随机过程|笔记整理（B）——鞅的引入，性质与举例。可选停时定理

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大家好！

这一节我们会开始介绍 鞅 （martingale）相关的内容。鞅是一个全新的板块，但也是一个相对来说更加抽象的一个概念。前期学习鞅的时候，往往会对它“究竟有什么作用”有些迷惑，但如果一直看到后面，我们就能够发现它的强大作用。

那么我们开始吧。

目录

• 什么叫鞅？
• 鞅的背景：赌博问题
• 鞅的凹凸性与正交性：上鞅为什么是“上”鞅？
• 可选停时定理
• 复杂情况： E(M_T) = E(M_0) ？

什么叫鞅？

鞅 （martingale）这个字的提出，估计一开始就会让人感到迷惑。我自己对于它的理解是：拆分这个字为“革”和“央”，联合“央”是“ 聚拢的，收心的 ”意思，可以理解“鞅”表示为“收拢在心的皮带”。联想一下骑马的时候，需要拿皮鞭去驭马而行，所以这个“王者驾驭”的心态就是鞅所带来的含义。 这个心态被引用在赌徒身上，赌徒也会希望自己去驾驭整个形势 。因此鞅一开始提出，其实就是为了描述一个 赌博的博弈模型 。简单来说，具备鞅性质的赌博过程， 包含了赌博输赢，输多少赢多少，怎么输怎么赢的一切信息 。而如果要让鞅具备如此强大的能力，自然就需要让它具备一定的抽象性，一定的铺垫。这也会使得一开始，对于鞅的性质的介绍，相比较之前的内容 可能会不太那么容易理解一些 。

好的，现在我们回到统计学本身，看一下鞅究竟是如何定义的。

Definition 1: Martingale，super-Martingale，sub-Martingale
对于一个随机变量 M_n ， \{X_n\} 是一个随机过程。如果满足
（1） M_n 仅仅与 X_0, \ldots, X_n 有关。
（2） E(M_{n + 1} |X_n, \ldots, X_0) = M_n
则称它是一个关于 X_n 的鞅。如果第2个式子的符号为 \le ，那么称它为上鞅。如果为 \ge ，那么称它为下鞅。

考虑到经常被问， 这里补一个概率论中的易混概念 。 E(M_{n + 1} |X_n, \ldots, X_0) = M_n 和下面一段

\forall x_0, \ldots, x_n, E(M_{n + 1} | X_n = x_n, \ldots, X_0 = x_0) = M_n

是一个意思。

当然这个地方的话，还有个问题，就是 上鞅和下鞅 这两个概念，听起来也不是特别好理解。一般来说上都是“好的”，下都是“坏的”，但是 在这里是正好相反的 。举个例子，一般 M_n 会被认为是“赌注”，那么上鞅的定义就是“下一局的赌注的期望要比上一局要少”， 相当于输钱了 。下鞅就是反过来， 赢钱的意思 。为什么和我们直观是正好相反的呢？这主要是和 上调和和下调和函数 （注意断句）有关。具体的我们放到之后说。

写到这里，我们再来回头看一看， 为什么英文叫martingale呢 ？这来源于法国的一个小镇名Martique。这个小镇的居民非常小气，会根据他们下一周要花的钱，来预估这一周要花的钱。且 他们下周要花的一点小钱，估计起来最有可能等于他们今天花的钱 。你看，是不是和鞅的定义对上了？因此实际上来说，鞅的提出也就是为了描述一个随机过程的 趋势 ，当然后来这个东西被各种数学家，统计学家一套整，搞出了各种乱七八糟的其他应用。当然这个要到后面才能知道，我们先不说。

为了熟悉这个定义，我们举几个例子。这些例子其实本身也是一些鞅的 基础工具 （就像一开始在连续时间马尔科夫链举的例子一样），可能在后面的问题中我们会经常用到他们。

Problem 1: Random Walk
考虑一个随机游走过程，即 S_n = s_0 + \sum_{k = 1}^n X_k ，且 X_1, \cdots 都独立同分布， E(X_i) = \mu ， Var(X_i) = \sigma^2 ，证明
（1） S_n - n\mu 是一个关于 X_n 的鞅。
（2） S_n 是上鞅还是下鞅，取决于 \mu 的正负。
（3） (S_n - n\mu)^2 - n \sigma^2 是一个关于 X_n 的鞅。

