学习本课程的意义：

1. 现代物理学（原子分子与光物理-AMO、凝聚态与软凝聚态物理、核物理-粒子物理-场论-高能物理学、等离子体物理等）几乎都与量子力学有着十分密切的关系，从诺奖（物理、化学）设立至今，绝大部分获奖者工作都与量子有关。

2. 现代科学，如，量子化学、量子生物 ( 医 ) 学、量子宇宙学、材料科学、能源科学等，特别是在精细科学，如：精确频标（包括美 国 GPS 全球定位系统、欧洲 GALILEO 计划、俄罗斯 GLONASS 计划、中国 “ 北斗 ” 计划 ） 及其在“ 精准公路、铁路、民航、海事”、“精准农业 ” 等民用，以及精确打击、多兵种协同作战指挥系统等国防应用方面，量子力学都起着举足轻重的作用。

3. 现代信息科技，量子信息科学与技术 (量子计算-量子通信-量子密码 - 量子信息论、量子精密测量 - 量子信息感知与获取等 ) 将占据越来越重要甚至是核心的地位。

4. 世界许多著名高校，不仅在物理系，而且在 EE, ME, Chemistry , Optics 等院系中均开设了量子力学课程，也越来越重视学生是否有 过学习量子力学以及成绩如何的背景。因此，是否学习过这门课程以及成绩如何，对于学生今后在联系出国留学时也将越来越重要。

5. 希望及其他： 坚持预习、听课、复习、完成作业、大作业，认真学懂、学会、学透量子力学的基本概念、基本知识、基本计算技能，在此基础上，对过去学过的力学、光学、原子物理学等知识进行更深入的再认识。学完本课程后，希望大家能够熟悉量子力学的发展历程、掌握基本的概念及计算方法、初步了解量子力学最新的研究方向。只要大家能够全程做到——认真预习、听课、复习、认真完成作业和大作业，我相信，大家一定能够取得满意的成绩。

对于勤奋、认真学习、成绩优良的同学，如在申请国内外学校 / 单位时需要，我愿意签推荐信。我会重点推荐向下述专业的导师进行推荐：量子信息- 量子光学 - 激光与光电子学 - 半导体物理、纳光子 - 纳电子学、等离子体物理等。

欢迎有志于量子信息科学与技术的同学加入北京大学量子信息技术研究团队。

课程教材及参考书目：

1. 课程讲义：郭弘，《量子力学讲义 （ 本科生 ）》 （ P D F 版 ） ；郭弘，《量子力学课件 （ 本科生） P P T 》 （ P D F 版 ）。

2. 曾谨言著，《量子力学导论》 ( 第二版) ，北京大学出版社，1998 年。

3. D.J.Griffiths and D. F. Schroeter, introduction to Quantum Mechanics, (3rd ed.) (Cambridge University Press, 2018).

4. C.Cohen-Tannoudji, B.Diu and F. Lalo ë , Quantum Mechanics (Vol. one and two) (Wiley, 1977).

5. 重要网址：知乎/ 维基、B 站/ 油管，等。

课程大纲：

第一章、 量子力学发展历史

1. 十九世纪末物理学 / 数学发展状态：

经典力学发展状态（理论和应用） - 经典电动力学发展状态（理论和应用） - 热力学 / 统计力学发展 状态 （理论和应用 ） - 光谱学发展状态 （ 大量数据及形成的经验公式 ） ；

数学发展状态 - 数学分析（含，复变函数和解析函数论、泛函分析、矢量张量分析） - 代数学（含， 线性代数以及群论等抽象代数学、李群与李代数）

2. 物理实验中的问题和“ 量子” 概念 - 旧量子论的提出：

光谱学中的谱线分裂现象；黑体辐射实验数据与理论无法符合问题— Planck “ 量子” 概念的提出 - E i n s t e i n 光电效应的“ 量子”解释 - Bohr 原子能级的“ 分立化”，即“量子”解释 - Boh r- So m m erfe l d 旧量子论的提出

