第六讲 布朗运动
一、布朗运动的基本概念
Part 1：布朗运动的定义
这里我们主要以课程需求为导向。布朗运动的数学模型是通过直线上的简单对称随机游动模型引入的，其正态性由中心极限定理所保证，具体内容可以参考教材。这里我们直接给出布朗运动的定义。
布朗运动也称为维纳过程，随机过程
\(\{X(t):t\geq0\}\)
称为布朗运动，如果满足以下条件：
\(X(0)=0\)
；
\(\{X(t):t\geq0\}\)
是独立增量过程；
对任意的
\(0\leq s<t\)
，有
\(X(t)-X(s)\sim N\left(0,\sigma^2(t-s)\right)\)
。
当
\(\sigma=1\)
时，将过程
\(\{X(t):t\geq0\}\)
称为标准布朗运动。对于任意的布朗运动，我们可以通过标准化变换
\(B(t)=X(t)/\sigma\)
，将其转化为标准布朗运动。
在这一讲的后续内容中我们都讨论标准布朗运动
，并将其记为
\(\{B(t):t\geq0\}\)
。
Part 2：布朗运动的数字特征
设
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是标准布朗运动，则有
\(B(t)\sim N(0,t)\)
。类似于泊松过程的数字特征，布朗运动的数字特征可以由正态分布的数字特征给出。
均值函数：
\(\mu_B(t)={\rm E}(B(t))=0\)
；
方差函数：
\(\sigma^2_B(t)={\rm Var}(B(t))=t\)
；
自协方差函数：
\(C_B(s,t)=\min\{s,t\}=s\wedge t\)
；
自相关函数：
\(r_B(s,t)=\min\{s,t\}=s\wedge t\)
。
由于布朗运动是一个零均值的随机过程，所以其自相关函数和自协方差函数相等。
我们在第一讲曾经介绍过正态过程的概念，利用正态过程我们可以给出一个
布朗运动的等价性定理
。
定理：设
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是一个样本轨道连续的随机过程，则
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是标准布朗运动当且仅当它是正态过程且
\(\mu_B(t)=0,\,r_B(s,t)=\min\{s,t\}\)
。
必要性：只需证
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是正态过程即可。对任意的
\(n\geq1\)
和
\(0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_n\)
，由独立增量性和正态性可知
\[B(t_1)-B(t_0),B(t_2)-B(t_1),\,\cdots,B(t_n)-B(t_{n-1})
\]
相互独立，且都服从正态分布。由于对任意的
\(1\leq k\leq n\)
都有
\(B(t_k)=\displaystyle\sum_{i=1}^k\left[B(t_i)-B(t_{i-1})\right]\)
，换句话说，
\(B(t_k)\)
可以表示为
\(B(t_1)-B(t_0),B(t_2)-B(t_1),\,\cdots,B(t_n)-B(t_{n-1})\)
的线性组合。
下面考虑
\(\{B(t):t\geq0\}\)
有限维分布。对于随机向量
\(\left(B(t_1),B(t_2),\cdots,B(t_n)\right)\)
来说，其分量的任意线性组合，一定也可以表示为
\(B(t_1)-B(t_0),B(t_2)-B(t_1),\,\cdots,B(t_n)-B(t_{n-1})\)
的线性组合，所以这个线性组合服从正态分布。根据正态分布的性质知，随机向量
\(\left(B(t_1),B(t_2),\cdots,B(t_n)\right)\)
服从联合正态分布，所以
\(\{B(t):t\geq0\}\)
任意有限维分布都是正态分布，即
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是正态过程。
充分性：首先由
\({\rm E}(B(0))=\mu_B(0)=0,\,{\rm Var}(B(0))=r_B(0,0)=0\)
可知
\(B(0)=0\)
。接下来考虑独立增量性，对任意的
\(s_1<t_1\leq s_2<t_2\)
，我们有
\[\begin{aligned}
{\rm E}\left[\left(B(t_1)-B(s_1)\right)\left(B(t_2)-B(s_2)\right)\right]&=r_B(t_1,t_2)-r_B(s_1,t_2)-r_B(t_1,s_2)+r_B(s_1,s_2) \\
&=t_1-s_1-t_1+s_1 \\
&=0 \ .