这里有3个题，我们一个一个看。先看第二个题，事实上这就只需要求解

E(S_{n+1} - S_n |X_0, \ldots, X_n)

这和定义是完全等价的。

这个不难，注意到

E(S_{n+1} - S_n |X_0, \ldots, X_n) = E(X_{n + 1}|X_0, \ldots, X_n) = E(X_{n + 1}) = \mu

所以如果 \mu \le 0 就可以看出来 S_n 是一个关于 X_n 的上鞅， \mu \ge 0 就是一个下鞅， \mu = 0 就是一个鞅。

对于第一个题，我们看一下，走定义会有

E((S_{n + 1} - (n + 1) \mu ) - (S_n - n\mu) | X_0, \ldots, X_n) = E(S_{n + 1} - S_n - \mu | X_0, \ldots, X_n) = 0

所以也不难。

其实如果你是一个经验丰富的小镇做题家，你会发现可以通过这个方式来做：因为 S_n 每一步迭代的时候，相比较上一次其实增加的值是一个未知数 \mu 。那么很容易推出， S_n - \mu 每一步迭代的时候，不会增加额外的期望值 。这一句话就说明了，从 S_0 开始，没迭代一步，为了抵消这个期望增加，就需要多减去一个 \mu 。那么到达第 n 步，就会变成 S_n - n \mu 。因此 S_n - n \mu 确实是一个鞅。

最后来看一下第三个题。我们一样走一个定义，可以得到

E\{[(S_{n + 1} - (n + 1) \mu)^2 - (n + 1) \sigma^2 ] - [(S_n - n \mu)^2 - n\sigma^2] | X_0, \ldots, X_n\} = E[2(S_n - n\mu)(X_{n + 1} - \mu) + (X_{ n + 1} - \mu)^2 - \sigma^2 |X_0 , \ldots ,X_n]

注意到 S_n - n \mu 在已知 X_0, \ldots, X_n 的情况下就是一个已知的量，所以提出来，就会有

E[2(S_n - n\mu)(X_{n + 1} - \mu) + (X_{ n + 1} - \mu)^2 - \sigma^2 |X_0 , \ldots ,X_n] = 2 (S_n - n\mu)E(X_{n + 1} - \mu |X_0, \ldots, X_n) + E(X_{n + 1} - \mu)^2 - \sigma^2 = 0

最后为0的原因是 E(X_{n + 1} - \mu) = 0 和 E(X_{n + 1} - \mu)^2 = \sigma^2 。所以第三个题我们也说明完了。

Problem 2: Product Martingale
设 X_1, X_2, \ldots 为独立的随机变量，并且 E(X_i) = 1 ，那么 M_n = M_0 X_1, \ldots, X_n 是一个关于 X_n 的鞅。

要说明这个其实也不难，比上面的题反而还简单一点。注意到

E(M_{n + 1}|X_0, \ldots, X_n) =E(M_n X_{n + 1}|X_0, \ldots, X_n) = M_nE(X_{ n + 1}) = M_n

这就证明了结论。

这个鞅一般会称它为 乘积鞅 ，是因为它本质上是衡量了随机过程的 乘积累积效应 。

Problem 3: Exponential Martingale
设 X_1, X_2, \ldots 是独立同分布的随机变量，且 \phi(\theta) = E(e^{\theta X_1}) < \infty ， S_n = S_0 + \sum_{k = 1}^n X_k 。那么 M_n = \exp (\theta S_n) / \phi(\theta)^n 就是一个鞅。

这个鞅也有专门的名字叫 指数鞅 ，指数鞅也有非常多的应用，也是会到后面慢慢介绍的。

验证这个东西是鞅其实和Problem 2的方法一模一样，这里就不细说了。但一个更重要的点在于它可以如何应用。比方说下面这个例子

Problem 3-2:
设 P(X_i = 1) = p, P(X_i = - 1) = 1 - p ，证明 (\frac {1-p}{p})^{S_n} 是一个鞅。 S_n 定义如上。

这个题看似和Problem 3没什么关系，不过其实注意到，如果 \phi(\theta) = 1 ，这个鞅的表达式就会简单一点，所以我们可以考虑先解一下 \phi(\theta) = 1 ，也就是

E(e^{\theta X_1}) = e^\theta p + e^{- \theta}(1 - p) = 1

解这个方程可以得到 \theta = \ln (\frac {1-p}p) 。所以只需要注意到，因为 \phi(\theta) = 1 的时候， e^{\theta S_n} 就是一个鞅，所以这个就对应了我们的结论，也就是结论成立。

