[转载]林丰利：全息原理——场论与引力的世纪婚礼
转载自林豐利教授的个人网站： Feng-Li Lin@NTNU ，原文发表于2015年。
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值得注意的是，这篇文章总结的是2015年之前的全息原理的进展，而最近十年以来全息原理有很多新的应用和新的突破，像是TTbar deformation, Celestial Holography, Double Holography, JT/SYK duality, Entanglement Wedge, Von Neumann Algebra...
引言
量子场论与广义相对论是两个在本质上非常不同的理论。可是透过黑洞物理与弦论所启发的全息原理，却能使两者互为一体的两面，增进了我们对量子引力的理解。除此，我们也可以利用全息原理来研究强作用或强关联系统。本文将综述全息原理的发展过程与主要概念。
一、 冲突的序曲
量子场论（Quantum Field Theory）和爱因斯坦的广义相对论（General Relativity）是二十世纪两个最重要的物理理论。量子场论将次原子层次的物理放在一个统一的框架下，并提供了一套非常精确的计算工具，将粒子物理的实验和理论预测紧密结合起来。广义相对论则将时空动力学化，使我们能够预测黑洞的存在和宇宙的演化。
尤其是宇宙大爆炸理论（Big Bang Theory）通过观测宇宙微波背景辐射（Cosmic Microwave Background Radiation）的证实奠定了现代宇宙学（Modern Cosmology），从而精确预测了宇宙中元素生成（Nucleosynthesis）的含量。
然而新的突破也带来新的挑战。尤其是宇宙大爆炸和黑洞中心存在曲率无穷大的时空奇点（spacetime singularity），预示广义相对论在强引力状态下的局限性。随着物理的进展，如何解决以上的问题逐渐成为一种智力上的挑战。
回顾量子场论发展的历史，类似的情况也出现在经典电动力学中，由于点粒子特性造成电子的自能（self energy）无穷大。解决的办法是引进量子效应并假设量子涨落（quantum fluctuation）的能量是有限的，即截断紫外发散（cutoff UV divergence），因此使得电子的点粒子（point particle）特性模糊化，从而使电子自能变成有限大。量子场论更进一步提供一套重整化（Renormalization）程序来处理紫外发散问题，使得量子电动力学（Quantum Electrodynamics）对精细结构常数（fine structure constant）的理论预测与实验结果达到惊人的吻合程度。这样的经验使得当时大部分的高能理论物理学家倾向于引进引力的量子效应来解决时空奇点问题。
然而这样的想法立刻遇到两个棘手的难题。第一个难题是引力场的量子化也意味着时空的量子化（quantization of spacetime），如此一来，由量子力学的线性叠加原理（linear superposition principle）所得的宇宙波函数（wave function of the Universe）隐含着多重宇宙（multiverse）的可能性，因而触及到量子力学最根本的难题，也就是时空版的薛定谔的猫（Schrodinger's cat）。
如果我们无法从根本上了解量子力学的随机性，我们就无法了解量子引力（Quantum Gravity）的本质。另一个难题是量子引力无法重整化，也就是说随着引力场的增强，量子效应随之增大而变得不可控制，从而使得理论失去可预测性。这一点与可重整化的量子电动力学的可预测性大相违庭。换句话说，如同电子一样，引力子（graviton）（或时空）的点例子特性造成无穷大自能，但是不同的是引力子的无穷大自能无法通过重整化方法消去。这样的结果暗示着时空几何的点集特性与量子效应是相冲突的。由于这些难题，物理学家逐渐放弃这种简约式的量子化引力的方法，转而开始寻找更彻底的解决之道，其中最成功的就是弦论（String Theory）。弦论放弃了时空的点集特性，因此避开了无法重整化自能的困扰。另一方面，弦论在低能量的状况下可以逼近广义相对论，所以是一个自洽的理论。某个意义上，弦论成功的结合了量子效应与引力，然而实际上它仅仅提供了一个衔接两者的框架，对于强引力场的特性与本质的了解仍然不充分。
二、黑洞的曙光
