实分析|笔记整理（2）——勒贝格测度及相关举例
（辣鸡ZH专栏编辑器吞我文章一个下午的心血啊！！！！！！）
大家好！
在上一节中我们从测度论的角度引入说了一些实分析的基本概念和相关概念性质的证明思想与方法。本节我们继续往下，开始介绍一些关于外测度的应用和其余的深入性质。
另外我们有必要提的是，这一系列笔记中我们很多地方的写法其实是不规范的，比如说 R^d 应该是 \mathbb{R}^d ，为了节省时间，我没有多打几个字母，就是这样合情合理的偷懒，嗯。
提供之前的笔记：
我们开始今天的内容。
目录
- 可测集，勒贝格测度
- 一个不可测集的例子
可测集(measurable sets)，勒贝格测度(Lebesgue measure)
有了外测度的相关概念，就有办法更好的定义“可测”这个概念了。由于“可测”的定义方法都是等价，而勒贝格测度是最简单和直接的，所以我们介绍它。
关于可测的相关定义如下
Definition:Lebesgue measurable,Lebesgue measure
对于一个 R^d 的子集 E ，如果满足，对于任意的 \epsilon>0 ，存在一个开集 \mathcal{O} ，使得 E\subset \mathcal{O},m_*(\mathcal{O}-E) \le \epsilon ，则称 E 是勒贝格可测的，且定义其勒贝格测度 m(E)=m_*(E) 。
这个概念如何理解呢？考虑外测度的定义就好。对于一个集合 E ，如果我们可以找到一系列的可列的集合，使得它可以有办法在测度意义上无限逼近 E ，那就说明 E 是可测的。
另一方面，就相当于说，我们可以定义一种测量方法，使得这种测量方法，它最后的结果和 E 在测度意义下是几乎相同的（测度差可以任意小）。那就说它可测。
关于可测，有以下的几个性质，我们分别来说，它们的证明方法也很奇妙。
Property 1
任意 R^d 中的开集都可测。
这可以直接由定义得到，或者说见上一节的第四个观察结论。
Property 2
如果 m_*(E)=0 ，则称它可测。特别地，如果 F 是一个测度为0的集合的子集，那么F是可测的。
还是根据那第四个观察结论。对于任意的子集 E ，存在一个开集 \mathcal{O} 满足 E \subset \mathcal{O} 并且 m(\mathcal{O}) \le \epsilon （因为 m_*(E)=0 ）。这样的话，根据 (\mathcal{O}-E)\subset \mathcal{O} 即可根据单调性得到结论。
Property 3
一系列可数的可测集合的并依然可测
如果设 E=\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i ，那么对于任意的 E_i ，我都可以找一个开集 \mathcal{O}_i ，使得 E_i \subset \mathcal{O}_i,m_*(\mathcal{O}_i-E_i) \le \frac{\epsilon}{2^i} 。那么设 \mathcal{O}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{O_i} ，就可以得到 E \subset \mathcal{O},(\mathcal{O}-E) \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}(\mathcal{O}_i-E_i) ，那么只需要根据次可加性和单调性即可得到结论。
在下面这张图中，如果设两个内矩形为 E_1,E_2 ，外矩形为 \mathcal{O_1,O_2} ，那么这个时候，左右两个集合相差的部分就是图中红色标记的部分，而黑色的部分分别是 (\mathcal{O}_i-E_i),i=1,2
Property 4
闭集可测。
在说它之前，我们先说一个引理，这个引理也比较常用，也比较直觉。
Lemma:
如果 F 是闭集， K 是紧集，两个集合不相交，那么 d(F,K) >0
首先因为 F 是闭集，所以对于任意的点 x \in K ，有 d(x,K)>3\delta_x 。另一方面，因为 K 是紧集，所以在一个 K 的无限的开覆盖中，一定可以取有限个开集同样完全覆盖 K 。加上我们显然可以知道的是 \bigcup_{x \in K}B_{2\delta_x}(x) 完全包含 K ，所以我可以取一系列集合 \bigcup_{i=1}^{N}B_{2\delta_i}(x_i) 完全包含 K 。那么，只需要取 \delta=min\{\delta_1,\delta_2,...,\delta_N\} 即可根据距离三角不等式得到 d(F,K) \ge \delta ，即为结论。
好的，我们回到这个证明的原本内容上来。
首先要说明，只要证明 F 在紧集的情况下可测即可。
