二次量子化 (Second Quantization) PT. 3 - 二次量子化形式
二次量子化三连:
[1~3] 東雲正樹: 二次量子化 (Second Quantization) PT. 1 - 对称与反对称基矢
[4~5] 東雲正樹: 二次量子化 (Second Quantization) PT. 2 - 产生与湮灭
[6~9] 東雲正樹: 二次量子化 (Second Quantization) PT. 3 - 二次量子化形式
目録:
6. 粒子数算符
7. 表象的变换
8. 算符的二次量子化形式
8.1. 全同粒子体系下算符的种类
8.2. 单体算符的二次量子化形式
8.3. 双体算符的二次量子化形式
9. 巨希尔伯特空间 (Fock Space) 与粒子数表象
9.1. 巨希尔伯特空间 (Fock Space)
9.2. 粒子数表象
6. 粒子数算符:
Like these good ol' days, 我们能用 \[{{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{i}} \right)a\left( {{\lambda }_{i}} \right)\] 作用在态上来得到处于 \[\left| {{\lambda }_{i}} \right\rangle \] 的粒子数.
所以我们定义 \[N\left( {{\lambda }_{i}} \right)={{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{i}} \right)a\left( {{\lambda }_{i}} \right)\] 为粒子数算符.
很自然地我们会得到总粒子数算符: \[{{N}_{all}}=\sum\limits_{i}{N\left( {{\lambda }_{i}} \right)}=\sum\limits_{i}{{{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{i}} \right)a\left( {{\lambda }_{i}} \right)}\]
How does it work: \[\begin{align} & {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{i}} \right)a\left( {{\lambda }_{i}} \right)\left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{n}} \right\rangle ={{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{i}} \right)a\left( {{\lambda }_{i}} \right){{\varepsilon }^{m}}\left| n;{{\lambda }_{i}}{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{n}} \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{i}} \right)\sqrt{{{n}_{i}}}{{\varepsilon }^{m}}\left| n-1;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{n}} \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{{{{{n}'}}_{i}}+1}\sqrt{{{n}_{i}}}{{\varepsilon }^{m}}\left| n;{{\lambda }_{i}}{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{n}} \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{n}_{i}}{{\varepsilon }^{m}}{{\varepsilon }^{m}}\left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{n}} \right\rangle ={{n}_{i}}\left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{n}} \right\rangle \\ \end{align}\]
7. 表象的变换:
前面我们以单粒子算符 M 建立了一个 n 粒子系统的对称或反对称化希尔伯特空间. 这个空间的对称或反对称的基矢为 \[\left\{ \left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}} \right\rangle |a,b,\cdot \cdot \cdot ,z\in N \right\}\] , 我们也将以此为基矢的表象称作对称或反对称化的 M 表象.
同样我们也会存在以另一个单粒子算符 \[G\] 建立的 \[G\] 表象. 自然这个表象的基矢就是 G 的各组不同的本征值构建的对称或反对称基矢 \[\left\{ \left| n;{{g}_{a}}{{g}_{b}}\cdot \cdot \cdot {{g}_{z}} \right\rangle |a,b,\cdot \cdot \cdot ,z\in N \right\}\] .
那我们如何在两个表象之间进行转换呢? 为此我们要重新研究一下对称或反对称基矢:
它的一般形式为: \[\left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}} \right\rangle \] , 有两个十分特殊的情况, 分别为 \[n=0\] 与 \[n=1\] 时:
\[n=0\] 时基矢表现为 \[\left| 0 \right\rangle \] , 即真空态, 因为根本没有粒子自然就成为了连接所有表象的桥梁.
\[n=1\] 时基矢表现为 \[\left| {{\lambda }_{a}} \right\rangle \] , 这其实就是初等量子力学中我们的老朋友单量子态.
前面我们找到了任意对称或反对称基矢通过产生算符与真空态的联系:
\[\left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}} \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{{{n}_{a}}!{{n}_{b}}!\cdot \cdot \cdot {{n}_{z}}!}}{{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{a}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{b}} \right)\cdot \cdot \cdot {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{z}} \right)\left| 0 \right\rangle \]
由此可得 \[\left| {{\lambda }_{n}} \right\rangle ={{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)\left| 0 \right\rangle \] 与 \[\left| {{g}_{m}} \right\rangle ={{a}^{\dagger }}\left( {{g}_{m}} \right)\left| 0 \right\rangle \] .