好的，到此为止，通过这个题，至少鞅怎么验证，怎么计算条件期望等等，算是比较清楚了。

鞅的背景：赌博问题

我们一直说鞅其实是衡量“赌注的变化趋势”的，但是一直没说这个赌博游戏的背景是什么。在这里我们把它列为单独一个题，介绍一下这个背景。

Problem 4:
考虑一个赌博游戏，一开始的赌注为1。如果获胜，则获得赌注，且下一局的赌注重置为1。如果输了，则失去这个赌注，且下一局的赌注翻倍。假设输赢的概率相等，问这一个赌博问题是否存在好的策略。

举个例子，比方说玩了4局，第1，2局都输了，那么一共会输3块钱。第3局赢了，就会赢4块钱。第4局又赢了，就再赢1块钱，所以一共会赢2块钱。

首先一个比较重要的观察是： 只要一个人获胜了，那么他一定可以净收益1 （想想为什么？），所以一个很自然的推论是这个游戏是对玩家有利的，因为只要玩家赢了一次，就可以获得1的正收益。 但真的是这样吗 ？

我们假设 N = 6 ，表示玩了6局。首先我们可以分析一下 收益的期望 。 N= 6 的情况下，最多的收益就是6，这个时候的概率为 \frac 1{64} ，当然也可以是收益5，概率为 \frac 5 { 64} ，等等等等有很多情况，这里就不列了。总之如果你很感兴趣，可以算一下这些收益下对应的概率

[6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1,- 2, -4, -5, -6, -13, -14, -30, -63]

算出来的期望碰巧是0。所以首先可以看出的一点就是， 长期来看这个游戏并没有什么收益 。

接下来，我们用鞅的内容，更进一步的挖掘一些性质。定义 X_n 为每一局的正负，在这里 X_n = \pm 1 （至于具体赢了/输了多少，我们用专门的随机变量定义）。定义 M_n = \sum_{i = 1}^n X_n 为收益的和。那么很明显这个收益是一个鞅，因为 \{X_n\} 相互之间独立，且游戏公平。定义 H_n 是每一次的收益，那么很明显它是由 X_1, \ldots, X_{n- 1} 决定的，并且满足 H_m = 1 , 2H_{m - 1} ，这取决于上一局是赢了还是输了。那么最终的总的收益就是

W_n = W_0 + \sum_{ m =1}^n H_m(M_m - M_{m - 1})

那么下面这个结论，可能会让赌徒伤心的抹抹眼泪，拂袖而去。

Proposition 1:
设 M_n 是一个关于 X_n 的鞅， H_n 是一个仅仅与 X_0, \ldots, X_{n - 1} 有关的量，且 0 \le H_n \le c_n ，那么 W_n 就是一个鞅。

这个证明本身不是很困难，走定义就可以了，注意到

E(W_{n + 1} - W_n|X_0 , \ldots, X_n) = H_{n + 1}E(M_{n + 1} - H_n |X_0 ,\ldots , X_n) = 0

所以结论就成立了。

这个结论能告诉我们什么呢？我们仔细看一下会发现，对于 H_n 的要求是很低的，就是说只要它是一个 有限的正常数 就可以有这个结论。因此只要这个条件有了，无论你的策略 H_n 是什么，都没有办法改变最终的收益是一个鞅的结论。也就是说， 只要这个游戏本身是公平的，你怎么耍花样，期望的收益都不会有变 。

这个结论中的条件改成下鞅或者上鞅，也是可以的。比方说对于下鞅，它就相当于告诉我们： 只要游戏本身是对玩家不利的，无论怎么耍花样，期望的收益都会对玩家不利 。因此赌徒听到这个消息自然会痛哭流涕，毕竟 除了让信息不对称以外 ，确实没有其他办法可以让赌博这个游戏变得如他们想的一样有趣。

鞅的凹凸性与正交性：上鞅为什么是“上”鞅？

这个标题本身也很有意思， 鞅和凹凸性，正交性还能有联系 ？事实上连矩阵论的研究都能用上各种概率统计，似乎这几个梦幻联动一下，也不是那么猎奇的事情？

“上”这个字，对应的自然就是凹凸性。而正交性其实对应的是我们之前一直讨论的 马尔科夫性 。当然，它只是“意思上”比较接近罢了。

别急，我们来看一下这些结论究竟是什么。

Theorem 1:
设 M_n 是一个鞅， \phi 是一个凸函数，那么 \phi(M_n) 就是一个下鞅。另外，如果 M_n 是一个下鞅， \phi 是一个不减的凸函数，那么 \phi(M_n) 也是一个下鞅。