联想一个我们在数分一中比较常做的一个构造。考虑一系列圆心在原点，半径为 k 的闭球 B_k ，那么 F=\bigcup_{i=1}^{\infty}F \cap B_i 。因为这个时候这些集合都是有界闭集，也就是紧集，所以如果紧集可测，用上面的结论即可。
现在我们考虑紧集的情况。注意，技巧性的构造来了！我们考虑一下，设 F 是一个紧集，那么存在一个开集 \mathcal{O} ，使得 F \subset \mathcal{O} ，并且 m_*(\mathcal{O}) \le m_*(F)+\epsilon,\epsilon>0 。这样的话，因为 F 是闭集，所以 \mathcal{O}-F 是一个开集，所以根据我们在第一节开始介绍的结论，知道它可以被写成一系列可列的几乎不相交的闭正方体的并，设为 \bigcup_{i=1}^{\infty}Q_i 。
注意到这个时候，对任意的 N ， \bigcup_{i=1}^{N}Q_i 都是紧集，设为 K 。根据引理可以得到 d(F,K)>0 ，距离大于0的时候可以用什么结论？此时两个集合并的外测度就是两个集合的外测度的和。结合 K \cup F \subset \mathcal{O} ，我们可以得到 m_*(\mathcal{O})\ge m_*(F)+\sum_{i=1}^{N}Q_i ，移项之后，令 N \to +\infty 即可得到结论。
Property 5
可测集的补集依然可测。
如果说 E 是可测集，那么对于每一个数 n ，存在一个开集 F_n （换符号的原因时，打的实在太累了……），使得 E \subset F_n,m_*(F_n-E) \le\frac1n 。这样的话，因为 F_n 是开集，那么它的补集就是闭集，那么就可以说明它可测。这样的话，我们就可以考虑 S=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_i ，这是可列的可测集的并，因此也是可测的。并且由于 (E^c-S) \subset (F_n-E) ，所以 m_*(E^c-S) \le \frac1n ，因为这个式子对于任意的 n 成立，所以令 n \to +\infty 就可以得到 E^c-S 可测，那么结合 S 可测，两个可测集合取并当然可测。而这就是 E^c ，就证明了结论。
Property 6
一系列可列的可测集的交依然可测
这可以直接由De-Morgan定律得到，读者可以自己给出它的证明。
这些性质的证明很多都是很巧妙的，直接思考构造是很难的，但可以作为很好的学习的例子。另外要注意的是，上面的所有研究对象都是针对“可列的”集合，如果集合可列条件不存在，上面的涉及到的结论都不成立哦。
下面的结论就很迷人了，就是我们之前提到的可加性，在勒贝格测度的意义下，这个性质得到了满足，我们列举如下。
Theorem:
如果 E_1,E_2,... 是一系列可测的，不相交的集合，并且 E =\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i ，那么 m(E)=\bigcup_{i=1}^{\infty}m(E_i)
我们证明一下这个结论。首先我们先考虑每一个 E_i 有界的情况，因为这一系列集合是不相交的，所以我们可以考虑构造一系列集合，它是在内部在测度意义下无限逼近每一个 E_i 的。但是外测度外测度，是从外部无限逼近得到的测度，因此我们需要一个补集可测的结论。还好这个结论我们在上面已经证过了。
有了这么一个思想，就可以考虑，对于每一个 E_i ，都可以构造一个闭集合 F_i ，使得 F_i \subset E_i 并且 m_*(E_i-F_i) \le \frac{\epsilon}{2^i} 。因为它们是紧集并且不相交，所以集合的并的测度为每一个集合的测度之和。也就是说，对于每一个固定的 N ，都有 m(\bigcup_{i=1}^{N}F_i)=\sum_{i=1}^{N}m(F_i) 。另一方面，因为 \bigcup_{i=1}^{N}F_i\subset E ，所以 m(E) \ge \sum_{j=1}^{N}m(F_j) \ge \sum_{j=1}^{N} m(E_j)-\epsilon （这需要用到的结论是 m_*(E_j)-m_*(F_j) \le m_*(E_j-F_j) ），再令 N \to +\infty 就有 m(E) \ge \sum_{i=1}^{\infty}m(E_i) ，而另一个角度是可以通过外测度的次可加性得到的，这就证明了结论。
再考虑无界的情况。考虑以下的这种构造：构造一系列闭正方体 \{Q_k\}_{k=1}^{\infty} ，使得 Q_k \subset Q_{k+1},\bigcup_{k=1}^{\infty}Q_k=R^d 。再令 S_1=Q_1,S_k=Q_k-Q_{k-1}(k \ge 2) 。再定义 E_{j,k}=E_j \cap S_k 。因为对于每一个构造的集合 S_k 它都是有界的，那么自然每一个 E_{j,k} 就是有界的。另一方面， E =\bigcup_{j,k}E_{j,k} ，所以这个时候，应用上面已经证好的结论即可。