对于强引力场的特性与本质必须从黑洞开始说起。不同于天文学家着眼于研究实际的黑洞所造成其周围复杂的流体现象，理论学家所研究的想像实验（gedanken experiment）中黑洞是所知最简单也最神秘的物理系统。这是因为黑洞的时空中存在着隔离内部与外部通讯的视界面（horizon），所以无论黑洞内部的组成成分如何不同，外部的观察者都无法透过任何实验手段来分辨任何两个有相同质量、电荷与角动量的黑洞，这就是所谓的黑洞的无毛定理（no-hair theorem）。但在一般的情况下很难理解无毛定理，例如我们可以透过一些测试来区分两个长得一模一样的双胞胎，或者两个有相同宏观参数但不同微观组成的热力学系统，但是对黑洞却不行。不过也因为无毛定理让人可以无视于黑洞内部的组成成分，因而黑洞是一个仅有几个动力学参数的简单系统。这样一来我们就可以透过黑洞这样一个简单系统来探究强引力物理的本质。1970年代初，当时还是研究生的贝肯斯坦（Bekenstein）发现如果把黑洞视界面上的表面引力（surface gravity）想成黑洞的温度，把黑洞视界面的面积大小想成黑洞的熵，那么便可以将黑洞的力学定律重新解释成热力学第一定律。这样一来便可以将黑洞想成一个有温度的黑体，于是预期有黑体辐射（black body radiation）由黑洞发出。但是这一预期与黑洞视界面有进无出的特性相违背。为了解决这个矛盾，霍金（Hawking）引进了弯曲时空中的量子场论（Quantum Field Theory in curved space），他发现黑洞视界面附近的强引力场可以将量子效应所造成的真空极化（vacuum polarization）变成黑体辐射。也就是真空中的虚拟粒子对（virtual particle pair）因为强引力场的影响而无法互相湮灭（annihilation），于是形成真实可观测的霍金辐射（Hawking radiation）。
霍金辐射这一道黑洞的曙光验证了贝肯斯坦的黑洞热力学猜想，但如同打开了潘多拉盒子一样，也带来新的挑战。主要有两个新难题。第一个难题是因为霍金辐射是不具任何特性的热辐射，所以并不能反映出黑洞内部组成的具体性质。因此想象一个完全由百科全书所形成的黑洞，那么这些存在于百科全书理的有用信息将会在黑洞完全辐射之后而消失殆尽。这暗示着黑洞的演化过程是无法保持信息守恒（non-unitary），这就是有名的黑洞信息悖论（Information Paradox）。这个悖论已经困扰了物理学家30年了，至今仍然没有具体的进展。
另一个难题则启发了全息原理（Holographic Principle）。贝肯斯坦的黑洞热力学定律要求黑洞的熵与黑洞的面积而不是体积成正比，这与一般的热力学系统的熵很不一样，倒是与量子纠缠（Quantum Entanglement）所得到的熵的面积律（area law）相一致。
然而，量子纠缠所产生的熵的面积定律并不需要强引力场的存在，因此无法提供对构成黑洞熵微观态的任何理解。因此，如何理解黑洞微观态与面积定律的关系成为一个重要议题。上世纪90年代初，t'Hooft和Susskind不约而同地提出了一个深具革命性的观点，即强引力场下的量子引力的本质基本上得遵守面积定律，也就是应当是全息的，这就是所谓的全息原理。换句话说，量子引力的本质基本上是非局域的，这似乎很难理解，因为爱因斯坦的广义相对论看起来是一个局域的理论。然而，由于等效原理要求的广义坐标协变性，广义相对论基本上有一个无穷大的规范对称性，大到使得这个理论中不存在任何规范不变的局域物理观测量，所以在这个意义上，量子引力必须是一个非局域理论。尽管如此，全息原理仅仅提供了一个理论框架，却没有任何的具体内容可供深究。这样的局面要一直等到弦论中引进D膜后才有所突破。
三、媒介：弦论与D膜
在90年代中，弦论进入了翻天覆地的二次革命，其中最主要的进展就是波尔欽斯基发现了D膜。D膜是Dirichlet膜的简写，顾名思义，膜是指时空中的超曲面，Dirichlet则是指开弦在垂直于D膜的方向上遵守Dirichlet的边界条件，也就是开弦只能依附在D膜上运动，而不能离开D膜。重要的是这些D膜上的开弦在低能量时的有效理论是一个量子规范场论。从另外一个观点来看，D膜是弦激发态所形成的一个宏观的孤立子，也就是它有质量会产生引力效应，而且质量够大时会弯曲周围的时空。因此D膜是个有趣的物件，因为它同时携带量子场论与引力两种信息，而且分别可以用非常精确又漂亮的理论来描述。在此之前，不存在这样一个简单而完美的物理系统。这样一来，就可以研究由D膜组成的黑洞。假设我们可以调节弦论的耦合常数，当弱耦合时，我们可以用量子场论来计算D膜上的微观状态，从而计算熵。当我们逐渐增加耦合常数时，量子场的微扰论会失效，无法计算微观状态。当耦合强到一定程度时，D膜就会形成类似于黑洞的物体，那么就可以用黑洞的面积定律来计算系统的熵。尽管黑洞是由D膜组成的，但从场论和面积定律计算得到的熵是在不同的耦合强度下计算的。一般来说，这两种熵的值不会相等，除非在一些特殊情况下。
1996年，斯特鲁明格（Strominger）和瓦法（Vafa）发现了这样一种具有超对称的D膜黑洞，由于超对称保护了膜的激发谱（excitation spectrum）免于量子修正，因此预计系统的熵值与耦合常数无关。他们的计算验证了分别由场论与面积律算出来的熵值是相等的。这是人们第一次了解如何计算黑洞的微观态而得到熵的面积律，同时也暗示在热力学层次上量子场论与引力理论可以是等价的，至于动力学上的等价性则有待进一步的澄清。