3. 量子力学方程的提出和量子力学理论体系的建立：

Heisenberg 方程的提出 -Schrödinger 方程的提出 -Heisenberg 不确定性原理的提出 -Pauli 方程的提出

-Dirac-von Neumann 量子力学公理化体系的构建 - 相对论量子力学的建立 （ Klein-Gordon-Fock 方程的提出 -Dirac 方程的提出 ）

4. 量子力学理论的发展、应用和争论：

量子电动力学和量子场论的建立和发展 - 原子分子与光物理学 - 凝聚态物理学 - 原子核物理学 - 粒子 物理与高能物理学 -… ；量子电子学（ 核磁共振、微波激射器、激光 ） - 微电子与纳电子学 - 超导电子学 - 量子光学 - 量子光子学 - 量子信息 （量子计算、量子通信、量子密钥 ） - 量子精密测量科学 -… ； 量子力学的争论 -EPR 和 Bohr 的争论 -Bohm 隐变量理论 -Bell 不等式 - 多世界理论 -…

第二章、 量子力学基本概念

1. 经典力学回顾：

Newton 力学 - 质点 - 质点系 -Newton 方程；刚体力学 -Euler 方程 - 进动 - 章动 - 自转；

Lagrange 力学 - 位形空间 - 广义位置 - 广义速度 -Lagrange 量 -Hamilton 原理 （ 最小作用量原理 ） 及 Euler- Lagrange 方程； Hamilton 力学 -Legendre 变换 - 正则动量 - 相空间 - 正则坐标 （ 正则位置 - 正则动量 ） - Hamilton 原理 - 正则运动方程 - 正则变换 -Poisson 括号 -Hamilton-Jacobi 方程

2. 经典电动力学回顾：

Helmholtz 矢量分解定理； Gauss 单位制；四大实验定律 - 电荷守恒定律 - 位移电流 -Maxwell 方程；

Maxwell 方程的性质 - 守恒性 （ 电磁场 - 带电粒子系统的四大守恒 -- 电荷、能量、动量、角动量守恒 ）

- 规范不变性（常用规范） -Lorentz 协变性；

电磁场的多级展开 - 标势展开 - 电偶极 - 电四极 - 矢势展开 - 磁偶极 - 多极矩与外电磁场的相互作用；电磁场中带电粒子的 Lagrange 量与 Hamilton 量

3. 量子力学数学基础：

Euclidean 空间 - 基本运算 （ 矢量加法、数乘、点乘、叉乘、并矢 ） - 矩阵表示 （ 行矩阵、列矩阵、方阵 ） 及其运算 （ 行列式、秩、迹、逆、转置） - 正交归一完备基矢 - 坐标变换；矢量分析 -Einstein 求和约定 -Kronecker 张量 -Levi-Civita 张量及其重要性质 - 矢量代数与矢量微积分公式；

Hilbert 空间 -Dirac 符号 - 态矢量及对偶矢量基本运算 （ 矢量加法、数乘、内积；外积、直和、张量积 ） - 算符基本运算 （ 加法、乘法、伴随 -Hermite 共轭、对易子 - 反对易子 ） - 正交归一完备基矢 （直 和空间及其维度 ） - 表象变换；算符性质 （ Hermite 算符、幺正算符、对合算符、幂等算符 ）

4. 量子力学公理化体系：

量子力学的 5 条基本假设 （ 态假设 - 算符假设 - 测量假设 - 动力学假设 - 全同粒子假设 / 对称化假设 ） ； 本征值 （ 测量值 ） / 期望值 （ 平均值 ） / 均方差 （ 均方根 ）的关系讨论 - 态矢量的归一化说明 - 简并情 况说明 - 连续谱说明；位置 - 动量基本对易关系；正则坐标强调（ 位置 - 动量 ）

