商空间- 香蕉空间

1 定义

定义 1.1 (商空间) . 设为拓扑空间 , 为上等价关系 . 考虑商集 , 并记

•	子集 $为开集, 当且仅当是中开集.$

这使得成为拓扑空间, 称为的 商空间 . 映射称为 商映射 .

这里, 商拓扑也可以描述为使映射连续的最细 (即开集最多) 的拓扑.

以下一类商空间尤其常用.

定义 1.2 (关于子空间的商) . 设是拓扑空间 , $是子空间 . 定义上等价关系如下:$

•

对

则商空间 $通常记为, 称为关于的商空间 .$

直观地看, 就是在中将缩成一个点, 而得到的空间.

•	对 $, 考虑维圆盘及其边界$

•	粘连空间. 设 $是拓扑空间, 及为子空间, 并有同胚$

以下是商映射的等价刻画.

•	存在上等价关系 , 及同胚 $, 使得就是对应的商映射.$

•	是满射 , 且对任意子集 $, 是中开集当且仅当是中开集.$

有时也直接将满足上述条件的映射称为 商映射 , 而不提及等价关系.

基本对象

拓扑空间 • 度量空间 • 开集、闭集 • 连续映射 • 同胚

构造

T ₀ 空间 • T ₁ 空间 • Hausdorff 空间 (T ₂ ) • 正则空间 (T ₃ ) • 完全正则空间 (T _{3
¹
⁄
₂} ) • 正规空间 (T ₄ ) • 完全正规空间 (T ₅ ) • 完美正规空间 (T ₆ )

紧性

紧空间 •

σ

连通性

可数性

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商空间 • 英文 quotient space • 德文 Quotientenraum ( m ) • 法文 espace quotient ( m )

商拓扑 • 英文 quotient topology • 德文 Quotiententopologie ( f ) • 法文 topologie quotient ( f )

商映射 • 英文 quotient map • 德文 Quotientenabbildung ( f ) • 法文 application quotient ( f )