\end{aligned}
\]
即任意两个不重合时间段内的增量不相关，又因为
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是正态过程，所以任意两个不重合时间段内的增量独立，即
\(\{B(t):t\geq0\}\)
有独立增量性。
最后证明对任意的
\(0\leq s<t\)
有
\(B(t)-B(s)\sim N\left(0,t-s\right)\)
。由正态过程知有
\((B(s),B(t))\)
服从联合正态分布，所以其线性组合
\(B(t)-B(s)\)
服从正态分布。又因为
\[\begin{aligned}
{\rm E}(B(t)-B(s))&={\rm E}(B(t))-{\rm E}(B(s))=0 \ , \\ \\
{\rm Var}(B(t)-B(s))&={\rm Var}(B(t))+{\rm Var}(B(s))-2{\rm E}(B(s)B(t)) \\
&=t+s-2\times\min\{s,t\} \\
&=t-s \ .
\end{aligned}
\]
所以
\(B(t)-B(s)\sim N\left(0,t-s\right)\)
。
综上所述，
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是标准布朗运动。
Part 3：布朗运动的性质
为了区别于“与布朗运动相关的随机过程”，这里我们介绍的性质，指的是通过对标准布朗运动进行衍生变换，得到新的随机过程仍然是标准布朗运动的若干性质。设
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是标准布朗运动。
马尔可夫性
：对任意的
\(\tau>0\)
，
\(\{B(t+\tau)-B(\tau):t\geq0\}\)
也是标准布朗运动。
自相似性
：对任意常数
\(c\neq0\)
，
\(\left\{\dfrac1cB\left(c^2t\right):t\geq0\right\}\)
也是标准布朗运动。
\(0\)
与
\(\infty\)
对称性
：定义
\(\tilde{B}(t)=\left\{\begin{array}{ll}tB\left(\dfrac1t\right) \ , & t>0 \\ 0 \ , & t=0 \end{array}\right.\)
，则
\(\left\{\tilde{B}(t):t\geq0\right\}\)
也是标准布朗运动。
特别指出
\(0\)
与
\(\infty\)
对称性可以看做一个时间逆流的过程。
我们用等价性定理证明，显然上述的三个随机过程都是零均值的正态过程，可以由线性变换的方式证明，这里我们只需验证自相关函数满足条件。
(1) 对任意的
\(s,t\geq0\)
，有
\[\begin{aligned}
\ &{\rm E}[(B(s+\tau)-B(\tau))(B(t+\tau)-B(\tau))] \\
=\ &r_B(s+\tau,t+\tau)-r_B(s+\tau,\tau)-r_B(\tau,t+\tau)+r_B(\tau,\tau) \\
=\ &s\wedge t+\tau-\tau-\tau+\tau \\
=\ &s\wedge t \ .
\end{aligned}
\]
(2) 对任意的
\(s,t\geq0\)
，有
\[\begin{aligned}
{\rm E}\left[\left(\frac1cB\left(c^2t\right)\right)\left(\frac1cB\left(c^2s\right)\right)\right]&=\frac{1}{c^2}{\rm E}\left[B(c^2t)B(c^2s)\right] \\
&=\frac1{c^2}\cdot c^2(t\wedge s) \\
&=t\wedge s \ .
\end{aligned}
\]
(3) 对任意的
\(s,t\geq0\)
，有
\[\begin{aligned}
{\rm E}\left[\left(tB\left(\frac1t\right)\right)\left(sB\left(\frac1s\right)\right)\right]&=ts{\rm E}\left[B\left(\frac1t\right)B\left(\frac1s\right)\right] \\
&=ts\cdot\min\left\{\frac1t,\frac1s\right\} \\
&=\min\left\{\frac{ts}t,\frac{ts}s\right\} \\
&=t\wedge s \ .
