两个多项式的结式及其应用

对于数域 P 上的两个多项式 f(x),g(x) ,我们通常是通过辗转相除法计算最大公因式，并判断其是否互素。本节我们将介绍一种新方法，判断两个多项式是否互素。

我们先看如下引理

引理： 设 f(x),g(x) 均为数域 P 上的非常数的多项式， f(x) 的次数为 m , g(x) 的次数为 n ,则 f(x) 与 g(x) 在数域 P 上不互素（即它们的最大公因式不是非零常数）的充要条件是存在次数小于 n 的多项式 u(x) 以及次数小于 m 的多项式 v(x) ,使得 u(x)f(x)=v(x)g(x)

证：必要性：设 d(x)=(f(x),g(x)) ,则 d(x) 次数大于等于1

则 f(x)=f_1(x)d(x),g(x)=g_1(x)d(x) ，其中 f_1(x) 次数小于 m , g_1(x) 次数小于 n 。令 u(x)=g_1(x),v(x)=f_1(x) 即可得证

充分性：设 d(x)=(f(x),v(x)) , f(x)=f_1(x)d(x),v(x)=v_1(x)d(x) ,则 (f_1(x),v_1(x))=1 且 d(x)f_1(x)u(x)=d(x)g(x)v_1(x) ,即 f_1(x)u(x)=g(x)v_1(x) 。

而 d(x)\bigg|v(x) ,故 d(x) 次数小于 m ,从而 f_1(x)\bigg|g(x) ,即 f(x),g(x) 有一个非常数的公因式 f_1(x) \square

对于两个非常数的多项式 f(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+...+a_{m-1}x+a_m 以及 g(x)=b_{0}x^n+b_1x^{n-1}+...+b_{n-1}x+b_n ,我们可以设 u(x)=u_0x^{n-1}+...+u_{n-2}x+u_{n-1} 以及 v(x)=v_0x^{m-1}+...+v_{m-2}x+v_{m-1} ，则由 f(x)u(x)=g(x)v(x) 立马可得

\begin{cases} a_{0}u_{0}&=b_{0}v_{0}\\ a_{1}u_{0}+a_{0}u_{1}&=b_{1}v_{0}+b_{0}v_{1} \\... \\a_{m}u_{n-2}+a_{m-1}u_{n-1}&=b_{n}v_{m-2}+b_{n-1}v_{m-1} \\a_{m} u_{n-1}&=b_{n}v_{m-1}\tag{1} \end{cases}

上式可看成 关于 u_0,u_1,...,u_{n-1},v_0,v_1,...,v_{m-1} 的线性方程组,这个方程组有 m+n 个方程， m+n 个未知量。且为齐次线性方程组

把齐次线性方程组 (1) 的系数矩阵行列互换，再把后边n行反号，再取行列式，即可得到

其中含 a_0,...,a_m 的共 n 行，含 b_0,...,b_n 的共 m 行,我们称这样的行列式为多项式 f(x) 与 g(x) 的 结式 ，或者 Sylvester行列式 ,记为 res(f,g) (这里最高项系数总保持均为0,即 a_0b_0\ne 0 )。此时由上面的分析，我们可以得到： f(x),g(x) 不互素当且仅当线性方程组 (1) 有非零解，当且仅当 res(f,g)=0 ，即如下定理

定理1： 数域 P 上非常数的两个多项式 f(x),g(x) 不互素当且仅当 res(f,g)=0

我们应用结式来分析以下问题

1.两个多项式是否互素问题

例1： 设 f(x)=2x^3-3x^2+\lambda x+2,g(x)=x^3+\lambda x+1 ,则 res(f,g)= \begin{vmatrix} 2&-3&\lambda&3&0&0\\0&2&-3&\lambda&3&0\\0&0&2&-3&\lambda&3\\1&0&\lambda&1&0&0\\0&1&0&\lambda&1&0\\0&0&1&0&\lambda&1 \end{vmatrix} ,即 res(f,g)=-(2+\lambda)(2\lambda^2+14\lambda-13) ,则 f(x),g(x) 不互素当且仅当 res(f,g)=0 ,即 \lambda=-2 \quad or\quad\lambda=-\frac{1}{2}(7+5\sqrt3)\quad or\quad\lambda=-\frac{1}{2}(7-5\sqrt3)

2.二元高次方程组

对于二元高次方程组 \begin{cases} F(x,y)=0 \\ G(x,y)=0 \end{cases} ,我们可以令 y 为常数，这样 F(x,y),G(x,y) 均可以看成关于 x 的多项式 f(x),g(x) ,这时 f(x),g(x) 有公因式，从而不互素，在 f(x),g(x) 最高项系数均不为零的时候令 res(f,g)=0 ,这就转化为关于 y 的一元高次方程，求出 y ,再代入两个方程求 x 。另外，在 f(x),g(x) 最高项系数至少有一个为零时另外考虑，还是求出相应的 y ,再代入两个方程求 x 。

例2：对于方程 \begin{cases} 5x^2-6xy+5y^2-16=0 \\2x^2-(1+y)x+y^2-y-4=0 \end{cases} ,我们令 f(x)=5x^2-6xy+5y^2-16,g(x)=2x^2-(1+y)x+y^2-y-4 ,则

res(f,g)=\begin{vmatrix} 5&-6y&5y^2-16&0\\0&5&-6y&5y^2-16\\2&-(1+y)&y^2-y-4&0\\0&2&-(1+y)&y^2-y-4 \\ \end{vmatrix} =32(y-2)(y-1)(y+1)^2 ,令 res(f,g)=0 ,则 y=2\,or\,y=1\,or\,y=-1

当 y=2 时, \begin{cases} 5x^2-12x+4=0\\2x^2-3x-2=0 \end{cases} ,即 x=2

当 y=1 时， \begin{cases} 5x^2-6x-11=0 \\2x^2-2x-4=0 \end{cases} ,即 x=-1

当 y=-1 时， \begin{cases} 5x^2+6x-11=0 \\2x^2-2=0 \end{cases} ,即 x=1

从而解为 \begin{cases} x=2 \\y=2 \end{cases} or \begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases} or \begin{cases} x=-1 \\ y=1 \end{cases}

3.多项式是否有重根

定义： 对于 n 次多项式 f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n (其中 a_0\ne 0 ),称 \Delta(f)=-\frac{1}{a_0}res(f(x),f'(x)) 为多项式 f(x) 的 判别式

容易验证 f(x) 有重根当且仅当 \Delta(f)=0

对于二次多项式 f(x)=ax^2+bx+c ,我们可以计算出 \Delta(f)=b^2-4ac ,这与一元二次方程的判别式是一致的。同时，在中学里我们学过，二次多项式的判别式还有一个用途——判断实系数二次多项式是否有实根以及有多少个不等实根。