我们证明一下，先看第一个，如果要说明 \phi(M_n) 是一个下鞅，那么自然只需要证明

E(\phi(M_{n + 1}) | X_0, \ldots, X_n) \ge \phi(M_n)

那么注意到凸函数在期望中的性质 E(\phi(X)) \ge \phi(E(X)) ，加上条件依然也成立，所以我们会有

E(\phi(M_{n + 1}) | X_0, \ldots, X_n) \ge \phi(E(M_{n + 1} | X_0, \ldots, X_n)) = \phi(M_n)

最后的等号是使用了鞅的定义。所以最终我们就得到了结论。

对于第二个，想法类似，根据下鞅的结论，我们有

E(\phi(M_{n + 1}) | X_0, \ldots, X_n) \ge \phi(E(M_{n + 1} | X_0, \ldots, X_n)) \ge \phi(M_n)

最后一个不等号用到的是 \phi 的不减性。所以这个证明也透露出了一个很有趣的现象就是 正正不一定得正 。原因在于，如果我们让 M_n 的性质变得更好一点（从鞅变成上鞅）， 反而需要函数的性质更强 ，才能保持原来的结论不变。当然，你也可以理解为“ 相比较上下鞅，鞅才是数学家/统计学家更希望看到的性质 ”。

这个证明自然不是很困难，不过有两个点需要注意。一个是凸函数带来的期望的性质。这个性质的证明我们留给读者，但是考虑到期望本身的线性性（可以认为它是一个 线性算子 ），我们可以把

E(\phi(X)) \ge \phi(E(X))

理解为

\frac{\sum_{i = 1}^n \phi(X_i)}{n} \ge \phi(\frac{\sum_{i = 1}^n X_i}{n})

这就回到了凸优化中，我们对凸函数的最经典的几何刻画了。这一部分内容感兴趣的可以看一下《凸优化》的第2节。

对应的图如下

关于第二个问题，其实也可以解释为什么我们称它为下鞅，是因为 鞅在经过一个下凸函数的复合之后会变成一个下鞅 。也就是和 上下调和函数 的概念对应上了。这个翻译就使得“上鞅”在实际含义中，反而变成了赌徒所“ 不希望 ”出现的现象。

说完凹凸性，我们来看看什么是正交性。正交性就是这么一个意思

Theorem 2:
设 M_n 是一个鞅，那么有
（1） E(M_{n + 1}^2|A_v) - M_n^2 = E((M_{n + 1} - M_n)^2 |A_v)
（2） E(M_n - M_k)(M_j - M_i) = 0, 0 \le i \le j \le k < n
（3） E(M_n - M_0)^2 = \sum_{k = 1}^n E(M_k - M_{k - 1})^2

我们所说的“正交性”，其实就对应这里的第二个结论。这里的 A_v 就是我们之前写的 X_0, \ldots, X_n 的意思，这是一系列的条件。

第一个结论的证明不是特别困难，把 M_{n + 1} 拆一下，可以得到

E(M_{n + 1}^2|A_v) = M_n^2 + E((M_{n+1} - M_n)^2 |A_v) + \cancel {2E(M_n (M_{n + 1} - M_n) | A_v)}

最后一项可以划掉是为什么？这是因为首先， M_n 在已有条件 A_v 下是一个常数，其次，把这个常数提出来之后。剩下的 E(M_{n + 1} - M_n |A_v) ，根据鞅的性质就可以得到是0。所以移项就得到结论了。

第二个题的证明不是特别好想。不过很明显的一件事是，我们必须要先考虑一下怎么样使用“鞅”这个条件。 鞅必须要在有条件的时候才能够使用 ，所以我们可以联想到 重期望公式 。因此我们会有

E(M_n - M_k)(M_j - M_i) = E\{E[(M_n - M_k)(M_j - M_i) | X_0, \ldots, X_k]\} =E[(M_j - M_i) E(M_n - M_k |X_0 \ldots, X_k)]