\end{aligned}
\]
所以上述三个随机过程都是标准布朗运动。
二、与布朗运动相关的随机过程
Part 1：反射布朗运动
设
\(\{B_t:t\geq0\}\)
是标准布朗运动，令
\(X_t=|B_t|\)
，过程
\(\{X_t:t\geq0\}\)
称为反射布朗运动。
关于反射布朗运动，显然
\(X_t\)
是一个非负随机变量，所以我们首先要知道
它不是一个正态过程
。在这里我们主要讨论其均值函数、方差函数和一维概率分布，当然这需要一些简单的计算：
\[\begin{aligned}
&{\rm E}(X_t)={\rm E}|B_t|=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}{\rm d}x=2\int_0^{+\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}{\rm d}x=\sqrt{\frac{2t}{\pi}} \ . \\ \\
&{\rm E}(X_t^2)={\rm E}(B_t^2)={\rm Var}(B_t)=t \ . \\ \\
&{\rm Var}(X_t)={\rm E}(X_t^2)-\left[{\rm E}(X_t)\right]^2=\frac{\pi-2}{\pi}t \ .
\end{aligned}
\]
接着我们来计算
\(X_t\)
的分布函数，由
\(X_t\)
的非负性可知，当
\(x<0\)
时，
\(P(X_t<x)=0\)
。所以我们只需要考虑
\(x\geq0\)
的情况，给定
\(t>0\)
我们有
\[\begin{aligned}
P(X_t\leq x)&=P(|B_t|\leq x) =P(-x\leq B_t\leq x) =2P(B_t\leq x)-1\\ \\
&=2P\left(\frac{B_t}{\sqrt{t}}\leq\frac{x}{\sqrt{t}}\right)-1 =2\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)-1 \ .
\end{aligned}
\]
进一步我们可以计算得到
\(X_t\)
的密度函数为
\[f_{X_t}(x)=2\phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)\frac{1}{\sqrt{t}}=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}} \ , \quad x\geq0 \ .
\]
反射布朗运动我们在后面讨论最大值和首中时的分布时会被再次提及，需要注意区别。
Part 2：几何布朗运动
设
\(\{B_t:t\geq0\}\)
是标准布朗运动，给定
\(\alpha\in\mathbb{R}\)
为非零常数 ，定义
\[X_t=e^{\alpha B_t} \ , \quad t\geq0 \ ,
\]
称随机过程
\(\{X_t:t\geq0\}\)
为几何布朗运动。
同样由于
\(X_t\)
是一个非负随机变量，所以
几何布朗运动也不是一个正态过程
。它的数字特征为：
\[\begin{aligned}
&{\rm E}(X_t)={\rm E}\left(e^{\alpha B_t}\right)=\int_{-\infty}^\infty e^{\alpha x}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}{\rm d}x=e^{\frac{\alpha^2t}{2}} \ . \\ \\
&{\rm E}(X_t^2)={\rm E}\left(e^{2\alpha B_t}\right)=\int_{-\infty}^\infty e^{2\alpha x}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}{\rm d}x=e^{2\alpha^2t} \ . \\ \\
&{\rm Var}(X_t)= {\rm E}(X_t^2)-\left[{\rm E}(X_t)\right]^2=e^{2\alpha^2t}-e^{\alpha^2t} \ .
\end{aligned}
\]
下面我们考虑
\(X_t\)
的分布函数。注意到
\(\ln X_t=\alpha B_t\)
服从正态分布，所以
\(X_t\)
服从对数正态分布。由于
\(\alpha B_t\)
与
\(-\alpha B_t\)
同分布，所以我们只需要考虑
\(\alpha>0\)
的情况。当
\(x>0\)
时，我们有
\[\begin{aligned}
P(X_t\leq x)&=P\left(e^{\alpha B_t}\leq x\right) =P(\alpha B_t\leq\ln x) =P\left(B_t\leq\frac{\ln x}{\alpha}\right)=\Phi\left(\frac{\ln x}{\alpha\sqrt{t}}\right) \ .
\end{aligned}
\]
进一步我们可以计算得到
\(X_t\)
的密度函数为
\[f_{X_t}(x)=\phi\left(\frac{\ln x}{\alpha\sqrt{t}}\right)\frac{1}{\alpha\sqrt{t}x}=\frac{1}{\alpha\sqrt{2\pi t}x}e^{-\frac{(\ln x)^2}{2\alpha^2t}} \ , \quad x\geq0 \ .
