Time reversal symmetry | 时间反演对称性

萧琮

清华物理

挂一些参考文献，之后学：

Appendix A: Time‐Reversal Symmetry

http:// www-personal.umich.edu/ ~sunkai/teaching/Fall_2012/chapter5_part2.pdf

某一个态 |\psi> 的时间反演 |\psi'> 下，所有线性动量和角动量符号相反，其他量不变。

时间反演态可以由一个与时间无关的算符T得到： T|\psi>=|\psi'> 。

时间反演不变性意味着如果 H|\psi_i>=E_i|\psi_i> ， |\psi_i'> 也是H本征值为 E_i 的本征态。

现在我们有一对作用于 |\psi_i> 后期望得到相同的物理状态的演化操作。第一种操作我们让态演化到时间t，然后让t->-t；第二种我们在t=0时就反演时间，让反演态演化到时间-t。

在第一种操作中，我们首先让态演化：

e^{-iHt/\hbar}|\psi_i>=e^{-iE_it/\hbar}|\psi_i>

然后反演：

Te^{-iE_it/\hbar}|\psi_i>=|\psi_i>_A

在第二种操作中，我们先作用T，再让时间相反地流逝：

e^{iE_it/\hbar}T|\psi_i>=|\psi_i>_B

让两个态相同，则：

Te^{-iE_it/\hbar}|\psi_i>=e^{iE_it/\hbar}T|\psi_i>

由此我们发现T不是一个线性算符，而是一个反线性算符：

T（a_1|\psi_i>+a_2|\psi_2>）=a^*_1T|\psi_1>+a^*T|\psi_2>

假设我们有正交归一完备的能量本征态 |n> ，并假设这些态在时间反演后保持正交归一。

将T作用在 |\psi'> 和 |\phi'> 上：

类似： |\phi'>=\Sigma_m<\phi|m>|m'>

两者的内积： <\phi'|\psi'>=\Sigma_{m,n}<m|\phi><m'|n'><\psi|n>=\Sigma_{m,n}<m|\phi>\delta_{m,n}<\psi|n>

=\Sigma_n<\psi|n><n|\phi>

则 <\phi'|\psi'>=<\psi|\phi>

我们可以推导一些算符的变换关系。

考虑 |\alpha> 和 |\beta>=\hat B|\mu> ，我们有 <\alpha|\beta>=<\beta'|\alpha'> ，其中 |\alpha'>=T|\alpha> ， |\beta'>=T\hat B|\mu>=T\hat BT^{-1}T|\mu>=\hat B'|\mu'> ，由此我们可以看出来算符的变换为

\hat B'=T\hat BT^{-1} ，而矩阵元的变换为： <\alpha|\beta>=<\alpha|B|\mu>=<\mu'|(B')^{\dagger}|\alpha'>= <\mu'|(TBT^{-1})^{\dagger}|\alpha'>

而对于算符的平均值，有：

<\hat A>=Tr(\hat \rho \hat A) =\Sigma_i<i|\hat \rho\hat A|i>=\Sigma_i<i'|(T\hat \rho \hat A T^{-1})^{\dagger}|i'>=Tr(T \hat \rho T^{-1}T\hat AT^{-1})^{\dagger}

如果密度算符在时间反演下不变，即： T\hat \rho T^{-1}=\hat \rho ，则有 <\hat A>=Tr(\hat \rho T\hat A T^{-1})^{\dagger}=Tr(T\hat AT^{-1})^{\dagger}\hat \rho^{\dagger}=Tr(T\hat AT^{-1})^{\dagger}\hat \rho=<(T\hat AT^{-1})^{\dagger}>

我们可以利用时间反演对称性下的基本关系推导一些物理量的性质：

对于角动量算符，有： Tp(t)T^{-1}=-p(-t)

对于位置算符，有： Tx(t)T^{-1}=x(-t)

由上面两条我们可以推导出：

TL(t)T^{-1}=-L(-t)

H依赖于p^2和x，所以H是时间反演不变的。

而我们考虑麦克斯韦方程组：

\nabla \cdot E=4\pi \rho_e ， c\nabla \times B=\frac{\partial E}{\partial t }+J

由于 \rho_e 反演后不变， J 反演后反号，则E反演后不变，B反演后反号。

下面局限到自旋1/2系统中来讨论：

定义时间反演算符： T=U_T\theta ， U_T 是一个幺正矩阵， \theta 是复共轭算子（operator for complex conjugate）（ \theta^{-1}=\theta ），\theta的存在使得T是一个反幺正算符，不过我不太懂这里为啥能这样拆分。

我们有： T\sigma_xT^{-1}=-\sigma_x ， T\sigma_yT^{-1}=-\sigma_y ， T\sigma_zT^{-1}=-\sigma_z

U_T\theta\sigma_x\theta U_T^{-1}=-\sigma_x ， U_T\theta\sigma_y\theta U_T^{-1}=-\sigma_y ， U_T\theta\sigma_z\theta U_T^{-1}=-\sigma_z

\theta \sigma_x \theta=\theta \left( \begin{array}{1}0&1\\1&0\end{array} \right) \theta=\left( \begin{array}{1}0&1\\1&0\end{array} \right) \theta^2=\left( \begin{array}{1}0&1\\1&0\end{array} \right)=\sigma_x

同样还有 \theta\sigma_x\theta=\sigma_x ， \theta\sigma_y\theta=-\sigma_y 。

因此： U_T\sigma_x U_T^{-1}=-\sigma_x ， U_T\sigma_y U_T^{-1}=\sigma_y ， U_T\sigma_z U_T^{-1}=-\sigma_z 。

为了满足这些关系，只有 U_T=e^{i\phi}\sigma_y ，\phi取决于基的选取，不会改变观测量的值。通常我们确定\phi的值使得UT是一个实矩阵。比如我们选择 \phi=\pi/2 ，则有：

U_T=\left(\begin{array}{1}0&1\\-1&0\end{array}\right)

T^2=? ，这在自旋系统内不一定为1的，事实上，对于整数自旋，为1，半整数自旋，为-1。

例如在自旋1/2系统中：

U_T=\left(\begin{array}{1}0&1\\-1&0\end{array}\right)

T=U_T\theta=\left(\begin{array}{1}0&1\\-1&0\end{array}\right)\theta

T^2=U_T\theta U_T\theta=\left(\begin{array}{1}0&1\\-1&0\end{array}\right)\theta \left(\begin{array}{1}0&1\\-1&0\end{array}\right)\theta=\left(\begin{array}{1}0&1\\-1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{1}0&1\\-1&0\end{array}\right)\theta^2=-I

T^2|\psi>=-|\psi>

为什么自旋1/2系统是-1，我们很难给出确切的证明，但我们可以看到，神奇的是，它旋转 2\pi 之后也是变成-1。

Krammers简并定理：

T^2=-1 是很重要的，因为它直接导致了Krammers简并定理。

对于满足时间反演不变性的系统，如果 T^2=-1 ，则所有的能级都是双重简并的。

这对于奇数个费米子系统都是成立的。

对于时间反演不变的系统， |\psi> 和 T|\psi> 有相同的能量，如果我们证明它们是不同的态，则Krammers简并定理成立。

首先假设它们是相同的态： T|\psi>=e^{i\phi}|\psi> ，则 T^2|\psi>=Te^{i\phi}|\psi>=e^{-i\phi}T|\psi>=|\psi> ，这和 T^2=-1 矛盾了，因此我们证明了它们是不同的态。

这个定理是时间反演不变拓扑绝缘体的基础。

编辑于 2021-10-21 22:26

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