有限元分析：一文讲清冯米塞斯应力
结构强度仿真分析中常用冯.米塞斯应力来判断结构是否失效，冯.米塞斯应力到底是什么应力？计算公式是怎样的？为什么用冯.米塞斯应力作为失效判据？
如果你也有这些疑问，那么恭喜你，你可以从本文找到答案。
工程上常用的材料有两种强度失效形式：屈服和断裂。两种失效形式对应两种材料：塑性材料和脆性材料。塑性材料，比如不锈钢，多发生屈服失效，根据第四强度理论，使用冯.米塞斯应力(Von Mises Stress)作为失效判定指标；脆性材料，比如铸铁，多发生断裂失效，根据第一强度理论，使用最大拉应力作为失效判定指标。
1、冯.米塞斯应力的计算与使用方法
1.1 冯.米塞斯应力计算公式
塑性材料多发生屈服失效，一般采用冯.米塞斯应力作为失效判定指标，冯.米塞斯应力根据三个方向的主应力计算得到，计算公式如下：
\sigma=\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}]}
\sigma 为冯.米塞斯应力， \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} 分别为第一、第二和第三主应力。
结构仿真软件都可以输出冯.米塞斯应力，根据上面的公式可以看出，冯.米塞斯应力大于等于零，没有负值。
大部分结构仿真软件还会输出名为Signed Von Mises Stress，翻译成中文就是“带符号的冯.米塞斯应力”，其数值大小与冯.米塞斯应力相等，但会带正负号，符号与第一主应力相同，若第一主应力为拉应力，则Signed Von Mises Stress取正；若第一主应力为压应力，则Signed Von Mises Stress取负。
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1.2 如何根据冯.米塞斯应力判定结构失效与否？
仿真软件计算出了冯.米塞斯应力，那么冯.米塞斯应力多大的时候我们判定结构会失效呢？
对于不锈钢、铝合金以及常用工程塑料等材料，一般会通过单轴拉伸实验来测试材料的应力-应变曲线，从材料曲线上可得到屈服点应力 \sigma_{s} ，一般不会允许结构中应力达到屈服应力，会取一个大于1的安全系数，比如安全系数1.2，则零件中最大许用应力为 \frac{\sigma_{s}}{1.2} 。
若仿真结果中最大的冯.米塞斯应力达到最大许用应力 \frac{\sigma_{s}}{1.2} ，则认为结构失效。
2、第四强度理论及冯.米塞斯应力计算公式推导
2.1 第四强度理论
为什么要用由第一、第二以及第三主应力计算得来的米塞斯应力作为失效判定准则，而不用其它指标呢？
答案是第四强度理论——畸变能密度理论
大量实验发现，对于不锈钢等塑性材料，受拉力时，依次发生屈服、颈缩和断裂，一般认为进入屈服阶段就已经失效。到底是什么原因导致材料发生屈服呢？
1913-1924年，德国的Richard Edler von Mises和Heinrich Hencky提出畸变能密度是引起屈服的主要因素，即第四强度理论：无论什么应力状态，只要畸变能密度达到与材料性能有关的某一极限值，材料就会发生屈服。
2.2 冯.米塞斯应力计算公式推导
畸变能密度理论如何演变为依据冯.米塞斯应力来判定结构是否失效的呢？
单向拉伸或压缩时，线性变形阶段，应变能密度计算公式为： V_{\varepsilon} = \frac{1}{2}\sigma\varepsilon (1)
那么三向应力状态下，应变能密度计算公式为： V_{\varepsilon}=\frac{1}{2}\sigma_{1} \varepsilon_{1}+\frac{1}{2}\sigma_{2} \varepsilon_{2}+\frac{1}{2}\sigma_{3} \varepsilon_{3} (2)
根据广义胡克定律，三个方向应变计算公式为：
\varepsilon_{1} = \frac{1}{E}[\sigma_{1}-\mu(\sigma_{2}+\sigma_{3})]
(3)
\varepsilon_{2} = \frac{1}{E}[\sigma_{2}-\mu(\sigma_{1}+\sigma_{3})] (4)
\varepsilon_{3} = \frac{1}{E}[\sigma_{3}-\mu(\sigma_{1}+\sigma_{2})] (5)
将(3)(4)(5)式代入(2)式，得到详细的应变能计算公式
V_{\varepsilon}=\frac{1}{2E}[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}-2\mu(\sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}\sigma_{3}+\sigma_{3}\sigma_{1})] (6)
应变能可分为两部分：1)因体积变化而储存的应变能 V_{v} ；2）因形状变化而储存的应变能 V_{d} ，即畸变能。
因此应变能密度 V_{\varepsilon}=V_{v}+V_{d}
若在单元上以平均应力 \sigma_{m} = \frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}}{3} 代替三个主应力，施加到单元上，那么体应变仍然与原来相同，此时单元只有体积变化，没有形状变化，因此体应变能密度计算公式为：
V_{v} = \frac{1}{2}\sigma_{m}\varepsilon_{m}+\frac{1}{2}\sigma_{m}\varepsilon_{m}+\frac{1}{2}\sigma_{m}\varepsilon_{m}=\frac{3}{2}\sigma_{m}\varepsilon_{m} (7)
根据广义胡克定律： \varepsilon_{m} =\frac{\sigma_{m}}{E}-\mu(\frac{\sigma_{m}}{E}+\frac{\sigma_{m}}{E})=\frac{1-2\mu}{E}\sigma_{m} (8)，代入(7)式有
V_{v}=\frac{3(1-2\mu)}{2E}\sigma_{m}^{2}=\frac{1-2\mu}{6E}(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3})^{2} （9）
根据式(6)和式(9)，用总应变能减去因体积变化而储存的应变能，得到畸变能密度计算公式为：
V_{d} = \frac{1+\mu}{3E}(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}-\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{2}\sigma_{3}-\sigma_{3}\sigma_{1})=\frac{1+\mu}{6E}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}] (10)
拉伸实验为单向应力状态， \sigma_{2}=\sigma_{3}=0 ，屈服状态下，畸变能密度为 V_{d}=\frac{1+\mu}{6E}(2\sigma_{s}^{2}) （11）
任意应力状态下，畸变能密度为(10)式，由两式相等可推出屈服准则为：
\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}]}\leq\sigma_{s} (12)
式(12)左侧即为冯.米塞斯应力，右侧为屈服应力。
3、哪些情况下不能将冯.米塞斯应力作为塑性材料失效判定指标？
产品强度失效形式一般两个因素有关：材料类型，应力状态。
例如不锈钢，本身是塑性材料，大多数情况下都会因为产生屈服而失效，但根据冯.米塞斯应力计算公式(12)，若 \sigma_{1}=\sigma_{2}=\sigma_{3} ，即三个方向受相同大小的拉力或压力，冯.米塞斯应力始终等于零，显然不能用冯.米塞斯应力作为失效判据。这种情况下，不锈钢将会直接断裂，不会经历屈服、颈缩过程，需使用脆性材料失效准则来判定是否失效，建议使用第一强度理论进行判定。
不锈钢制成的螺钉受拉时，螺纹根部因应力集中而引起三向拉伸，会因为断裂而失效，不是因为屈服而失效，因此不能使用冯.米塞斯应力作为失效判定指标。
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