数学分析（22） 第十五章 含参变量积分（2）含参变量的反常积分
参考《数学分析》陈纪修
第十五章 含参变量积分
目录：
1.反常积分
- 无穷区间上 的含参变量反常积分
- 无界函数 的含参变量反常积分
2.无穷区间上含参变量反常积分的一致收敛
3.无界函数含参变量反常积分的一致收敛
4.一致收敛的判别法
- 4.1 Cauchy收敛原理
- 4.2 Weierstrass判别法
- 4.3 Abel判别法和Dirichlet判别法
- 4.4 Dini定理
5.一致收敛积分的分析性质（无穷区间上的反常积分）
- 5.1 一致收敛引理
- 5.2 连续性定理
- 5.3 积分次序交换定理
- 5.4 x、y 都无穷的积分次序交换定理
- 5.5 积分号下求导定理
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1.反常积分
- 无穷区间上 的含参变量反常积分
- 无界函数 的含参变量反常积分
2.无穷区间上含参变量反常积分的一致收敛
此处的一致收敛、一致收敛的4个判别法，都可与 juliar：数学分析（12）第十章 函数项级数 中的相应定义及定理进行比较。
3.无界函数含参变量反常积分的一致收敛
4.一致收敛的判别法
4.1 Cauchy收敛原理
cauchy列（基本列） juliar：数学分析（2）第二章 数列极限
4.2 Weierstrass判别法
juliar：数学分析（2）第二章 数列极限 ：Bolzano-Weierstrass定理：有界数列必有收敛自列， 重在有界 。
Weierstrass判别法：若被一个收敛的反常积分从被积函数上限制住，则其本身一致收敛。
4.3 Abel判别法和Dirichlet判别法
乘积形式：对比 juliar：数学分析（11）第九章 数项级数 ，这里一个是“ 一致收敛+单调、一致有界 ”，另一个是“ 一致有界+单调、一致收敛到0 ”
一致有界：此界为固定值，不随其他量的变化而变化，可将“一致有界”理解为“有一致界”
证明及实例见p362
4.4 Dini定理
在 juliar：数学分析（21） 第十五章 含参变量积分（1）含参变量的常义积分 中介绍了连续性定理，即对于常义积分，有连续性定理，但是对于含参变量的反常积分来说，却没有如此好的性质，若有此连续性（与5.2中的连续性定理进行比较），且函数不变号，则可以得到一致收敛的结论。
juliar：数学分析（12）第十章 函数项级数 中的Dini定理：关于n单调
见课本p365
5.一致收敛积分的分析性质（无穷区间上的反常积分）
对比 juliar：数学分析（21） 第十五章 含参变量积分（1）含参变量的常义积分 下的分析性质
现在讨论含参变量反常积分的分析性质，即连续性、可微性和可积性
相较于含参变量的常义积分，反常积分加了一致收敛的要求
连续性定理 ：函数连续、反常积分一致收敛 = > 反常积分连续
积分次序交换定理 ：函数连续、反常积分一致收敛 = > 反常积分的积分次序可交换
积分号下求导定理 ：函数导函数连续、反常积分收敛、反常积分的导数一致收敛 = > 反常积分的积分号下求导定理
5.1 一致收敛引理
5.2 连续性定理
与Dini定理进行比较：
Dini定理 ： f(x,y) 连续且保号+ I(y) 连续 => I(y) 一致收敛；
连续性定理 ： f(x,y) 连续+ I(y) 一致收敛 => I(y) 连续 ；
两个区别在于：Dini定理中有保号要求
5.3 积分次序交换定理
连续+一致连续 => 积分次序可交换
5.4 x、y 都无穷的积分次序交换定理
连续+一致连续 + 绝对值取积分至少有一个存在 => 积分次序可交换
5.5 积分号下求导定理
连续连续 + 收敛 + 一致收敛 => 可微
2021.5.14
