第一数学归纳法

假设我们要证明下面这个公式（）：

其中 n 为任意自然数。这是用于计算前 n 个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。

第一步是验证这个公式在 n = 1 时成立。我们有左边 = 1 ，而右边 = 1 ( 1 + 1 ) / 2 = 1 ，所以这个公式在 n = 1 时成立。第一步完成。

第二步

第二步我们需要证明如果 假设 n = m 时公式成立，那么可以 推导 出 n = m +1 时公式也成立。证明步骤如下。

我们先假设 n = m 时公式成立。即

（等式 1）

然后在等式等号两边分别加上 m + 1 得到

（等式 2）

这就是 n = m +1 时的等式。我们需要根据等式 1 证明等式 2 成立。通过因式分解合并，等式 2 的右手边

也就是说

这样便证明了从 P( m ) 成立可以推导出 P( m +1) 也成立。证明至此结束，结论：对于任意自然数 n ，P( n ) 均成立。