现在我们就要发挥真空态的桥梁作用:
\[{{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)\left| 0 \right\rangle =\left| {{\lambda }_{n}} \right\rangle =\sum\limits_{m}{\left| {{g}_{m}} \right\rangle \left\langle {{g}_{m}} | {{\lambda }_{n}} \right\rangle }=\sum\limits_{m}{\left\langle {{g}_{m}} | {{\lambda }_{n}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{g}_{m}} \right)\left| 0 \right\rangle }\]
于是我们就得到了一个变换关系 [1] : \[{{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)=\sum\limits_{m}{\left\langle {{g}_{m}} | {{\lambda }_{n}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{g}_{m}} \right)}\]
对这个关系取伴随形式即得到: \[a\left( {{\lambda }_{n}} \right)=\sum\limits_{m}{\left\langle {{\lambda }_{n}} | {{g}_{m}} \right\rangle a\left( {{g}_{m}} \right)}\]
这样我们就实现了表象的变换, I mean, 毕竟不同表象的基矢无非就是真空态和产生湮灭算符.
比如说动量和坐标表象的变换, 代入上面的式子就得到: [2]
\[{{a}^{\dagger }}\left( p \right)=\int{\left\langle x | p \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( x \right)dx}=\int{{{e}^{i\frac{p}{\hbar }x}}{{a}^{\dagger }}\left( x \right)dx}\]
是不是和以前的动量-坐标表象变换很相似? good ol' Fourier transform.
最后提一下, 很多地方的坐标表象产生湮灭算符用的符号是 \[{{\Psi }^{+}}\left( x \right),\Psi \left( x \right)\]
为啥不和其他的表象一样统一用 \[{{a}^{\dagger }}\left( x \right),a\left( x \right)\] ?
我想目的应该是留下悬念激发读者兴趣吧 (?).
8. 算符的二次量子化形式:
8.1. 全同粒子体系下算符的种类:
要研究的算符分好几种, 第一种就是我们熟悉的单体算符之和 \[S=\sum\limits_{i}{{{S}_{i}}}\] , 比如说系统的动能或外场势能；第二种就是双体算符之和 \[D=\frac{1}{2}\sum\limits_{ij}{{{D}_{ij}}}\] , 比如说系统的相互作用势能; 第三种大概你也猜的出来吧 \[T=\frac{1}{3!}\sum\limits_{ijk}{{{T}_{ijk}}}\] , 这个在凝聚态物理或者原子核物理中是会有的. 再往后可能还有其它多体算符, 比如说...我也一时举不出例子, 就自己数学上类比一下好伐? 至于为何 \[D,T\] 内会有系数 \[\frac{1}{2!},\frac{1}{3!}\] , 这是因为 \[{{D}_{ij}}\] 与 \[{{D}_{ji}}\] 是一回事, 这样求和就重复了, \[\frac{1}{3!}\] 同理.
8.2. 单体算符的二次量子化形式:
我们如何构造全同粒子体系的单体算符才让人感觉最自然呢? 不妨让我们先看看单粒子体系算符的构造, 比如说存在一个单粒子算符 A 对应本征值 \[{{a}_{n}}\] 的本征态为 \[\left| {{a}_{n}} \right\rangle \] .
我们就会这样去构造它: \[A=\sum\limits_{n}{{{a}_{n}}\left| {{a}_{n}} \right\rangle \left\langle {{a}_{n}} \right|}\] , 这样 A 作用在本征态上就能给出测量值.
这么做很聪明, 我们也很熟悉这一套了, 至于全同粒子体系的测量无非就是把每个粒子都测量一次然后再把得到的本征值加起来不是吗? 比如说动能算符 \[{{T}_{i}}=\frac{{{P}_{i}}^{2}}{2m}\] , 我们测出每一个粒子的动能再都加起来不就是系统总动能了吗? 那么我们很自然的会这么想: 只要我们能找出每个动能本征态上的粒子的数目, 然后数目乘以本征值再求和就解决了.
