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小百科  ›  无穷小量与无穷大量 - 中国科学技术大学
无穷小 sin 无穷大
任性的大象
4 月前
  • $\displaystyle \frac1{n^\alpha}\ (\alpha>0)$ 和 $|q|^n\ (|q|<1)$ 是无穷小量
  • $\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n-e$ 和 $\displaystyle \frac{2n}{n+100}-2$ 也是无穷小量

    • 例 2 . 对于函数来说，

  • $x\to+\infty$ 时， $\displaystyle \frac1{x^k}(k>0)$ ,
  • $x\to 0$ 时， $\displaystyle x\sin\frac1x$ , $\displaystyle \frac{\sin x}{x}-1$ ,

    • $0$ 是无穷小量，但无穷小量不是 $0$ 。

    若 $\lim a_n=a$ ，则 $a_n-a$ 是一个无穷小量。

    因此，可以说，任何形式的极限都可以归结为无穷小量的极限。

    定理 1 .
    有限个无穷小量的代数和及其积仍是无穷小量

    若对 $i=1,2,\cdots,m$ ，有 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\alpha_i(x)=0$ 。

    \[\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^m \alpha_i(x)=0

    $m$ 个数列 $\{a^{(i)}_n\}$ , $i=1,\cdots,m$ ，满足

    \[\lim a^{(i)}_n=0, \quad i=1,2,\cdots,m
    \[\lim \sum_{i=1}^m a^{(i)}_n =0

    下面的说法是否正确？

    有无穷小量 $\{\frac1n\}$ , $\{\frac1{n+1}\}$ , $\cdots$ , $\{\frac1{n+m}\}$ ，则

    \[\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n+m} \to 0, n\to\infty

    有无穷小量 $\{\frac1n\}$ , $\{\frac1{n+1}\}$ , $\cdots$ , $\{\frac1{n+n}\}$ ，则

    \[\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n+n} \to 0, n\to\infty

    定义 2 .
    若一个变量在某个变化过程中始终保持有界，则称它为在这个变化过程中的 有界变量 。

    $x\to x_0$ 时， $f(x)$ 是 有界变量 是指，存在 $\delta>0$ , $M>0$ ，有

    \[|f(x)|<M, \forall 0<|x-x_0|<\delta, % \mbox{or} x\in B_0(x_0,\delta)

    函数 $f(x)$ 在 $x\in\mathbb{R}$ 上有定义，且 $f(0)$ 是有界的， 是否表明 $x\to 0$ 时， $f(x)$ 是 有界变量 ？

    定理 2 .
    无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量

    函数 $f(x)$ 在 $x\in\mathbb{R}$ 中有定义，

    \[f(x)=\begin{cases} p, & x=\frac{q}p\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\notin\mathbb{Q} \end{cases}

    可以看到：

    $f(x)$ 以 $1$ 为周期。

    $f(x)$ 在任意一个实数上有定义，是有界的。

    但在任何一个小区间上是无界的。

    若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是有界的。由 $f(x)$ 以1为周期，因此可以假定 $[a,b]\subset[0,1]$ 。记

    \[|f(x)|\leq M, x\in[a,b]
  • 对 $[a,b]$ 中的有理数 $\frac{q}p$ ，有 $0<p\leq M$ 。
  • 又 $0\leq q\leq p$ ，因此 $\frac{q}p$ 的个数是有限的。
  • 即 $[a,b]$ 区间中的有理数是有限个，显然与有理数在实数集中稠密性矛盾。

    因此， $f(x)$ 在任何区间上是无界的。

    定义 3 . ( 无穷小量的比较 )
    设同一变化过程中（以 $x\to x_0$ 为例），变量 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 都是无穷小量，并且 $\beta(x)\neq 0$ 。

  • 如果 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=A\neq 0$ 为一有限数，则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是 同阶无穷小量 。

    若 $A=1$ ，则称 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是 等价无穷小 ，记为

    \[\alpha(x) \sim \beta(x) , x\to x_0

    例 3 . $\displaystyle \frac{\sin x}x=1$ ，因此， $x\to0$ 时， $\sin x\sim x$

  • 如果 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$ ，则称 $\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 更 高阶的无穷小量 ，记为
    \[\alpha(x)=o(\beta(x)), x\to x_0

    $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ 也可以表示为

    \[\alpha(x)=o(1), x\to x_0

    例 4 . 由 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ ，知道， $x\to0$ 时， $1-\cos x$ 是比 $x$ 更高阶的无穷小量，可以记为

    \[1-\cos x = o(x), x\to 0
    \[\alpha(x)=O(\beta(x)), x\to x_0

    $\alpha(x)=O(1), x\to x_0$ 就表示 $\alpha(x)$ 在 $x_0$ 附近有界。

    例 5 . $\displaystyle x\sin\frac1x = O(x), x\to 0$

    例 6 . ( 例2.3.3 ) 当 $x\to 0$ 时，有一些常用的等价关系

    \[\begin{aligned} \sin(x) \sim x &,& \tan x \sim x \\ e^x-1 \sim x &,& \ln(1+x) \sim x \\ (1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x &,& \\ \arcsin(x) \sim x &,& \arctan x \sim x \\ 1-\cos x \sim \frac12 x^2 &,& \\ \end{aligned}