5. 量子力学主要力学量算符：

位置 - 动量 - 角动量 （ 轨道角动量、自旋角动量、总角动量 ） 、能量 -Hamilton 量； Heisenberg 不确定 性原理及广义不确定性原理的内容和意义 （ 以位置 - 动量为例说明 ） ；时间不是力学量 （ 时间 - 能量 不确定性原理的意义 ） ；相容力学量简介 - 相容力学量定理 - 对易力学量完全集 （ C S C O ） 、简并度和 好量子数

第三章、 力学量算符与本征值问题

1. 位置和动量：

本征值问题 （ 位置算符本征值方程 -Dirac- δ 函数、动量算符本征值方程 ）；

表象 （ 位置表象下位置算符和动量算符的表达式、动量表象下位置算符和动量算符的表达式、位置 表象和动量表象下同一态矢量对应波函数之间的 Fourier 变换关系 ）

2. 轨道角动量：

定义 - 对易关系 （ 各分量之间、各分量与位置 - 动量之间、各分量与总角动量平方 ） - 本征值问题 （本 征值 / 本征态） - 升降算符（定义 - 对易关系） - 位置表象下的本征波函数（ 球坐标系下角动量算符的 表达式 - 对比经典力学中角动量在球坐标系下的表达式、球谐函数 - 缔合 Legendre 函数与 e im φ 的乘积）

3. 自旋角动量：

定义 （基于对易关系 ） - 本征值问题 （ 本征值 / 本征态 ） ；

Pauli 算符 （ 矩阵 ） - 对易关系与反对易关系 -Pauli 矩阵的表达式 -Pauli 算符的三性合一 （ Hermite 性、 幺正性、对合性 ） -Bloch 球（ 量子力学中三性合一算符： Pauli 算符、宇称算符、交换算符 ）

4. 角动量耦合问题：

双自旋系统的本征值问题 - 双自旋的张量积态基矢 - 双自旋系统态矢在张量积基矢下的展开 - 自旋单态与自旋三重态（张量积态与量子纠缠态） - 角动量耦合问题一般性方法 - 耦合表象与非耦合表象 - Clebsch-Gordan 系数（ C-G 系数）

5. 角动量本征值问题的代数解法：

升降算符 - 对易关系（角动量算符、升降算符、 Casmir 算符） - 本征值 / 本征态的代数解法 - 升降算符对角动量本征态的作用 - 角量子数与磁量子数的取值范围 - 角动量各分量 /Casmir 算符 / 升降算符的矩阵表示

6. 广义不确定性原理：

内容说明（力学量的本征值 - 测量值、测量值的几率、期望值 - 平均值、均方差 - 均方根） - 严格证明（ Cauchy-Schwarz 不等式） - 物理分析（位置 - 动量不确定性关系、角动量 - 角动量不确定性关系） - 时间 - 能量不确定性关系的解释

7. 力学量的守恒：

Ehrenfest 定理 （ 从 Schrödinger 方程推出 Ehrenfest 定理 - 量子力学中的守恒量 - 与经典力学守恒量比较）及其意义（ 势函数的幂级数展开、不大于 2 的幂级数展开项分析、 Virial 定理、量子力学退化为经典力学的条件 ）

8. 对称性变换与守恒量：

量子力学中的对称性变换 （ 保内积变换 - 幺正算符 ） - 无穷小幺正变换 （ 线性表示 -Hermite 算符 ） - 变 换不变性与守恒量的关系 （ 连续型对称性变换：时间平移不变—— 时间平移算符——能量守恒、空 间平移不变—— 空间平移算符——动量守恒、空间旋转不变——空间旋转算符——角能量守恒；分 立型对称性变换：空间反演不变—— 空间反演算符——宇称守恒）

第四章、 定态 Schrödinger 方程

1. Schrödinger 方程：

一般性质 （几率守恒流方程 - 连续性方程，对比 - 不可压缩流体力学方程 ） ；定态 （ 定态成立的条件、 定态是否一切不变、全局相因子不改变物理实质、相干叠加引起的量子干涉 - 量子相干 ） - 定态情况 下的有关性质 （ 力学量平均值不随时间变化；力学量测量值几率不随时间变化 ） - 定态情况下力学量各性质与守恒力学量的比较