所以理所当然的, 对于全同粒子体系的单体算符之和 \[S=\sum\limits_{i}{{{S}_{i}}}\] , 假如其中仅作用于第 i 个粒子上的单体算符 \[{{S}_{i}}\] 的本征值谱为 \[\left\{ {{s}_{n}} \right\}\] , 我们就会去这样定义它: \[S=\sum\limits_{n}{{{s}_{n}}N\left( {{s}_{n}} \right)}\]
但这样还是太有局限性, 接下来我们将通过前面提到的表象变换去给出任意表象的表达形式:
\[\begin{align} & S=\sum\limits_{n}{{{s}_{n}}N\left( {{s}_{n}} \right)}=\sum\limits_{n}{{{s}_{n}}{{a}^{\dagger }}\left( {{s}_{n}} \right)a\left( {{s}_{n}} \right)} \\ & \ \ =\sum\limits_{n}{{{s}_{n}}\sum\limits_{{{m}'}}{\left\langle {{\lambda }_{{{m}'}}}|{{s}_{n}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{{{m}'}}} \right)}\sum\limits_{m}{\left\langle {{s}_{n}}|{{\lambda }_{m}} \right\rangle a\left( {{\lambda }_{m}} \right)}} \\ & \ \ =\sum\limits_{m,{m}'}{\sum\limits_{n}{{{s}_{n}}\left\langle {{\lambda }_{{{m}'}}}|{{s}_{n}} \right\rangle \left\langle {{s}_{n}}|{{\lambda }_{m}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{{{m}'}}} \right)a\left( {{\lambda }_{m}} \right)}} \\ & \ \ =\sum\limits_{m,{m}'}{\sum\limits_{n}{\langle {{\lambda }_{{{m}'}}}|S\left| {{s}_{n}} \right\rangle \left\langle {{s}_{n}}|{{\lambda }_{m}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{{{m}'}}} \right)a\left( {{\lambda }_{m}} \right)}} \\ & \ \ =\sum\limits_{m,{m}'}{\langle {{\lambda }_{{{m}'}}}|S\left[ \sum\limits_{n}{\left| {{s}_{n}} \right\rangle \langle {{s}_{n}}|} \right]\left| {{\lambda }_{m}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{{{m}'}}} \right)a\left( {{\lambda }_{m}} \right)} \\ \end{align}\]
所以结论就是: \[S=\sum\limits_{m,{m}'}{\langle {{\lambda }_{{{m}'}}}|S\left| {{\lambda }_{m}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{{{m}'}}} \right)a\left( {{\lambda }_{m}} \right)}\]
跟喀书脑浆炸裂的版本比起来是不是简单得有些反胃? 这就是 Sakurai Power.
8.3. 双体算符的二次量子化形式:
双体算符, 顾名思义就是像相互作用势能那样牵扯两个粒子的算符. 比前面的情况复杂些, 但我们仍然能找到一个最自然的定义方法. 设 \[D=\frac{1}{2}\sum\limits_{ij}{{{D}_{ij}}}\] , 其中 \[{{D}_{ij}}\] 是一个双体算符, 这是以前的体系表达不出来的那种算符, 但我们仍然可以用相似的逻辑在二次量子化形式下表达:
\[D=\frac{1}{2}\sum\limits_{a\ne b}{{{d}_{ab}}N\left( {{d}_{a}} \right)N\left( {{d}_{b}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{a}{{{d}_{aa}}N\left( {{d}_{a}} \right)\left[ N\left( {{d}_{a}} \right)-1 \right]}\] .
算符被分成了两部分, 我们先看第一部分, 可以结合 8.2 的单体算符来理解. 提起相互作用势能我们第一反应就是两个电子系统的电势能对吧? 上面的 \[{{d}_{a}},{{d}_{b}}\] 可以类比为电子的本征位置: [3] 如果有一个在 \[{{d}_{a}}\] 处, 另一个在 \[{{d}_{b}}\] 处时这两个电子之间的电势能为 \[{{d}_{ab}}\] 的话, 那么 \[{{n}_{a}}\] 个在 \[{{d}_{a}}\] 处, \[{{n}_{b}}\] 个在 \[{{d}_{b}}\] 处时电势能又是多少呢? 自然是 \[{{d}_{ab}}{{n}_{a}}{{n}_{b}}\] 对吧? 这就是第一项, 其中系数 \[\frac{1}{2}\] 是源于求和并没有要求 \[a<b\] 所以每一对粒子都被考虑了两次, 所以要加上系数 \[\frac{1}{2}\] .
