交换代数导引

今天我们来简要的聊聊交换代数 , 并推荐一本经典著作 Atiyah 和 MacDonald 的 《Introduction to Commutative Algebra》 .

交换代数从本质上来讲是对交换环的研究 , 它从来源于以下两个方面——代数几何和代数数论 . 在代数几何中所研究的环是域 K 上多变量的多项式环 k[x_1,x_2,\cdots,x_n] , 而在代数数论中则是有理整环 \mathbb{Z} . 在上面两种情形中 , 代数几何的内容更为深远 , 经过 Grothendieck 的发展的现代代数几何中却包含了许多代数数论的结果 . 事实上 , 在现代数学的体系中 , 交换代数已经成为现代代数几何的基石之一 , 正如微分学中的分析给微分几何提供工具一样 , 交换代数为代数几何提供了完整的局部化工具 .

交换代数的核心概念是素理想 , 这是算术中的素数和几何中的点的概念的推广 , 而重点在于“接近一个点”这一几何概念 , 其代数类比则是环相对于一个素理想局部化的过程 , 故用几何语言对局部化的结果加以讨论是十分自然的 , 如 Grothendieck 提出的概形理论中已经系统地做到了这一点 , 用概形的语言的好处在于可以增强几何直观 , 很好地阐明了交换代数与代数几何的关系 .

第一章的内容是环和理想 .

首先介绍的是环的定义和基本性质 , 然后讨论素理想和极大理想 , 紧接着就是在理想上进行一些初等运算 , 最后会引进 Grothendieck 概形的语言 .

第二章的内容是模 .

交换代数中除了理想的作用外 , 更重要的模的作用 , 如环 A 的理想 \mathfrak{a} 和它的商环 A/\mathfrak{a} 都是 A 上的模 , 故一定程度上可以将环和模等同起来 . 于是需要给出模的定义并讨论其性质 , 额外还会讨论张量积和它们在正合列中的一些结果 .

第三章的内容是分式环和分式模 .

事实上分式环的构造以及其局部化的方法是交换代数中最重要的工具 , 它们相当于代数几何中把讨论的重心放在一个开子集上或某一点附近 . 这里我们重点讨论分式环的定义和性质 .

第四章的内容是准素分解 .

把一个理想分解为准素理想是为把代数簇分解为不可约代数簇的分支提供代数基础 , 但代数描述要复杂得多 . 另一方面 , 准素分解是把整数分解为素数幂乘积的一种推广 , 在现代数学的方法处理上我们强调局部化 , 尽管准素分解不再是中心工具 , 但就内容本身而言仍然十分有趣 , 在这里我们需要建立经典的唯一性定理 .

第五章的内容是整相关性和赋值 .

在经典代数几何中 , 我们需要把曲线投影到直线上和把它们看作一个分歧覆盖的方法来研究曲线 , 这与数域和有理域之间的关系是非常类似的 , 更精确一点的说法则是它们的整数环之间的关系 , 它们共同的代数特点是整相关性 , 我们会在这里证明一些整相关的结果 , 特别是关于素理想在整扩张中的 Cohen-Seidenberg 定理 , 包括上升定理和下降定理 , 然后我们还会讨论代数几何中的情形 , 尤其是正规化引理 , 最后还会讨论一下赋值 .

第六章的内容是链条件 .

之前讨论的对象都是具有单位元的任意交换环 , 但为了进一步研究和得到一些更深刻的结果 , 就需要加上一些限制性的条件——链条件 , 它适用于环和模 . 如果考虑模的情形 , 和环的许多情形是类似的 , 同样升链和降链之间存在对称性 . 但有些环的情形下对称性消失了 .

第七章和第八章的内容分别是 Noether 环和 Artin 环 .

在交换代数中 Noether 是比较重要的一类环 , Noether 环经过各种常见的运算后仍得到 Noether 环 , 同时我们将证明著名的 Hilbert 基定理 , 然后由 Noether 条件出发再进行一些重要的推导 , 包括准素分解的存在性 . 而 Artin 环从表面上看似乎和 Noether 环是对称的 , 事实上却是 Artin 环一定是特殊类型的 Noether 环 , 在某种意义上 , Artin 环是域之后一种最简单的环 , 我们讨论 Artin 环的原因不是它具有一般性而是它的简单性 .

第九章的内容离散赋值环和 Dedekind 整环 .

Dedeking 整环是代数数论中的情形 , 我们从一般的准素分解定理推出 Dedeking 整环中理想的唯一分解定理 , 这样的过程可以让我们更深刻地领悟到代数数论在交换代数中的地位 . 另一方面 , Dedeking 整环是与非奇异代数曲线相联系而产生 . 事实上 Dedeking 条件的几何描述是维数为 1 和非奇异 .