2. 一维能量本征值基本问题：

无限深势阱 （ 已知势函数求能量本征值 / 本征态问题，束缚态 - 分立谱 - 精确解 - 奇偶性分析 - 推广到三 维势阱问题 - 氢原子中的 Coulomb 势，即 1/r 势阱 ） ；势垒问题 （ 已知入射能量和势函数，求能量本 征波函数问题，非束缚态 - 连续谱 - 数值解 - 隧穿效应 - 推广到三维势垒问题，如， δ - 势垒 - 散射问题 ）； 奇偶性、简并性的一般性分析

3. 一维线性谐振子问题：

Hamilton 量及位置 - 动量的无量纲化 - 产生 / 湮灭算符 （ 升降算符 ） - 粒子数算符 （ 各种对易关系 ） - 粒 子数态 （ 粒子数算符的本征态 ） - 真空粒子数态 （最小不确定性态 ） - 波函数 （ Hermite-Gauss 函数 ）

-Bohr-Sommerfeld 旧量子论在相空间中的分析 - 湮灭算符本征态（相干态） / 产生算符本征态（无）

- 谐振子方法的推广应用（二次量子化、场量子化）

4. 中心力场问题：

两体问题一般模型 （ 质心系坐标，满足正则变换条件的坐标变换 - 约化质量 ） - 中心力场定义 （ 常见 中心力场，即，辏力场，的例子：平方反比律中心力场 - 万有引力和 Coulomb 势情况下的 Kepler 问 题，即星间问题和氢原子问题、二次型中心力场 - 三维球方势阱谐振子） - 角动量守恒（经典力学 - Newton 力学 / 分析力学、量子力学分析 ） - 氢原子 （ 径向波函数、角向波函数 - 球谐函数 ） - 双原子分子（ 振动 - 转动 - 电子能级 ）

5. 中心势散射问题：

守恒流分析 - 球坐标系 - 散射截面 / 微分散射截面 / 散射振幅 - 渐进行为分析 - 平面波的球谐函数展开 - 分波法（ s 分波）

6. 定态微扰论方法：

非微扰 Hamilton 量本征值非简并情况 - 微扰论公式推导 - 举例（ 线性谐振子 + 外电场微扰 - 电极化过 程分析 ） ；非微扰 H a m ilt o n 量本征值简并情况 - 微扰论公式推导 - S t ar k 效应 （ 氢原子 + 外电场微扰 - 简并消除效应 ）

7. 变分法： Rayleigh-Ritz 变分法原理 -Ritz 变分法 - 氦原子

第五章、  电磁场中的带电粒子

1. 一般性讨论：

电磁场中带电粒子系统的 Hamilton 量（非相对论性，正则动量与运动动量） - 守恒流方程 - 规范不变性（ Coulomb 规范下动量算符与矢势对易） - 无静电场情况下空间均匀分布磁场的讨论

2. Pauli 方程： Dirac 方程在弱相对论近似下退化为 Pauli 方程 - 弱相对论近似下的 Hamilton 量 - 两种磁矩（轨道磁矩、内禀磁矩）

3. Landé 因子： 轨道磁矩 - 内禀磁矩对应的 Landé 因子 -Landé 因子的一般求法 - 原子磁矩与外磁场相互作用（力学量完全集 CSCO- 好量子数 - 简并度）分析

4. Zeeman 效应： 正常 Zeeman 效应（强磁场，不考虑 L-S 耦合，非相对论性量子力学 / 经典力学均可解释） - 反常

Zeeman 效应（弱磁场，考虑 L-S 耦合，相对论性量子力学解释） - 非线性 Zeeman 效应

5. 氢原子： 利用相对论性量子力学方程分析氢原子问题； L-S 耦合与精细结构； J-I 耦合与超精细结构