我们继续沿用这个很烂的类比, 并假设两个电子放一起势能不是无穷大而是 \[{{d}_{ii}}\] 而且共同放不同的地方势能还可能不一样, 即 \[{{d}_{aa}}\] 或许不等于 \[{{d}_{bb}}\] . 那么第二项就很好理解了, 其实就是处于同一个态的粒子之间的相互作用能的总合. 这个表达形式是源于公式 \[\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\] , 没错, 这就是 n 个小球里面任意拿俩一个有几种拿法的公式 \[C_{n}^{2}=\frac{n!}{\left( n-2 \right)!2!}=\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\] .
综上所述我们将双体算符的二次量子化形式表达为:
\[D=\frac{1}{2}\sum\limits_{a\ne b}{{{d}_{ab}}N\left( {{d}_{a}} \right)N\left( {{d}_{b}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{a}{{{d}_{aa}}N\left( {{d}_{a}} \right)\left[ N\left( {{d}_{a}} \right)-1 \right]}\]
是不是突然觉得十分显然了? 下一步, 我们就是要将它在任意表象下的表达形式找出来.
为了达到这个目的我们还可以进一步化简这个式子: [4]
\[D=\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b}{{{d}_{ab}}\left[ N\left( {{d}_{a}} \right)N\left( {{d}_{b}} \right)-N\left( {{d}_{a}} \right){{\delta }_{ab}} \right]}\]
还挺巧妙的吧, 接下来我们就要开始试图利用表象变换的式子了:
下面的操作还蛮奇妙的, 所以请记住 \[a\left( {{d}_{a}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{b}} \right)-\varepsilon {{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right)={{\delta }_{ab}}\]
\[\begin{align} & \ \ \ \ \ N\left( {{d}_{a}} \right)N\left( {{d}_{b}} \right)-N\left( {{d}_{a}} \right){{\delta }_{ab}} \\ & ={{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{b}} \right)-{{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right){{\delta }_{ab}} \\ & ={{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right)\left[ {{\delta }_{ab}}+\varepsilon {{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right) \right]a\left( {{d}_{b}} \right)-{{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right){{\delta }_{ab}} \\ & ={{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right)a\left( {{d}_{b}} \right){{\delta }_{ab}}+\varepsilon {{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right)a\left( {{d}_{b}} \right)-{{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right){{\delta }_{ab}} \\ & =\varepsilon {{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right)a\left( {{d}_{b}} \right) \\ \end{align}\]
差不多了, 但别急, 还能利用 \[a\left( {{d}_{a}} \right)a\left( {{d}_{b}} \right)-\varepsilon a\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right)=0\] 再优化一下:
\[N\left( {{d}_{a}} \right)N\left( {{d}_{b}} \right)-N\left( {{d}_{a}} \right){{\delta }_{ab}}=\varepsilon {{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right)a\left( {{d}_{b}} \right)={{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right)\]
好的接下来我们利用 \[{{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right)=\sum\limits_{m}{\left\langle {{\lambda }_{m}}|{{d}_{a}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{m}} \right)}\] 进行表象变换了:
\[\begin{align} & D=\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b}{{{d}_{ab}}\left[ N\left( {{d}_{a}} \right)N\left( {{d}_{b}} \right)-N\left( {{d}_{a}} \right){{\delta }_{ab}} \right]} \\ & \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b}{{{d}_{ab}}{{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{a}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{b}} \right)a\left( {{d}_{a}} \right)} \\ & \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b}{{{d}_{ab}}\sum\limits_{m}{\left\langle {{\lambda }_{m}}|{{d}_{a}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{m}} \right)}\sum\limits_{n}{\left\langle {{\lambda }_{n}}|{{d}_{b}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)}\sum\limits_{q}{\left\langle {{d}_{b}}|{{\lambda }_{q}} \right\rangle a\left( {{\lambda }_{q}} \right)}\sum\limits_{p}{\left\langle {{d}_{a}}|{{\lambda }_{p}} \right\rangle a\left( {{\lambda }_{p}} \right)}} \\ & \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b,m,n,p,q}{{{d}_{ab}}\left\langle {{\lambda }_{m}}|{{d}_{a}} \right\rangle \left\langle {{\lambda }_{n}}|{{d}_{b}} \right\rangle \left\langle {{d}_{b}}|{{\lambda }_{q}} \right\rangle \left\langle {{d}_{a}}|{{\lambda }_{p}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{m}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)a\left( {{\lambda }_{q}} \right)a\left( {{\lambda }_{p}} \right)} \\ & \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b,m,n,p,q}{{{d}_{ab}}\left\langle {{\lambda }_{m}}|{{d}_{a}} \right\rangle \left\langle {{\lambda }_{n}}|{{d}_{b}} \right\rangle \left\langle {{d}_{a}}|{{\lambda }_{p}} \right\rangle \left\langle {{d}_{b}}|{{\lambda }_{q}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{m}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)a\left( {{\lambda }_{q}} \right)a\left( {{\lambda }_{p}} \right)} \\ \end{align}\] \[\begin{align} & \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b,m,n,p,q}{{{d}_{ab}}\left( {{\lambda }_{m}}{{\lambda }_{n}}|{{d}_{a}}{{d}_{b}} \right)\left( {{d}_{a}}{{d}_{b}}|{{\lambda }_{p}}{{\lambda }_{q}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{m}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)a\left( {{\lambda }_{q}} \right)a\left( {{\lambda }_{p}} \right)} \\ & \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b,m,n,p,q}{\left( {{\lambda }_{m}}{{\lambda }_{n}}| \right.D\left. |{{d}_{a}}{{d}_{b}} \right)\left( {{d}_{a}}{{d}_{b}}|{{\lambda }_{p}}{{\lambda }_{q}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{m}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)a\left( {{\lambda }_{q}} \right)a\left( {{\lambda }_{p}} \right)} \\ & \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{m,n,p,q}{\left( {{\lambda }_{m}}{{\lambda }_{n}}| \right.D\left[ \sum\limits_{a,b}{\left. |{{d}_{a}}{{d}_{b}} \right)\left( {{d}_{a}}{{d}_{b}}| \right.} \right]\left. |{{\lambda }_{p}}{{\lambda }_{q}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{m}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)a\left( {{\lambda }_{q}} \right)a\left( {{\lambda }_{p}} \right)} \\ & \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{m,n,p,q}{\left( {{\lambda }_{m}}{{\lambda }_{n}}| \right.D\left. |{{\lambda }_{p}}{{\lambda }_{q}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{m}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)a\left( {{\lambda }_{q}} \right)a\left( {{\lambda }_{p}} \right)} \\ \end{align}\]
下标的意义是不是有点混乱了? 我这里再集中说明一下:
[ \[a,b\cdot \cdot \cdot \] 是算符本征态标号 ] [ \[i,j\] 是粒子标号 ] [ \[m,n,p,q\] 是任意表象的本征态标号 ]
这里用到的 \[\left. |{{d}_{a}}{{d}_{b}} \right)={{\left| {{d}_{a}} \right\rangle }_{i}}{{\left| {{d}_{b}} \right\rangle }_{j}}\] 曾在 3.5 处提到过. 对算符 \[D=\frac{1}{2}\sum\limits_{ij}{{{D}_{ij}}}\] 来说,
矩阵元 \[{{\left\langle {{\lambda }_{m}} \right|}_{i}}{{\left\langle {{\lambda }_{n}} \right|}_{j}}{{D}_{ij}}{{\left| {{\lambda }_{p}} \right\rangle }_{i}}{{\left| {{\lambda }_{q}} \right\rangle }_{j}}=\left( {{\lambda }_{m}}{{\lambda }_{n}}|D \right.\left. |{{\lambda }_{p}}{{\lambda }_{q}} \right)\] 的值不会随 \[i,j\] 的取值改变.