这个证明的构造思路看似比较巧妙，其实并不是空穴来风。回想一下数分一的以原点为圆心的一系列圆的构造？是不是大同小异？
但是这一系列构造的思想自然是有用而有趣的，我们下面介绍的性质中还会使用到它们。
首先我们先考虑一些定义
Definition:
如果 E_1,E_2,... 是一系列可列的 R^d 的子集，满足对于所有的 k 有 E_k \subset E_{k+1} 且 E = \bigcup_{i=1}^{\infty}E_i ，则记为 E_k \nearrow E 。反过来，如果 E_k \supset E_{k+1} 对于任意的 k 成立，且 E=\bigcap_{i=1}^{\infty}E_i 。这样的话就记为 E_k \searrow E 。
有了这些定义后，我们把相关的结论记录如下
Proposition:
(1)如果 E_k \nearrow E ，那么 m(E)=\lim_{N \to \infty}m(E_N)
(2)如果 E_k \searrow E ，且对于某一个 k 有 m(E_k) < \infty ，那么 m(E)=\lim_{N \to \infty}m(E_N)
我们证明一下这个结论。
对于第一部分，考虑与上面的题相似的构造。设 G_1=E_1,G_k=E_k-E_{k-1}(k \ge 2) ，那么 m(E)=\sum_{k=1}^{\infty}m(G_k)=\lim _{N \to \infty}\sum_{k=1}^{N}m(G_k)=\lim_{N \to \infty}m(E_N) （中间我跳了一步），就得到了结论。
对于第二部分，证明的方法相似的。不妨设 m(E_1) < \infty ，那么使用和上面相同的构造，可以得到 E_1=E \cup \bigcup_{k=1}^{\infty}G_k 。这些是一系列不相交的集合。又因为勒贝格测度是满足可加性的，所以有 m(E_1)=m(E)+m(E_1)-\lim_{N \to \infty}m(E_N) （自己列出来就好得到这个结论了）。因为 m(E_1) 是一个有限数，所以两边一消就可以了。
关于这第二部分的结论，要注意的是不能缺少 m(E_k) < \infty 的条件。一个反例是 E_k=(k,+\infty) 。
所以最后，总结一下关于勒贝格测度的一些性质，可以延伸出下面的定理。
Theorem:
设 E 为 R^d 的可测子集，则对于任意的 \epsilon >0
(1)存在一个开集 \mathcal{O} 使得 E \subset \mathcal{O} ， m(\mathcal{O}-E) \le \epsilon
(2)存在一个闭集 F 使得 F \subset E ， m(E-F) \le \epsilon
(3)如果 m(E) 是有限的，则存在一个紧集 K 使得 K \subset E ， m(E-K) \le \epsilon
(4)如果 m(E) 是有限的，则存在一系列有限的闭正方体的并 F=\bigcup_{i=1}^{N}Q_i 使得 m(E \triangle F)\le \epsilon
这里需要解释一下的是， E\triangle F=(E-F) \cup (F-E) ，也即对称差集。代表的是只存在于这两个集合中的一个的元素集合。
第一个部分就是可测的定义，对于第二个部分，严谨的证明是这样的：因为 E^c 是可测的，所以存在一个开集 \mathcal{O} 使得 \mathcal{O} \supset E^c ， m_*(\mathcal{O}-E^c) \le \epsilon 。令 F=\mathcal{O}^c ，则 F 是一个闭集。又 E-F=\mathcal{O}-E^c ，就可以得到结论。
而针对第三个部分，因为考虑要构造的是一个紧集，所以我们一定要考虑闭集（请注意，我并不知道它有没有界，无界不代表测度无界）。和第二个部分一样，先考虑一个闭集 F 使得 F \subset E,m(E-F) \le \frac{\epsilon}{2} 。再考虑设 K_n=F \cap B_n （ B_n 是指圆心在原点，半径为 n 的闭球），那么显然可以得到的是，每一个 K_n 都是有界的闭集，也就是紧集。也就是说我们找到了这样的研究对象。
需要注意到的结论是， (E-K_n) \searrow (E-F) 。而 m(E-F) \le \frac{\epsilon}{2} ，所以我可以找到某一个 K_n ，使得 m(E-K_n) \le \epsilon （这是极限的定义）。这就证明了结论。
针对第四个部分，这个构造会显得稍微有点技巧性啦。首先对于原来的集合，可以假设存在一系列的闭正方体 \{Q_j\}_{j=1}^{\infty} ，使得 E \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}Q_i,m(E)+\frac{\epsilon}{2}\ge \sum_{i=1}^{\infty}|Q_i| 。