除此之外，本质上场论与广义相对论是两种非常不同的理论，前者描述粒子动力学，后者描述时空动力学。因此必须突破某种出于对理论本质的执着，才有可能看出它们之间的等价关系。对此，在弦论二次革命中另一个扮演重要角色的核心概念“对偶性”适时地产生了推波助澜的作用。对偶性就是指两个看起来非常不同的理论可以是等价的。譬如如果两个理论能谱中的基本粒子与孤立子解成一一对应，而且作用量在耦合常数强变弱，弱变强的自对偶变换下不变，则该理论的强作用下的物理将等价于弱作用下的物理，又称为S对偶或强弱对偶。另外，有所谓的T对偶性支持弦论在不同时空下的等价性。利用这些对偶性，人们发现所有的弦理论都是等价的，而且应该统一在一个更大的理论架构下，也就是M理论。而更重要的是，人们已经开始可以对不同理论间的对偶性见怪不怪了。
四、世纪婚礼
在1997年底，马尔达西纳(Maldacane)提出了一个惊人的估计 [1] ：他说10维时空的Type II 超对称引力理论紧致化在5维球上所得到的5维反德西特（anti-de Sitter, AdS）空间的引力理论等价于4维有最大超对称与无穷大规范对称的杨-米尔斯（Yang-Mills）场论。而且这个场论具有共形对称性质（conformal symmetry）（也就是在广义的尺度变换下不变），所以是一个共形场论（conformal field theory, CFT） [2] ，因此这个对应被称为AdS/CFT对偶，这是一个强弱对偶。 AdS空间是一个有负曲率的最大对称空间（maximally symmetric space），负曲率是由负的宇宙学常数（negative cosmological constant）所造成。所以某个意义上，AdS空间是一个有引力势阱（gravitational potential well）的大箱子，箱子的大小大约是AdS空间的曲率半径。此外，AdS空间的边界是类时的（time-like），而且由于引力势势阱的作用，光由中心到边界所需的时间是有限的，这与有类光（light-like）边界的平坦空间（flat space）不同。由于边界是类时的，所以可把所对应的CFT想像成是住在AdS空间的边界，至于AdS空间的径向方向则对应到CFT中重整化群（Renormalization Group，RG）的能量标度（energy scale）。如果马达希纳的估计是对的话，这就意味着我们可以用一个生活在边界上的量子场论来描述AdS引力，与黑洞熵的面积律有异曲同工之妙。因此可以说，AdS/CFT对偶性是全息原理在弦论里的一个具体实现的例子。而这样的对偶性大大超出了一般人对如何统一量子场论与引力的想像，也可以说是理论物理的一个世纪性的大突破。 马达希纳所以能提出这样的估计是因为他发现在某些特殊的极限下，D膜的开弦与闭弦之间的耦合可以忽略，也就是用来描述D膜的量子场论与引力理论可以是互补或等价的描述。而这个特殊极限下所得到的D膜时空几何便是AdS空间，而相对应的开弦理论便是有共型不变的杨-米尔斯场论。然而这并不保证这两个理论是等价的。马达希纳更进一步发现两个理论的运动学（kinematic）对称性是相同的，所以保证它们有相同的粒子能谱。更精确的讲，5维AdS空间的坐标变换对称性（isometry）是 SO(4,2) ，这对应到4维CFT的对称性。特别注意的是一般4维量子场论对称性是洛伦兹群（Lorentz group），也就是 SO(3,1) ，因为额外的共形对称使得对称性增加到 SO(4,2) 。
此外，原本用来紧致化10维引力的5维球的坐标变换对称性 SO(6) 则对应到CFT中用来转置超对称的 R 对称性。依据这种对应，可以发现 \rm AdS 引力理论中的基本场（elementary field）会对应到CFT中复杂的规范不变算子（gauge-invariant operators），这些算子在强作用底下是自然的物理观测量。这也暗示着AdS引力中基本场的弱作用维扰论会对应到CFT中的与规范不变算子有关的强作用现象。 然而仅仅有运动学对称性的对应是不够的，还需要有动力学的对应才能支持马尔达希纳的估计，而这些在他的文章中却付之阙如。
不过几个月以后，普林斯顿大学与高等研究院的两批人马就找到了动力学证据。他们的工作主要是提出如何由AdS空间中基本场的微扰理论来计算CFT中的算子关联函数（correlation function）。而其中基本的想法是证明AdS基本场的在壳作用量（on-shell action）就是对偶CFT的配分函数（partition function），而基本场在边界的值对应到CFT中耦合到对应算子的源（source）。如此一来，我们就可以透过解一个经典场在AdS空间的运动方程式来求得一个强耦合CFT的关联函数。这一突破大大地提升了人们对AdS/CFT对偶性的信心，因此接着就考虑了在有限温度的情况下的全息对偶关系，而这个对应和黑洞有关。由于黑洞有热力学，所以很自然的想法便是AdS空间中的黑洞热力学应该会对偶到CFT的热力学，尤其黑洞熵的面积律恰好对应到CFT熵的体积律，而这确实如此。