第十章的内容是完备化 .

在古典代数几何中可以使用超越方法 , 这就意味着可以将一个有理函数看作一个多复变量的解析函数并研究它在某一点上的幂级数展开 . 然而在现代几何中只能考虑相应形式幂级数 , 用形式幂级数来代替多项式的过程就是完备化的一个例子 . 另一个完备化的例子出现在代数数论中 p 进数的构成 , 即设 p 为 \mathbb{Z} 中一素数 , 考虑不同的商环 \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} , 事实上我们可以对充分大的 n 去试解 \text{mod}~p^n 的同余式 , 这种方法类似于 Taylor 展开各项所给出的逐次逼近法 . 就像引入幂级数一样 , 引入 p 进数也是十分自然的 , 它们可以作为 \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} 在 n \to \infty 时的极限 . 但从另一个方面来说 , p 进数比形式幂级数更复杂 , 原因是 n 次多项式可以自然地被嵌入形式幂级数而 \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} 却不能被嵌入 \mathbb{Z} , 尽管 p 进数能类比于形式幂级数 \sum a_np^n , 其中 0 \leq a_n < p , 可是这样的表达式在环的运算下所表现出来的性质不够良好 .

这一章中我们还将描述用一般的理想代替素数 p 时的 adic 完备化的一般过程 , 那么用拓扑的语言则是最方便的 , 这里的拓扑是指考虑形式幂级数的拓扑 , 在这一拓扑下 , 一个幂级数的“小”意味着它仅包含高阶项 , 或者考虑 \mathbb{Z} 上的 p-adic 拓扑 , 同样这里的一个整数的“小”意味着它能被 p 的高次幂所整除 . 完备化就像局部化一样 , 也是重点关注于一个点或一个素数的近旁 , 但完备化比局部化的作用更强 , 如在代数几何中 , 一个 n 维代数簇上的非奇异点的局部化总以 n 个变量的形式幂级数环作为完备化 , 同时两个非奇异点的局部环不能彼此同构 , 除非它们所在的代数簇是双有理等价的 , 即两个局部环的分式域是同构的 . 局部化的两个重要性质是它保持正合性和 Noether 性质 , 当讨论对象是有限生成模时 , 同样的性质对完备化也是成立的 .

本章我们还会讨论另一个重要的结果—— Krull 定理 , 该定理能给出环中经过完备化所零化的部分 , 其实 Krull 定理是解析函数由 Taylor 展开的系数所决定这一结果的类比 , 而这个类比对 Noether 局部环是最清晰的并断言 \bigcap \mathfrak{m}^n=0 , 其中 \mathfrak{m} 是极大理想 . Krull 定理和完备化的正合性都可以作为 Artin-Ress 引理的推论 .

最后我们为了研究完备化引入分次环是十分必要的 . 分次环的原型是多项式环 k[x_1,x_2,\cdots,x_n] , 其中的次数则是通过取每个变量次数为 1 而得到的那个平常的次数 . 由于不分次环是仿射代数几何的基础 , 故分次环是射影代数几何的基础 , 于是这两者都具有值得研究的几何重要性 . 我们还会讨论相对于环 A 中理想 \mathfrak{a} 的相伴分次环 G_{\mathfrak{a}}(A) 的构造 , 它有明确的的几何解释 , 如 A 是代数簇 V 上一点 P 的局部环 , \mathfrak{a} 是 A 的极大理想 , 则 G_{\mathfrak{a}}(A) 对应于点 P 的射影切锥面——所有过 P 点且在 P 点与 V 相切的线 , 这就很好的说明在讨论关于点 P 附近 V 的性质 , 尤其是在研究完备化 \hat{A} 时 G_{\mathfrak{a}}(A) 的意义 .

第十一章的内容是维数理论 .

代数簇的维数是代数几何中的一个基本概念 , 本质上讲是一个局部概念 . 本章我们给出对于一般 Noether 局部环的维数理论 , 主要定理给出了维数的三个不同定义的等价性 , 其中两个定义有明显的几何内容 , 而包含 Hilbert 函数的第三个定义是比较形式的 , 但它在技术上比较方便 , 引进它以后整个理论就变得十分精简 . 讨论过维数后我们将叙述正则局部环 , 它与代数几何中的非奇异相对应 , 同时可以确定正则性的三个定义的等价性 , 最后我们会给出 , 对于域上的代数簇 , 定义的局部维数与函数域的超越次数一致的 .

参考文献：

M. F. Atiyah & I . G . Macdonald . Introduction to Commutative Algebra .