这里我们的突破点是，能不能证明出 E(M_n - M_k |X_0, \ldots, X_k) = 0 ？要说明这个，其实就是希望说明

E(M_n|X_0, \ldots, X_k) = M_k

这看似是一个很显然的结论，毕竟我们一直说鞅是一个“趋势”，如果下一个的量和上一个相同，那么在 n \ge k 的情况下，似乎一步一步的期望值都不会变。但是这个结论的证明其实还是需要一些思考，我们重点分析一下这个。

根据数学归纳法，既然我们根据鞅的定义，有

E(M_{k + 1}|X_0, \ldots, X_k) = M_k

那么其实我们只需要说明 E(M_{k + 2}|X_0, \ldots, X_k) = M_k 就可以使用数学归纳法了。这一点其实还是需要依赖重期望公式的，因为我们希望用鞅的性质，那自然需要一些条件。

注意到

E(M_{k + 2}|X_0, \ldots, X_k) = E[E(M_{k + 2} |X_0 , \ldots, X_k) |X_0, \ldots, X_{k + 1}] = E[E(M_{k + 2} |X_0 , \ldots, X_{k + 1}) |X_0, \ldots, X_{k }] = E(M_{k + 1} |X_0 , \ldots, X_k) = M_k

这就说明了结论成立，也就自然可以说明 E(M_n|X_0, \ldots, X_k) = M_k 。因此我们的命题也就说明好了。

这个地方有一个问题是，条件的交换并不是任何情况下都成立的，而是 必须要在包含关系下才可以成立 。比方说这里， X_0, \ldots, X_{k + 1} 就是被 X_0, \ldots, X_n 所包含的。这个解释需要介绍一些实分析的例子和理解，可能会有较大的篇幅，我们留到下一节来说，

有了第二个结论，第三个结论就不难说明了。注意到我们可以做一个拆分，得到

M_n - M_0 = (M_n - M_{n - 1}) + \cdots + (M_1 - M_0)

平方一下，所有的交叉项，根据第二个结论都是0，所以就证明完毕了。

到此为止，我们算是比较好的介绍了鞅的正交性和凹凸性。

可选停时定理

可选停时定理 （Optional Stopping Theorem）应该是鞅这个概念中最为重要的定理之一。简单来说，我们希望观察， 在对鞅进行时间上的截断之后，性质上会不会有什么明显的变化 。所以这里的停时是简简单单的“何时停止”的一个判断标准， 和之前马尔科夫链里提到的“停时”的概念含义是相同的 ，因为这个停时确确实实只会与之前的时间上的信息有关。

我们先来看看一个简单版本的。

Theorem 3:
设 M_n 是一个上鞅， T 是停时， P(T < \infty) = 1 ，那么 M_{T \land n} 也是一个上鞅。特别的， E(M_{T \land n}) \le E(M_0) 。

当然了，改成鞅/下鞅，结果就对应的改一下就可以了。比方说对于下鞅，最后的不等式的符号就是 \ge 。

这个结论其实是一个显然的结论，因为我们之前已经提到过，这个期望的趋势是可以传递的。更具体来说，如果 M_n 是一个鞅，我们根据

E(M_1) = E(E(M_1|X_0)) = E(M_0)

就可以根据数学归纳法得到结论。

复杂情况： E(M_T) = E(M_0) ？

当然我们说了这只是一个简单版，有一个很有意思的问题是，如果 M_n 是一个鞅，那么是否有 E(M_T) = E(M_0) ？ 答案是否定的 ，可以看下面这个例子。

Counterexample 1:
设 S_n = 1 + \sum_{k = 1}^n X_k ，且 X_k = \pm 1 ，等概率发生。那么设停时 T = \min\{n: S_n = 0\} ，那么它是一个停时，这个时候，虽然 S_n 是一个鞅，并且 P_1(T < \infty) = 1 ，但是 E(S_T) = 0 \ne 1 = E(S_0) ，并不相等。

这里为什么 P_1(T < \infty) = 1 ，是因为 S_n 可以被建模为一个离散马尔科夫链。在第5节

我们就提到过，这个对应的是零常返的情况。

再看一眼这个反例。为什么从 E(M_{T \land n}) 到 E(M_T) 了之后，结论就失效了呢？这是因为 我们失去了对于每一步趋势的制约 。也就是说，如果我们碰巧卡在了一个点，这个点的结果和之前的情况不一致，那么因为没有 n ，所以期望结果就不一定和一开始的 M_0 一致了。