    解 . 对 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$ ，作变量代换 $t=\sin x$ ，

    则 $x\to0$ 时，有 $t\to0$ ，因此

    \[1=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=\lim_{t\to0}\frac{t}{\arcsin(t)}

    同样，利用变量代换可以得到，

    若 $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0$ ，且有 $x_0$ 的去心领域中 $f(x)\neq 0$ ，则有

    $x\to x_0$ 时， $\sqrt[n]{1+f(x)}-1 \sim \frac1n f(x)$

    类似可以得到

  • 由 $x\to0$ 时， $2x\to0$ 。因此 $x\to 0$ 时， $\tan(2x)\sim 2x$ 。
  • $x\to 0$ 时， $\sqrt[n]{1+\sin x}-1 \sim ?$ 。
    \[\sqrt[n]{1+\sin x}-1 \sim \frac{\sin x}n

    定理 3 . ( 等价无穷小量代换 )
    $x\to x_0$ 时， $\alpha(x)$ , $\beta(x)$ , $\alpha_1(x)$ , $\beta_1(x)$ 都是无穷小量，且 $\alpha(x)\sim\alpha_1(x)$ , $\beta(x)\sim\beta_1(x)$ ，如果 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}$ 存在，则有

    \[\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}

    例 7 . [习题] 求 $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\tan(2x)\cdot \arcsin(x)}{\sin(3x)\cdot\arctan(2x)}$

    解 . 由 $x\to0$ 时， $\tan(2x)\sim 2x$ 。

    则 $x\to0$ 时，有

    \[\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)\cdot \arcsin(x)}{\sin(3x)\cdot\arctan(2x)} =\lim_{x\to0} \frac{(2x)\cdot (x)}{(3x)\cdot(2x)} = \frac13

    例 8 . [习题] 求 $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[n]{1+\sin x}-1}{\tan x}$

    $x\to 0$ 时， $\sqrt[n]{1+\sin x}-1 \sim \frac{\sin x}n$ ，则

    \[\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[n]{1+\sin x}-1}{\tan x} =\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{n\tan x} =\frac1n

    例 9 . ( 例2.3.7 ) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$

    例 10 . ( 例2.3.9 ) $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin x-\tan x}{x^3}$

    例 11 . $\displaystyle x-\sin(x) = O(x^3) , x\to 0$

    例 12 . [习题] $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{\tan(x)}-e^{\sin(x)}}{\tan x-\sin x}$

    例 13 . $\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{\sin x-\sin a}{x-a}$

    例 14 . $\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{\tan x-\tan a}{x-a}$

    例 15 . $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\ln(nx+\sqrt{1-n^2x^2})}{\ln(x+\sqrt{1-x^2})}$

    例 16 . 当 $a>0$ ， $\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{x^x-a^a}{x-a}$

    定义 4 . ( 无穷小量的阶 )
    当 $x\to x_0$ 时， $\alpha(x)$ 是与 $(x-x_0)^k$ 同阶的无穷小量，则称 $\alpha(x)$ 是关于 $x-x_0$ 的 $\color{red}k$ 阶无穷小量 ，其中 $k$ 为正常数。

    例 17 . ( 例2.3.8 ) $x\to 0$ 时， $x^{\frac12}$ , $\sin x$ , $\tan x$ , $e^x -1$ , $1-\cos x$

    例 18 . ( 例2.3.10 ) $x\to0$ 时， $x\sin\frac1x$ 是无穷小量，但没有阶

    无穷大量及其比较

    定义 5 . ( 无穷大量 )
    函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义，若对任意 $M>0$ ， $\exists\delta>0$ ，满足

    \[|f(x)|>M , \forall 0<|x-x_0|<\delta

    则称 $x\to x_0$ 时， $f(x)$ 为 无穷大量 ,记为 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$

    例 19 . [例2.3.11]

  • $x\to 0+$ 时， $\ln x$ , $\frac1x$ 都是无穷大量。
  • $x\to+\infty$ 时， $x$ , $\ln x$ , $x^2$ , $e^x$ 都是无穷大量。

    • $f(x)\neq 0$ ，若 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$ ， 则 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}=0$ 。

    $f(x)\neq 0$ ，若 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=0$ ， 则 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}=\infty$ 。

    所以无穷小量与无穷大量很多性质类似

    定理 4 . ( 无穷大量的性质 )
    （1） 有限个无穷大量的积，仍然是无穷大

    （2） 无穷大与有界量的和为无穷大

    (1) 有限个无穷大的代数和的极限未定。称为 $\color{blue}\infty-\infty$ 型未定式

    (2) 两个无穷大量的比的极限未定。称为 $\color{blue}\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式