\]
几何布朗运动常常应用于金融市场的研究，可以用来拟合股票的价格走势。
Part 3：布朗桥过程
设
\(\{B_t:t\geq0\}\)
是标准布朗运动，令
\(X_t=B_t-tB_1\)
，过程
\(\{X_t:0\leq t\leq1\}\)
称为布朗桥过程。
关于布朗桥运动，我们主要关注其数字特征和等价定义。
均值函数：
\({\rm E}(X_t)=0\)
。
方差函数：
\({\rm Var}(X_t)=t(1-t)\)
。
自协方差函数：对任意的
\(0\leq s\leq t\leq1\)
，有
\[\begin{aligned}
{\rm E}(X_sX_t)&={\rm E}\left[(B_s-sB_1)(B_t-tB_1)\right] \\
&={\rm E}(B_sB_t)-s{\rm E}(B_1B_t)-t{\rm E}(B_sB_1)+st{\rm E}(B_1^2) \\
&=s-st-st+st \\
&=s(1-t) \ , \quad 0\leq s\leq t\leq1 \ .
\end{aligned}
\]
由布朗桥过程的定义可知
\(X_0=0,\,X_1=0\)
，这是在随机过程起点和终点状态给定的条件下，讨论其中间过程的一类问题。可以证明布朗桥过程是一个正态过程，通过均值函数和方差函数可以确定
\(X_t\)
的概率分布为：
\(X_t\sim N(0,t(1-t))\)
。
布朗桥过程的等价定义：对于标准布朗运动
\(\{B_t:t\geq0\}\)
，有条件随机过程
\(\{B_t:0\leq t\leq1|B_1=0\}\)
是一个布朗桥过程。
证明这两个随机过程等价，只需证
\(X_t\xlongequal{d}(B_t|B_1=0)\)
。这里我们需要计算在
\(B_1=0\)
的条件下
\(B_t\)
的条件分布函数，注意这里
\(0\leq t\leq1\)
，于是
\[\begin{aligned}
P\left(B_t\leq x|B_1=0\right)&=P(t\tilde{B}_{1/t}\leq x|\tilde{B}_1=0)=P\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\leq\frac{x}{t}\right) =P\left(t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\leq x\right) \ . \\
\end{aligned}
\]
所以
\((B_t|B_1=0)\xlongequal{d}t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\)
。
由于
\(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\sim N\left(0,\dfrac{1-t}{t}\right)\)
，所以
\(t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\sim N(0,t(1-t))\)
，即
\(X_t\xlongequal{d}t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\)
。
所以
\((B_t|B_1=0)\xlongequal{d}t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\xlongequal{d} X_t\)
，即
\(\{B_t:0\leq t\leq1|B_1=0\}\)
是一个布朗桥过程。
三、最大值与首中时的分布
Part 1：首中时的分布
设
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是标准布朗运动，常数
\(a\neq0\)
，令
\(T_a=\inf\{t>0:B(t)=a\}\)
，表示布朗运动首次击中
\(a\)
的时刻，称为
\(a\)
的首中时。
定理：对于
\(t>0\)
，有
\(T_a\)
的分布函数和密度函数
\[\begin{aligned}
&F_{T_a}(t)=2\left(1-\Phi\left(\frac{|a|}{\sqrt{t}}\right)\right) \ , \quad f_{T_a}=\frac{|a|}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{a^2}{2t}} \ , \quad t>0 \ .
\end{aligned}
下面我们来求
\(T_a\)
的分布函数和密度函数，由于布朗运动具有对称性，所以我们只考虑
\(a>0\)
的情况。对于
\(t>0\)
，由全概率公式知
\[P(B(t)\geq a)=P(B(t)\geq a|T_a\leq t)P(T_a\leq t)+P(B(t)\geq a|T_a>t)P(T_a>t) \ .
\]
注意到在
\(T_a>t\)
的条件下，说明在
\(t\)
时刻之前不曾击中
\(a\)
，所以
\(P(B(t)\geq a|T_a>t)=0\)
。另一方面在
\(T_a\leq t\)
的条件下，说明在
\(t\)
时刻之前曾出现过
\(B(T_a)=a\)
，此时由于布朗运动的对称性以及样本曲线的连续性，所以事件
\(\{B(t)\geq a\}\)
和
\(\{B(t)<a\}\)
发生的概率相等，即
\[P(B(t)\geq a|T_a\leq t)=P(B(t)< a|T_a\leq t)=\frac12 \ .
