一阶线性偏微分方程理论
1、微分方程的解
微分方程一般来讲描述了解函数在解域内的局部变化率，可以是一阶的也可以是高阶的。总之描述了局部性质。也就是相当于给出一个各个点的局部性质，所有点都满足局部性质的函数就是我们要找的函数，也就是微分方程的解。比如一阶微分方程
\frac{\text{d}f}{\text{d}x}=k\\
它的解是 f=kx+b ，一个直线。这是因为，方程要求解函数在解域内，各点上的一阶导都是 k ，这种局部性质是直线的局部性质。所以不难理解，微分方程的解往往都是一些特定的曲线、曲面(用微分流形的语言叫超平面)。
其实追根溯源，这是线性代数的内容。因为导数算子具有线性性，所以可以理解为对解函数(希尔伯特空间的“向量”)施加线性变换后得到一个新的函数。这和线性代数中著名的 Ax=b 没有本质区别。既然如此，线性变换的解空间、超平面的内容就可以照搬过来。譬如齐次方程的解为子空间(解空间)，而非齐次方程的解为子空间按一个向量(特解)平移，也就是超平面。这里推荐一本书--《线性空间引论》俄选
2、法线的意义
我们知道，平面的点向式方程是 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0 。也就是说，过点 M(x_0,y_0,z_0) 且法向量为 \bm{n}=(A,B,C) 的平面。其某一点的法线方程按照点向式可以很容易地写出
\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}\\
这便是平面的法线方程，对于其他曲面也可以通过其方程来寻找法线方程。那么法线对于曲面来说有什么意义呢？
实际上，我们可以想象到，以一个二维曲面为例，它的局部变化情况完全可以由法线上的向量来刻画。也就是它的起起伏伏，在局域上都是在法线方向上的。这为我们解决一阶线性偏微分方程提供了思路。
3.特征方程法与齐次一阶线性偏微分方程
我们的一阶线性偏微分方程会牵扯到梯度算符，如
\left(A,B\right)\cdot \nabla f=C\Leftrightarrow A\frac{\partial f}{\partial x}+B\frac{\partial f}{\partial y}=C\\\tag{3.1}
这与几何方程中的法向量点乘面上向量为 0 (垂直性)如出一辙。比如直线方程
\left(\begin{array} &A&B \end{array}\right)\left(\begin{array} &x\\y \end{array}\right)=C\Leftrightarrow Ax+By+C=0\\
只是说微分方程里的 \nabla f 代表着局域变化的情况。我们用希尔伯特空间的语言，函数就是一种“向量”，故(3.1)实际上的一般表示是
k(x,y)\frac{\partial f}{\partial x}+\rho(x,y)\frac{\partial f}{\partial y}=v(x,y)\\\tag{3.2}
那么我们同样可以搞出最后解出来那个超平面的“法线方程”
\frac{\text{d}x}{k(x,y)}=\frac{\text{d}y}{\rho(x,y)}\\\tag{3.3}
这(3.3)便被称作微分方程(3.2)的 特征方程 。其实本质上同几何的那个法线方程并没有区别。
方程(3.3)本身也是一个微分方程，但它起到的作用，就是描述微分方程中的“法线”。可想而知，法线上长短不一样的向量们构成了一个线性空间，而特征方程(法线方程)的解就是这个空间的一个基底。而我们在第2小节中提到，法线上的向量描述了局域变化性质。
这样，微分方程描述了局域变化性质，法线上的向量描述了局域变化性质，我们现在还找到了法线上向量们的基底。这么一琢磨，解函数就应该是这个基底的函数才对。
由此我们构建了一个框架解决一阶线性偏微分方程问题：
设有齐次一阶线性偏微分方程如下 (非齐次情况见第4小节)
k(x,y,z)\frac{\partial f}{\partial x}+\rho(x,y,z)\frac{\partial f}{\partial y}+u(x,y,z)\frac{\partial f}{\partial z}=0\\
其特征方程为
\frac{\text{d}x}{k(x,y,z)}=\frac{\text{d}y}{\rho(x,y,z)}=\frac{\text{d}z}{u(x,y,z)}\\
分别解第一、第二个等式(两个首次积分)，得解空间的一组基底
\ L(x,y,z)=\int\rho\ \text{d}x-k\ \text{d}y=C_1\\H(x,y,z)=\int u\ \text{d}y-\rho\ \text{d}z=C_2\\
则微分方程有解
f(x,y,z)=\varphi\left[L(x,y,z),H(x,y,z) \right]\\
然后再根据初值条件、边界条件等，求解 f(x,y,z) 的具体形式。详见附录 \text{A} 。
4、一阶拟线性偏微分方程(非齐次)
对于非齐次方程(为方便字母使用，以2维情况为例。这也很容易推广到任意维)
k(x,y)\frac{\partial f}{\partial x}+\rho(x,y)\frac{\partial f}{\partial y}=v(x,y)\\
解函数形式上是 f=f(x,y) ，可以考虑将它变成一个隐函数 K(x,y,f)=0 。
这样一来，利用隐函数的性质(负号其实是因为移项造成的)