既然这个相等是否定的，那么这个结论就不能用了吗？ 倒也不是 ，事实上，有很多充要条件可以帮助我们推导出 E(M_T) = E(M_0) 。这里我们挑选一些来介绍。

Proposition 2:
设 M_n 是一个鞅， T 是一个停时， P(T < \infty) = 1 ，且对于某个常数 K ，囿 M_{T\land n} \le K 。那么有 E(M_T) = E(M_0) 。

这个定理的证明并不困难。注意到 E(M_{T \land n}) = E(M_0) ，所以我们有

E(M_0) = \lim_{n \to \infty} E(M_{T \land n}) = E(\lim_{n \to \infty} M_{T \land n}) = E(M_T)

中间的极限与期望交换顺序用的就是控制收敛定理，使用控制收敛定理的原因也是我们希望利用极限这个工具， 建立 M_{T \land n} 和 M_T 之间的联系 。因为 M_{T \land n} \le K ，所以我们可以使用它。控制收敛定理是实分析的内容，感兴趣的同学可以参考这一节文章。当然了，这也不是我们第一次碰到这个定理了。

Proposition 3:
如果 P(T \le K) = 1 ，那么 E(M_T) = E(M_0) 。

也就是说，如果可以保证 T 几乎是有限的，那么也可以得到相等的结论。简单点说，因为我们有 E(M_{T \land n}) = E(M_0) ，所以设 n > K 就可以了，而 n > K 只需要 n 充分大。当然这个不太严谨，不过我们强调了很多遍，更严谨的说法需要诉诸测度论相关的内容。如果说理解本身，那这就完全够了。

最后，再来看一个不是特别好理解的，可以推导出相等的一个充分条件。

Proposition 4:
若 E(T) < \infty ， E(|M_{n + 1} - M_n | \mid X_1, \ldots, X_n) \le c < \infty ，那么 E(M_T) = E(M_0) 。

这里我们的想法也比较淳朴，就是证明 M_{T \land n} 是 绝对有界的 （绝对有界是数分的一个概念，就是绝对值的上界有限），这样的话就可以利用控制收敛定理。这个思路的来源也是很容易得到的，因为条件相当于说鞅的绝对值的差距是有限的，那么求和在一起，利用三角不等式，应该也能推导出这个结论。

按照这个思路，我们推导一下。注意到

|M_{T \land n}| = |\sum_{k = 1}^ \infty (M_{k} - M_{k - 1}) I (k \le T \land n) + M_0 | \le |M_0| + \sum_{k = 1}^\infty |M_k - M_{k - 1}| I(k \le T \land n) \le |M_0| + \sum_{k = 1}^\infty |M_k - M_{k - 1}|I(k \le T)

设 Y = |M_0| + \sum_{k = 1}^\infty |M_k - M_{k - 1}|I(k \le T) ，那么只要证明 E(Y) < \infty 就可以了。那么注意到

E(Y) = E(|M_0|) + \sum_{k = 1}^\infty E(|M_k - M_{k - 1} | I(k \le T))

E(|M_0|) 是常数，不用管太多。而第二项我们很显然，会希望和条件关联上。所以我们有

E(|M_k - M_{k - 1} | I(k \le T)) = E[E(|M_k - M_{k - 1} | I(k \le T))|X_1, \ldots, X_{k - 1}] =E[I(k \le T) E(|M_k - M_{k - 1} | \mid X_1, \ldots, X_{k - 1})] \le E(c I(k \le T)) = c P(T \ge k)

求和，根据 \sum_{k = 1}^\infty P(T \ge k) = E(T) ，就可以得到

E(Y) \le E(M_0) + c E(T) < \infty

这就证明了结论。

好的，到此为止，其实关于可选停时定理的理论部分，我们就介绍的差不多了。当然了其实它还有挺多有趣的应用，这个我们放到下一节再说。

小结

本节我们介绍了鞅。鞅是一个很有意思的随机过程，它保证了平均趋势的一个一致性。同时举了很多实际的鞅的例子，用以揭露这个概念被提出的背景。在这最后，我们介绍了可选停时定理。虽然在目前为止可能大家还不太明白为什么我说它是“鞅中最重要的定理之一”，但是到了下一节，大家就会发现它的强大威力。

在下一节，除了介绍应用以外，还会补充一点鞅的与收敛有关的理论性质。如果还有位置的话，我们就可以开始介绍我们这个系列的最后一个部分——布朗运动了。

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