另外，AdS空间中的黑洞具有正的比热，因此可以形成一个稳定的热力学系统，这与有负的比热因而不稳定的平坦空间黑洞大不相同。
五、他们世俗的孩子们
在经过数年中无数的计算与测试，人们逐渐确认了马尔达西纳的猜想。尤其在某些特殊情况下，强作用的CFT可以约化为可积系统(Integrable Systems)，因此可以直接测试非常复杂的关联函数，而所得的结果皆与猜想吻合。由于有了非常显著的证据，物理学家们开始好奇AdS/CFT式的全息原理有没有可能运用在非AdS和非CFT的情况。如此一来，也许可以解决许多原来无解的强作用或强关联体系，譬如 量子色动力学 (Quantum Chromodynamics, QCD)或 高温超导 (High Temperature Superconductor)。限于篇幅的缘故，在此简短的提出两个有趣的推广与应用。
首先，是将AdS空间换成渐进AdS空间(Asymptotically AdS space)，即不需保持全域的(global)SO(4,2)对称，如此一来可以考虑对偶CFT在非平衡态时的物理，譬如传输现象与流体力学。在长波长的极限下，我们可以利用线性响应原理(linear response theory)从全息关联函数得到CFT在强耦合时的传输系数(transport coefficients)。对于强耦合的非平衡态系统，除了全息计算，几乎没有其他办法可以研究他们的动态传输现象，这包括第一原理计算(first principle calculation)。透过这些计算，人们发现剪切黏滞系数(shear viscosity)与熵密度的比值必须大于一个普适值(universal value)，这是之前无法预期到的。而且这个普适系数与 \rm AdS 黑洞的散射截面有关，这样的联系暗示AdS黑洞物理应等价于对偶CFT的流体力学。
的确，当我们对全息理论进行系统性地导数展开(derivative expansion)，便可以发现AdS空间下的爱因斯坦方程式等价于对偶CFT中用来描述相对论性共形流体力学的纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equation)。两组方程式都是非线性地，而且后者是通过全息原理第一次被完整且正确地推导出来的。另外，大部分的物理系统都不是共形不变的，所以如要用全息原理来研究这些系统在强作用时的物理，就必须考虑径向形变的AdS空间（warped AdS space）的对偶，其中度规的径向变形效应对偶到场论中重整化群流（Renormalization Group Flow）。其中最有趣的强作用或强关联系统是高能物理的QCD理论与凝聚态物理中的超导现象。而在讨论QCD的全息对偶模型中最成功的是酒井-杉本模型（Sakai-Sugimoto model），这个模型可以图像式地解释手征对称破缺（chiral symmetry breaking），并得出与实验观测相近的介子谱（meson spectrum）与低能量的有效手征微扰论（effective chiral perturbation theory）。
至于一般超导现象是与自发性对称破缺有关，也就是有效场论的标量场在小于临界温度时会产生凝聚（condensation），而形成不为零的序参量（order parameter）。从全息的观点来看，与序参量算符对偶的基本场必须是可归一化的（normalizable），也就是不需要无穷大的能量就可以使基本场在边界取值，从而引进除了质量、电荷与角动量之外新的黑洞参数，这就意味着违反黑洞的无毛定理。
与平坦空间中的黑洞不同，（warped）AdS空间中的黑洞处在一个引力势阱中，所以基本场在温度够低时无法逃脱势阱而在视界面上产生凝聚。这又是全息原理再一次展示新物理。
六、从此过着幸福快乐的生活？
虽然全息原理为我们提供了关于量子引力的新观点和应用，但这并不意味着我们已经完全理解了量子引力并可以从此过着幸福快乐的生活。目前全息原理只适用于 \rm AdS 空间，对于平坦空间的史瓦西黑洞所展现的全息现象如面积定律和微观态的理解仍然非常有限。此外，大部分的全息原理应用都是从引力来理解强作用系统，而很少有从弱作用的场论来研究对偶的强引力现象，例如黑洞奇点在量子效应下是否会平滑化？在凝聚态物理的应用方面，与全息 QCD 的情况相比，我们仍然缺乏更微观的对应关系。希望这些问题在不久的将来都能得到令人满意的解答。