} = \frac{3^{2} \times 2.8 ^{2}}{0.8^{2}} = 110.25 \approx 111$

解答完毕。

第 9 题

一所大学准备采取一项学生在宿舍上网收费的措施，为了解男女学生对这一措施的看法，分别抽取了 150 名男学生和 120 名女学生进行调查，得到的结果如下：

	男学生	女学生	合计
赞成	45	42	87
反对	105	78	183
合计	150	120	270

请检验男女学生对上网收费的看法是否相同。已知：显著性水平 $\large \alpha =0.05$ ， $\large \chi_{0.05}^{2} \left ( 1 \right )= 3.842$ ， $\large \chi_{0.05}^{2} \left ( 2 \right )= 5.992$ ， $\large \chi_{0.05}^{2} \left ( 4 \right )= 9.487$ 。

原假设为： $\large H_{0}$ ： $\large \pi _{1} = \pi _{2}$ ；

拒绝假设为： $\large H_{1}$ ： $\large \pi _{1} \neq \pi _{2}$

显著性水平： $\large \alpha =0.05$

决策：在 $\large \alpha =0.05$ 的水平上不能拒绝 $\large H_{0}$

所以结论：男女学生对上网收费的看法是相同的。

解答完毕。

统计学计算题选讲第1题某班级学生物理课程考试成绩分别为: 68 89 88 84 86 87 75 73 72 68 75 82 97 58 81 54 79 76 95 76 71 60 90 65 76 72 76 85 89 92 ... （1）算术平均数：sum/nsum/nsum/n （2）加权平均数： ∑i=1nxiwi∑i=1nwi（w为频数/率）\frac{\sum^{n}_{i=1}x_iw_i}{\sum^n_{i=1}w_i}（w为频数/率）∑i=1nwi∑i=1nxiwi（w为频数/率）（3）调和平均数： H=n∑1xH=\frac{n}{\sum\frac{1}{... 抽样分布也称统计量分布、随机变量函数分布，是指样本估计量的分布。样本估计量是样本的一个函数，在 统计学 中称作统计量，因此抽样分布也是指统计量的分布。以样本平均数为例，它是总体平均数的一个估计量，如果按照相同的样本容量，相同的抽样方式，反复地抽取样本，每次可以计算一个平均数，所有可能样本的平均数所形成的分布，就是样本平均数的抽样分布。从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的...

最小二乘法最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。法国数学家，阿德里安-马里·勒让德（1752-1833）提出让总的误差的平方最小的y就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动（关于这点可以看“如何理解无偏估计？"）。现在有多组观测值((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)),可以带入上式，通过计算误差平方的

灵敏度和特异度是评价诊断试验准确性的两个重要指标。灵敏度是指在所有病例中，确诊为阳性的比例；特异度是指在所有非病例中，确诊为阴性的比例。计算公式如下：灵敏度 = 真阳性 / (真阳性 + 假阴性) 特异度 = 真阴性 / (真阴性 + 假阳性) 其中，真阳性是指实际为阳性的样本被正确地诊断为阳性的数量；假阴性是指实际为阳性的样本被错误地诊断为阴性的数量；真阴性是指实际为阴性的样本被正确地诊断为阴性的数量；假阳性是指实际为阴性的样本被错误地诊断为阳性的数量。