\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{\partial f}{\partial K}\frac{\partial K}{\partial x}，\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{\partial f}{\partial K}\frac{\partial K}{\partial y}\\
带入原方程得
k(x,y)\frac{\partial K}{\partial x}+\rho(x,y)\frac{\partial K}{\partial y}+v(x,y)\frac{\partial K}{\partial f}=0\\
这样，这个问题又成了齐次问题，利用第3小节的框架就能解决。对于能这样操作的方程，我们将其称为 拟线性方程 。例题见附录 \text{B} 。
附录A 一阶齐次线偏微分方程例题
求解初值问题
\begin{cases} \sqrt{x}\frac{\partial f}{\partial x}+\sqrt{y}\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{\partial f}{\partial z}=0\\ \\z=1时，f=xy \end{cases}\\
列出特征方程
\frac{\text{d}x}{\sqrt x}=\frac{\text{d}y}{\sqrt y}=\frac{\text{d}z}{z}\\
两次首次积分，解得
\sqrt x-\sqrt y=C_1，2\sqrt y-\ln z=C_2\\
故方程有解
f(x,y,z)=\varphi\left[ \left( \sqrt {x}-\sqrt {y} \right),(2\sqrt y-\ln z) \right]\\
利用 z=1 时， f=xy ，有
\varphi\left[ \left( \sqrt {x}-\sqrt {y} \right),2\sqrt y \right]=xy\\
令
\xi= \sqrt {x}-\sqrt {y}，\eta=2\sqrt y\\
则 \varphi=\varphi(\xi,\eta) 。取反变换得
x=\left( \xi+\frac{1}{2}\eta \right)^2，y=\frac{1}{4}\eta^2\\
带入 \varphi 得
\varphi(\xi,\eta)=\left( \xi+\frac{1}{2}\eta \right)^2\frac{1}{4}\eta^2 \\
故初值问题的解为
f(x,y,z)=\varphi\left[ \left( \sqrt {x}-\sqrt {y} \right),(2\sqrt y-\ln z) \right] \\=\left[ \left( \sqrt {x}-\sqrt {y} \right)+\frac{1}{2}\left( 2\sqrt y-\ln z \right)\right]^2\frac{1}{4}\left( 2\sqrt y-\ln z \right)^2
附录B 拟线性方程例题(并且因为初值条件的变动，与附录A步骤还不太一样)
求解初值问题
\begin{cases} \sqrt{x}\frac{\partial z}{\partial x}+\sqrt{y}\frac{\partial z}{\partial y}=z\\ \\x=1时，z=\sin{2y} \end{cases}\\
取隐函数
\sqrt{x}\frac{\partial K}{\partial x}+\sqrt{y}\frac{\partial K}{\partial y}+z\frac{\partial K}{\partial z}=0\\
列出特征方程
\frac{\text{d}x}{\sqrt x}=\frac{\text{d}y}{\sqrt y}=\frac{\text{d}z}{z}\\
首次积分
\sqrt x-\sqrt y=C_1，2\sqrt y-\ln z=C_2\\
解函数形式
K(x,y,z)=\varphi\left[ \left( \sqrt {x}-\sqrt {y} \right),(2\sqrt y-\ln z) \right]\\
但注意到初值条件 x=1 时， z=\sin{2y} ，这 适用于 z 的初值条件。所以我们要先还原 z=z(x,y) 。正是因为 z 对 x,y 的依赖， \varphi 第二个变量是第一个变量的函数，“法线”上现在就剩下一个基底
2\sqrt y-\ln z=f\left( \sqrt {x}-\sqrt {y} \right)\\
有
z=\left[\exp\left( 2\sqrt{y} \right)\right]\phi\left( \sqrt x-\sqrt y \right)\\
据初值条件
\left[\exp\left( 2\sqrt{y} \right)\right]\phi\left( 1-\sqrt y \right)=\sin{2y}\\ \phi\left( 1-\sqrt y \right)=\left[\exp\left( -2\sqrt{y} \right)\right]\sin{2y}
令 t=1-\sqrt y
\phi(t)=\text{e}^{2(t-1)}\sin\left[ 2(1-t)^2 \right]\\
故初值问题的解为
z=\text{e}^{2( \sqrt x -1)}\sin\left[ 2(1- \sqrt x+\sqrt y )^2 \right]\\