注意到 m(E) 是一个有限的数，所以根据级数的相关性质可以知道，存在这样的一个 N ，使得 \sum_{j=N+1}^{\infty}|Q_j| < \frac{\epsilon}{2} 。考虑设 F =\bigcup_{j=1}^{N}Q_j ，这样的话，注意到 (E-F),(F-E) 两个是不交的，那么 m(E \triangle F)=m(E-F)+m(F-E) ，而 m(E-F)=m(\bigcup_{j=N+1}^{\infty}Q_j) ， m(F-E) \le m(\bigcup_{i=1}^{\infty}Q_i-E) ，合并，把第二个不等式的右半部分再拆开，根据 m(E-F) \le m(E)-m(F) 即可得到结论。
这些定理从直观上解释了勒贝格可测的意思，就像我说的一样，如果一个集合可测，那么就有办法用其余的集合去无限的逼近它。这就是它的本源。
一个不可测的例子
书上之后停止了对于抽象的性质本身的讨论，开始介绍一些例子，为了文章的结构完整性，我稍微调整了一下顺序。
一个很显然的问题就是，是不是所有的在 R^d 上的集合，都是可测集？当然是不可能的。
首先定义 x \sim y 表示 x-y 是有理数。那么显然这个关系是一个等价关系（我相信我不用再把等价关系的定义抄一遍）。之后考虑一个区间 [0,1] ，它可以做一个划分，每一个划分中的元素都是一个等价类。也就是说 [0,1]=\bigcup_{\alpha}\mathcal{E}_\alpha 。之后，在每个等价类中考虑一个元素 x_\alpha ，最后考虑集合 \mathcal{N}=\{x_\alpha\} 。那么这就是我们构造的不可测集的例子。
怎么证明？考虑反证，首先我们需要考虑在 [-1,1] 中考虑所有的有理数，为此我们从小到大对它们做个排序，并且按照这个顺序标号，记这些数的集合为 \{r_k\} 。最后再考虑设 \mathcal{N}_k=\mathcal{N}+r_k 。
首先要证明， \{\mathcal{N}_k\} 两两不相交，这很简单。假设 \mathcal{N}_k,\mathcal{N}_k' 是有交集的，那也就是说存在一个元素可以同时有两种表示： x_\alpha+r_1,x_\beta+r_2,r_1 \ne r_2 。这样的话因为 x_\alpha+r_1=x_\beta+r_2 ，所以 x_\alpha-x_\beta 是一个有理数，这是不可能的，因为我们构造的集合要求每一个等价类中只有一个元素，现在从两个不同的等价类中取出的元素等价，就产生矛盾了。
其次再说明： [0,1] \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\mathcal{N}_k \subset [-1,2] 。右半部分是挺显然的，构造的步骤中就能很显然的看出。而左半部分可以这么考虑：对于每一个元素 x \in [0,1] ，都肯定存在一个 x_\alpha 满足 x \sim x_\alpha ，那么 x-x_\alpha 就是有理数，并且 x-x_\alpha \in [-1,1] 。这样的话就一定会有一个 r_k 与它对应，所以 x=x_\alpha+r_k ，翻译过来就是说， x \in \mathcal{N}_k ，所以左半部分也证好了。
好的，现在问题来了。如果说 \mathcal{N} 是可测的，这就意味着每一个 \mathcal{N}_k 都是可测的，那么可列个这样的集合取个并集，自然是可测的。所以根据包含关系和单调性，可以得到 1 \le \sum_{k=1}^{\infty}m(\mathcal{N}_k) \le 3 ，也就是 1 \le \sum_{k=1}^{\infty}m(\mathcal{N}) \le 3 （我们稍后再解释为啥）。这可能吗？显然是不可能的。因为这相当于是一个无穷的数与一个确定的数相乘，其范围在两个有限数之间。这样的例子是不存在的。就产生了矛盾。
这里提一下我们事先用过的一个结论
Property:Invariance Properties of Lebesgue Measure
(1) m(E+h)=m(E),h \in R^d
(2) m(\delta E)=\delta^dm(E),\delta>0
(3) m(-E)=m(E)
这叫做勒贝格测度的不变性。可以看出，很多空间变换都不影响测度。
其实为了铺垫好这个证明，书上也是多写了很多东西，不过我们下次再说啦。
小结
本节主要说的内容是勒贝格测度，难度依然是很大的。说难度很大的原因是考虑的对象是集合，是闭正方体等一系列的抽象的元素，且证明的方法多为构造法。但是学数学就是这样，除非完完全全的数学天才，否则都是需要积累大量的一个学科的例子和思想，才能够触类旁通哦。
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