【高中物理】浅谈光的折射定律

缘起

今天物理课上老师讲了波的性质这一节，然后我们可爱的物理老师为我们介绍了一个非常interesting的原理：惠更斯原理。一开始老师用它来解释了球面波与平面波的传播规律，我心想：就这？这不是显而易见的吗。但是之后就反转了，看到我们一脸不屑，可爱的物理老师就掏出了光的折射定律（虽然这个要等到下一章才学到……）说：“其实这个原理可以用来解释光的折射定律…”我（震惊脸）心想：这东西不是要求导才能证明的吗？？？可恶，被她装到了。

一、惠更斯原理解释光的折射定律

接下来，向大家介绍一下惠更斯原理。

惠更斯原理是指球形波面上的每一点（面源）都是一个次级球面波的子波源，子波的波速与频率等于初级波的波速和频率，此后每一时刻的子波波面的包络就是该时刻总的波动的波面。其核心思想是：介质中任一处的波动状态是由各处的波动决定的。（摘自百度百科）

用人话来说就是，波是由一个个小小的子波构成的，而这个子波是以球面波的形式传播的，其前进方向的包络面就是新的波面。

那么原理存在，实践开始。

现在有两束平行光从 JA 方向射入， AA_1 为分界面，上界面光速为 v_1 ，下界面光速为 v_2 (v_1>v_2)

假设在 t 时刻左边一束光恰好射到界面上的 A 点，此时右边一束光恰好到达 E 点， AE 为波面。

从此时刻起，设经过 \Delta t 时间，右边的光恰好到达 A_1 点， EA_1=\Delta t\cdot v_1 。而左边的光的轨迹我们不得而知，我们只知道光波的末位置是在以 A 为圆心， \Delta t\cdot v_2 为半径的圆上，不妨设为 F 。此时我们应该注意到很重要的一点，由于波线和波面是垂直的，因此波面 A_1F\bot 波线 AF 即 A_1F 是 \odot A 的切线，至此我们找到了 F 的位置。

接下来光的折射定律的推导也便顺理成章了。

由几何性质，注意到 \angle b=\angle b_1 ， \angle a=\angle a_1 又 \sin \angle a=\frac{A_1E}{AA_1}=\frac{\Delta t\cdot v_1}{AA_1} \sin \angle b=\frac{AF}{AA_1}=\frac{\Delta t\cdot v_2}{AA_1} ，从而 \frac{\sin \angle a}{\sin \angle b}=\frac{\Delta t\cdot v_1}{\Delta t\cdot v_2}=\frac{v_1}{v_2} 。

至此，我们通过惠斯通原理解释了光的折射定律。

二、柯西不等式证明光的折射定律

事情就这样结束了吗？并没有…

等到物理课下课，我心想，这毕竟只是一个用来解释现象的原理，而并不是不是严格的理论产物，较大程度上是凭朴素的直觉而得到的。为此，我想试着用更严谨的数学方法来推导光的折射定律。

不过我又想，求导的方法早就被人用过了，要不我换一种证法？想着便拿出了草稿纸…

在证明之前，我们不得不提一下大名鼎鼎的费马原理。

1662年，费马提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个原理称为费马原理，又名“最短光程原理”。严格说，称之为“最短时间原理”更合适，因为这里的 光程是指光走过需要的时间 ，而不是路程。

知道了光走的是用时最短的路径后，我们便可以开始证明了。

考虑一束从 C 点射入的光，经 x 轴折射后，射到 D 点。

已知 x 轴上界面光速为 v_1 ， x 轴下界面光速为 v_2 . (v_1>v_2) 入射角 \alpha ，折射角 \beta ，以及 C(a,b),D(c,d)

设 A(x,0) ，容易知道 x\in (a,c)

光程 f(x)=\frac{\sqrt{(x-a)^2+b^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(c-x)^2+d^2}}{v_2}

下面我们考虑用柯西不等式来解 f(x) 的一个极小值。

待定常数 \mu,\lambda 则有

\frac{\sqrt{(x-a)^2+b^2}\sqrt{\mu^2+1}}{v_1}\geq\frac{ (x-a)\mu+b}{v_1}

\frac{\sqrt{(c-x)^2+d^2}\sqrt{\lambda^2+1}}{v_2}\geq\frac{ (c-x)\lambda+d}{v_2}

取等条件是 \frac{x-a}{\mu}=b,\frac{c-x}{\lambda}=d

注意到 \tan \alpha=\frac{x-a}{b}=\mu,\tan \beta=\frac{c-x}{d}=\lambda(*)

并且我们希望经过两次放缩后， x 前的系数为0，即

\frac{\mu}{v_1\sqrt{\mu^2+1}}=\frac{\lambda}{v_2\sqrt{\lambda^2+1}}

将 (*) 代入上式中，化简即得 \frac{\sin \alpha}{\sin\beta}=\frac{v_1}{v_2} 这便是取等条件。

此时 f(x) 的极小值为 \frac{ a\tan\alpha+b}{v_1}+\frac{ c\tan \beta+d}{v_2}.

至此，我们成功地用数学工具严谨地证明了光的折射定律。

尾声

虽然我们可爱的物理老师肯定不知道我写了这篇文章，也不会表彰我对她上课内容的认真梳理。但是，大家看在我们可爱的物理老师的面子上，可以帮她点个小小的赞同嘛？（滑稽脸）

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