那么这个取值是多少呢? 我们可以如此计算:
\[\begin{align} & \left( {{\lambda }_{m}}{{\lambda }_{n}}| \right.D\left. |{{\lambda }_{p}}{{\lambda }_{q}} \right)=\left( {{\lambda }_{m}}{{\lambda }_{n}}| \right.D\sum\limits_{a,b}{|\left. {{d}_{a}}{{d}_{b}} \right)\left( {{d}_{b}}{{d}_{a}}|{{\lambda }_{p}}{{\lambda }_{q}} \right)} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{a,b}{{{d}_{ab}}}\left( {{\lambda }_{m}}{{\lambda }_{n}}|{{d}_{a}}{{d}_{b}} \right)\left( {{d}_{a}}{{d}_{b}}|{{\lambda }_{p}}{{\lambda }_{q}} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{a,b}{{{d}_{ab}}}\left( {{\lambda }_{m}}{{\lambda }_{n}}|{{d}_{a}}{{d}_{b}} \right)\left( {{d}_{a}}{{d}_{b}}|{{\lambda }_{p}}{{\lambda }_{q}} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{a,b}{{{d}_{ab}}\left\langle {{\lambda }_{m}}|{{d}_{a}} \right\rangle \left\langle {{\lambda }_{n}}|{{d}_{b}} \right\rangle \left\langle {{d}_{a}}|{{\lambda }_{p}} \right\rangle \left\langle {{d}_{b}}|{{\lambda }_{q}} \right\rangle } \\ \end{align}\]
综上所述, 双体算符的二次量子化形式为:
\[D=\frac{1}{2}\sum\limits_{m,n,p,q}{\left\langle {{\lambda }_{m}} \right|\left\langle {{\lambda }_{n}} \right|D\left| {{\lambda }_{p}} \right\rangle \left| {{\lambda }_{q}} \right\rangle {{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{m}} \right){{a}^{\dagger }}\left( {{\lambda }_{n}} \right)a\left( {{\lambda }_{q}} \right)a\left( {{\lambda }_{p}} \right)}\]
一定要注意到上式 \[\left| {{\lambda }_{p}} \right\rangle \left| {{\lambda }_{q}} \right\rangle \] 与 \[a\left( {{\lambda }_{q}} \right)a\left( {{\lambda }_{p}} \right)\] 的指标是反的, 要不然差一个负号就全错了.
表象变换过程中的第四个等号到第五个等号就是为了调整指标,
之所以这要这样交换是因为 \[I=\sum\limits_{ab}{\left. |{{d}_{a}}{{d}_{b}} \right)\left( {{d}_{a}}{{d}_{b}}| \right.}\ne \sum\limits_{ab}{\left. |{{d}_{a}}{{d}_{b}} \right)\left( {{d}_{b}}{{d}_{a}}| \right.}\] .
我知道我们说过物理上有 \[{{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| b \right\rangle }_{2}}={{\left| b \right\rangle }_{2}}{{\left| a \right\rangle }_{1}}\] , 但我们没有明确写出下标的时候基本上都是默认从左到右是从小到大的. 要知道 \[{{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| b \right\rangle }_{2}}\] 与 \[{{\left| b \right\rangle }_{1}}{{\left| a \right\rangle }_{2}}\] 可不相等.
双体算符的推导比单体算符确实复杂一丁点儿, 但与喀兴林教授的推导比起来恐怕这个思维量可以忽略不计. 一般而言这样就比较足够了, 三体算符之类用我们这个思路并不好拼凑, 如果实在是碰上了, 就还是要用喀教授的方法了, 是复杂了点儿, 但是一劳永逸. 这个方法我也写了, 到时候会作为补充发出来. [5]
9. 巨希尔伯特空间 (Fock Space) 与粒子数表象:
9.1. 巨希尔伯特空间 (Fock Space):
n 个全同粒子体系的态空间 \[{{R}_{n}}={{R}^{\left( 1 \right)}}\otimes {{R}^{\left( 2 \right)}}\otimes \cdot \cdot \cdot \otimes {{R}^{\left( i \right)}}\otimes \cdot \cdot \cdot \otimes {{R}^{\left( n \right)}}\] .
我们能找到 \[{{R}_{n}}\] 中对称或反对称的一组基矢 \[\left\{ \left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}} \right\rangle |a,b,\cdot \cdot \cdot ,z\in N \right\}\] .
也清楚基矢的封闭性关系式为: \[\sum\limits_{a,b,\cdot \cdot \cdot ,z}{\left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}} \right\rangle \langle n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}}|}=I\] .
可以说关于 \[{{R}_{n}}\] , 我们已经很懂了. 那么我们研究 n 个全同粒子体系的时候所有的操作都是在 \[{{R}_{n}}\] 中进行的吗? 不见得吧, 给我们的处理带来了极大便捷的的产生湮灭算符似乎和我们以前接触的算符都不相同, 它具体的属于哪一个空间吗? 它能作用在 \[{{R}_{n}}\] 中的矢量上却得到了 \[{{R}_{n\pm 1}}\] 空间的矢量. 所以我们要大方一点, 干脆承认自己是在一个更大的空间内处理问题, 这个空间就是巨希尔伯特空间 \[{{R}_{G}}={{R}_{1}}\oplus {{R}_{2}}\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus {{R}_{n}}\oplus \cdot \cdot \cdot =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\oplus {{R}_{n}}}\] , 而前面一个固定粒子数的空间都是它的子空间, 这些子空间显然也是粒子数算符 N 的本征子空间, 且对应的本征值 n 的简并度一般而言都非常高.