\]
将以上结果代入全概率公式可得
\(P(T_a\leq t)=2P(B(t)\geq a)\)
，所以有
\(T_a\)
的分布函数
\[F_{T_a}(t)=P(T_a\leq t)=2P(B(t)\geq a)=2\left(1-\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)\right) \ , \quad t\geq0 \ .
\]
对
\(t\)
求导可得
\(T_a\)
的密度函数
\[f_{T_a}(t)=2\phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)\cdot \frac{a}{2\sqrt{t^3}}=\frac{a}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{a^2}{2t}} \ , \quad t>0 \ .
关于布朗运动的首中时还有两个重要的结论。
定理：给定
\(a\in\mathbb{R}\)
，则有
\[P(T_a<\infty)=1 \ , \quad {\rm E}(T_a)=\infty \ .
仍然不妨设
\(a>0\)
，证明这个结论只需要计算即可
\[\begin{aligned}
&P(T_a<\infty)=\lim_{t\to\infty}P(T_a<t)=\lim_{t\to\infty}2\left(1-\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)\right)=1 \ . \\ \\
&{\rm E}(T_a)=\int_0^\infty t\frac{1}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{a^2}{2t}}{\rm d}t=\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{a^2}{2t}}{\rm d}t=\infty \ .
\end{aligned}
上述结论可以解释为：无论
\(|a|\)
多大，从
\(0\)
点出发的布朗运动总会在有限时间内到达；另一方面，无论
\(|a|\)
多么接近
\(0\)
，该布朗运动到达
\(a\)
所需要的平均时间都是
\(\infty\)
。
Part 2：最大值的分布
设
\(\{B(t):t\geq0\}\)
是标准布朗运动，令
\(M_t=\max\{B(s):0\leq s\leq t\}\)
，表示布朗运动在
\([0,t]\)
的时间段内所达到的最大值。
定理：给定
\(t>0\)
，有
\(M_t\xlongequal{d}|B(t)|\)
。
由
\(M_t\)
的定义知其样本曲线从
\(0\)
出发且单调不减，故
\(M_t\)
是一个非负随机变量。对任意的
\(x\geq0\)
，这里我们先计算
\(P(M_t>x)\)
。
考虑这样一个等价事件：
\[M_t \geq x \quad \iff \quad T_x \leq t \ .
\]
其解释为：如果布朗运动在
\([0,t]\)
的时间段内所达到的最大值大于
\(x\)
，由于布朗运动具有连续的样本曲线，所以至少存在某个时刻
\(0<s<t\)
，使得
\(B(s)=x\)
，所以
\(T_x<t\)
。反之，如果布朗运动在
\(t\)
时刻之前便首次击中
\(x\)
，那么到
\(t\)
时刻为止，布朗运动所达到的最大值一定不小于
\(x\)
，即
\(M_t\geq x\)
。
由于
\(M_t\)
和
\(T_x\)
都是连续型随机变量，所以是否保留等号不影响结果，故
\[P(M_t>x)=P(T_x<t)=2P(B(t)>x)=2\left(1-\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)\right) \ , \quad x>0 \ .
\]
所以
\(M_t\)
的分布函数为
\[P(M_t\leq x)=1-P(M_t>x)=2P(B(t)\leq x)-1=2\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)-1 \ , \quad x>0 \ .
\]
通过分布函数就可以说明
\(M_t\xlongequal{d}|B(t)|\)
成立。
需要强调一点，这里的同分布指的是给定
\(t>0\)
之后的随机变量
\(M_t\)
和随机变量
\(|B(t)|\)
是同分布的，并非随机过程
\(\{M_t:t\geq0\}\)
和随机过程
\(\{|B(t)|:t\geq0\}\)
是同分布的随机过程。显然
\(\{M_t:t\geq0\}\)
是单调不减的随机过程，与
\(\{|B(t)|:t\geq0\}\)
并不是一回事。事实上，两者只是一维分布相同，而其他的有限维分布是不同的。