    (3) 无穷大量与有界量的乘积的极限未定。

    例 20 . $f(x)=x+\sin x$ , $g(x)=x$ , $h(x)=2x$ 。

    $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)-g(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)-h(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ , $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{h(x)}$ ,

    例 21 . 无穷大与有界量的乘积？ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^2\sin(x)$

    定义 6 . ( 无穷大量的比较 )
    设在同一变化中（以 $x\to x_0$ 为例），变量 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 都是无穷大量，

    （1） 如果极限 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=A\neq 0$ ，则称 $x\to x_0$ 时， $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是 同阶无穷大量

    （2） 如果极限 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$ ，则称 $x\to x_0$ 时， $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是 等价无穷大量 ，记为

    \[\alpha(x) \sim \beta(x) , x\to x_0

    （3） 如果极限 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$ ，则称 $x\to x_0$ 时， $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 更高阶的无穷大量 ，记为

    \[\alpha(x)=o(\beta(x)) , x\to x_0

    （4） 如果存在正数 $M$ ，使得在 $x_0$ 附近，有关系式

    \[\left|\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\right|\leq M
    \[\alpha(x)=O(\beta(x)), x\to x_0

    定义 7 . ( 无穷大量的阶 )
    当 $x\to x_0$ 时， $\alpha(x)$ 是与 $\displaystyle \left(\frac1{x-x_0}\right)^k$ 同阶的无穷大量， 则称 $\alpha(x)$ 是 $\color{red}k$ 阶无穷大量 ，其中 $k$ 为正常数。

    当 $x\to\infty$ 时， $\alpha(x)$ 是与 $\displaystyle {x}^k$ 同阶的无穷大量， 则称 $\alpha(x)$ 是 $\color{red}k$ 阶无穷大量 ，其中 $k$ 为正常数。

    例 22 . [习题] 对 $a>1$ , $k>0$ , 有 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^k}{a^x}=0$

    例 23 . [习题] 对 $a>1$ , $k>0$ , 有 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\log_a x}{x^k}=0$

    $x\to \infty$ 时，

    (1) $x^{n+1}$ 是 $x^n$ 的高阶无穷大

    (2) $\forall n\in\mathbb{N}$ ， $e^x$ 是 $x^n$ 的高阶无穷大

    (3) $x^{\frac1n}$ 是 $x^{\frac1{n+1}}$ 的高阶无穷大

    (4) $\forall n\in\mathbb{N}$ ， $x^{\frac1n}$ 是 $\ln x$ 的高阶无穷大

    $x\to x_0$ 时，无论是 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是无穷大量，还是无穷小量，

  • $\alpha(x)=o(\beta(x))$ 都表示
    \[\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0
  • $\alpha(x)=O(\beta(x))$ 都表示，存在 $M>0$ ，在 $x_0$ 附近成立
    \[\left|\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\right|\leq M

    例 24 . 证明： $x\to 0$ 时，对 $n>2$ ，有 $x^{-2} o(x^n) = o(x^{n-2})$ 。

    解 . 即证明： 若 $f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^n}=0$ ，

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^{-2}f(x)}{x^{n-2}}=0

    例 25 . $x\to a$ 时，若 $g(x)$ 是一个有界量，则

    \[g(x)\cdot o(f(x))=o(f(x))

    例 26 . [习题] 证明: 当 $x\to a$ 时，有

    \[o(f(x))\cdot o(g(x))=o(f(x) g(x))

    解 . 即证明： 函数 $h_1(x)$ , $h_2(x)$ 满足

    \[\lim_{x\to a}\frac{h_1(x)}{f(x)}=0, \quad \lim_{x\to a}\frac{h_2(x)}{g(x)}=0
    \[\lim_{x\to a}\frac{h_1(x) h_2(x)}{f(x)g(x)}=0

    例 27 . 若 $x\to0$ 时， $f(x)=o(x^n)$ , $g(x)=o(x^m)$ ，则

    \[f(x)g(x)=o(x^{m+n})

    例 28 . ( 例2.3.5 ) 设 $f(x)=o(1), x\to x_0$ ，且 $f(x)\neq 0$ ，则有

    \[\frac1{1+f(x)}=1-f(x)+o(f(x)) , x\to x_0

    $1^{\infty}$ 形态的等价替换

    例 29 . $\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac1{x\sin x}}$

    例 30 . $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{\tan x}\right)^{\frac1{\tan^2x}}$

    例 31 . [习题] 求极限 $\displaystyle\lim \left(\cos\frac{x}n+\sin\frac{x}n\right)^n$ ，其中 $x\neq 0$

    1 . 无穷小量与无穷大量
    1.1 . 无穷小量及其比较
    1.2 . 无穷大量及其比较
    1.3 . 目录

    等价无穷小量(大量)有如下特性：

  • $\alpha(x) \sim \alpha(x)$
  • 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ , 则 $\beta(x) \sim \alpha(x)$
  • 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ , $\beta(x) \sim \gamma(x)$ ， 则 $\alpha(x) \sim \gamma(x)$

    • 例 32 . 谢

    •  
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