还要说明一下的就是, 不同子空间, 即不同粒子数的空间中的矢量是正交的, 这一点很明显:
比如说 \[\left\langle 3;{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}{{\lambda }_{3}} | 2;{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} \right\rangle =\left\langle 0 \right|a\left( {{\lambda }_{3}} \right)a\left( {{\lambda }_{2}} \right)a\left( {{\lambda }_{1}} \right)\left| 2;{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} \right\rangle =0\] , 这是很显然的, 因为粒子数多的一方给出的湮灭算符比粒子数少的一方的粒子数本身还多, 自然是必然要归零的.
其实所有你算起来感觉很非法的东西最后基本上都是归零的, 比如说反对称体系出现了两个相同的态或者明明没包含这个态却要被这个态的湮灭算符作用之类, 最后都会归零.
那么最后我们将给出巨希尔伯特空间的完全性关系:
\[\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\sum\limits_{a,b,\cdot \cdot \cdot ,z}{\left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}} \right\rangle \langle n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}}|}}=I\]
9.2. 粒子数表象: [6]
对于离散谱的空间, 我们可以找到一个更方便的记号来代替原来的对称或反对称基矢. 原来的基矢是 \[\left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}} \right\rangle \] 这样的, 这种情况并不要求符号内态的排列顺序, 只是交换的时候可能会产生一个负号, 然后有多少个粒子就要写多少个态. 现在我们将引入一个更简洁干净的基矢符号来处理系统:
首先我们将单粒子本征值按一定顺序编号: [7] \[{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\cdot \cdot \cdot \]
然后对系统的确定态我们数出各上述本征值对应本征子空间的粒子数且记为: \[{{n}_{1}},{{n}_{2}},{{n}_{3}},\cdot \cdot \cdot \]
这样我们就可以写出一个矢量 \[\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}{{n}_{3}}\cdot \cdot \cdot \right\rangle \] 来表征这个系统的确定态.
它与我们以前的对称或反对称的基矢的对应关系是这样的:
\[\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}{{n}_{3}}\cdot \cdot \cdot \right\rangle =\pm \left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}} \right\rangle \]
当你把 \[\left| n;{{\lambda }_{a}}{{\lambda }_{b}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{z}} \right\rangle \] 中的本征值按照 \[{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\cdot \cdot \cdot \] 的顺序排列就可以去掉正负号.
很显然我们只是改变了记法, 矢量本身还是那些矢量, 所以产生湮灭算符还是老一套:
\[\left\{ \begin{align} & a_{l}^{\dagger }\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}\cdot \cdot \cdot \right\rangle ={{\varepsilon }_{l}}\sqrt{{{n}_{l}}+1}\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}+1\cdot \cdot \cdot \right\rangle \\ & {{a}_{l}}\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}\cdot \cdot \cdot \right\rangle ={{\varepsilon }_{l}}\sqrt{{{n}_{l}}}\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}-1\cdot \cdot \cdot \right\rangle \\ \end{align} \right.\]
其中 \[{{\varepsilon }_{l}}={{\varepsilon }^{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{n}_{l-1}}}}\] 是排序造成的.
矢量 \[\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}{{n}_{3}}\cdot \cdot \cdot \right\rangle \] 描写的系统的粒子数为 \[n=\sum\limits_{l}{{{n}_{l}}_{\ \ \ \left( l\in {{N}_{+}} \right)}}\] , 这是一目了然的.
这样我们表征 n 个全同粒子体系的态空间完全性关系的封闭性关系式就改写为:
\[\sum\limits_{{{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}\cdot \cdot \cdot }{\delta \left( n-\sum\limits_{l}{{{n}_{l}}} \right)\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}\cdot \cdot \cdot \right\rangle \langle {{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}\cdot \cdot \cdot |}=I\]
表征巨希尔伯特空间的完全性关系的封闭性关系式就写为:
\[\sum\limits_{{{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}\cdot \cdot \cdot }{\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}\cdot \cdot \cdot \right\rangle \langle {{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}\cdot \cdot \cdot |}=I\]
矢量 \[\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{n}_{l}}\cdot \cdot \cdot \right\rangle \] 有时候被称为福克态 (Fock State), 其做基矢的表象称作粒子数表象.
