工程光学（四）——光的偏振

前言

本文简要介绍 光的偏振 并详细讨论 晶体光学 .内容相对繁杂，此处对全文结构先做一个介绍：

1. 本文首先延续本系列第一篇文章中对偏振做的初步讲解，系统地 根据偏振态 对光波进行分类并介绍偏振光的解析表示.并顺便介绍 获取偏振光 的三种常见方法的原理： 布儒斯特角 、 双折射 、 二向色性 .本文将详细介绍后两种的相关细节.
2. 接着就是晶体部分.首先简要介绍 双折射 的概念，接着基于电磁理论的角度讲解双折射原因，也是晶体的突出性质——各向异性.然后基于这个各向异性对双折射也从电磁理论的角度进行解释.
3. 下面就开始从 几何 的角度介绍晶体的性质和双折射，并顺便介绍惠更斯作图法求取双折射所产生的o光和e光的 光线方向 和 波法线方向 .由于前面介绍的性质繁多，因此在 这部分的最后对晶体的性质进行较为全面的总结 .
4. 然后讲利用 二向色性 的偏振器件.整体上分为 偏振棱镜 、 波片 、 补偿器 和 退偏器 ，首先介绍4种偏振棱镜；然后就是波片，包括全波片，半波片和四分之一波片；接着介绍2种补偿器；最后将退偏器的作用和原理.这部分的末尾做总结并介绍偏振器件的使用.
5. 最后介绍 琼斯矢量 和 琼斯矩阵 .以此工具计算偏振器件的作用是非常简便的，这里主要介绍 线偏振器 和各种 波片 的计算.

注意：对于偏振光的解析表示和琼斯矩阵的使用一定要 首先约定 电磁波的表示当中时间相位因子中 「时间项的正负」 ！本文延续系列文章的习惯，均 「取负」 ，即 e^{-i\omega t} .

正负不同之处的具体解释在5.1节的末尾.

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1. 概述

1.1 偏振态简介

早在第一篇文章中就已经指出，当两个频率相同，振动方向相垂直的单色波相叠加时，产生的就是 偏振（polarization） 光，并简单介绍了产生各种偏振光的条件，本文将对偏振现象展开进一步的讨论.

从偏振性的角度来说，光可以分为 自然光 、 部分偏振光 和 偏振光 （包括线偏振光、圆偏振光、椭圆偏振光）.

• 自然光 是大量的不同振动方向的彼此无关的无优势振动方向取向的线偏振光的集合.自然光相对于传播方向呈轴对称性.普通光源发的光都是自然光，如阳光、烛光、钠灯光等.示意图如图2所示.
• 部分偏振光 是相对于传播方向就不呈轴对称性而是有一个优越的振动方向.自然光经过反射或折射一般变成部分偏振光，自然光经过散射一般也会变成部分偏振光.示意图如图2所示.
• 偏振光 则不显得那样杂乱无章，而是可以写出解析式的光.示意图如图2所示.

1. 线偏振光 在观察时间内，光矢量的大小随时间改变，但振动方向始终不变，可写成 \vec E(t)=A\cos\omega t. 或写成分量形式 \begin{cases}E_x(t)=A_x\cos(-\omega t)\\E_y(t)=A_y\cos(-\omega t+\delta)\end{cases} .其中，若偏振于一三象限，则 \delta=0 ；若偏振于二四象限，则 \delta=\pi. 另外，偏振倾角 \theta 取决于振幅比，由 \tan\theta=\frac{A_y}{A_x} 决定.示意图如图2所示.
2. 圆偏振光 的光矢量的大小不变，但方向却随时间改变，沿（逆）着传播方向看矢量端点的轨迹是圆周，可以写成 \vec E(t)=E_x(t)\vec i+E_y(t)\vec j. 其中 \begin{cases}E_x(t)=A\cos(-\omega t)\\E_y(t)=A\cos\left(-\omega t\pm\cfrac{\pi}{2}\right)\end{cases} . 上式对于 左旋 圆偏光取 正 ，而对于 右旋 圆偏光取 负 . （ 也有书中提到是左旋取负，右旋取正，但它们的 t 的符号为正，即 \begin{cases}E_x(t)=A\cos\omega t\\E_y(t)=A\cos\left(\omega t\pm\cfrac{\pi}{2}\right)\end{cases} . 至于原因，在本文第五节-琼斯矢量部分会解释 ）
3. 椭圆偏振光 的道理和圆偏振光类似，光矢量的大小和方向都随时间改变，矢量端点的轨迹是椭圆，同样有解析写法 \vec E(t)=E_x(t)\vec i+E_y(t)\vec j .其中 \begin{cases}E_x(t)=A_x\cos(-\omega t)\\E_y(t)=A_y\cos\left(-\omega t\pm\cfrac{\pi}{2}\right)\end{cases} .即两个正交 分量的振幅不相等 .也同样是对于左旋取正，右旋取负（ 这里旋向和正负的关系和圆偏振光的道理相同 ）.但要注意，这是正椭圆（长短轴在坐标轴上），而对于任意的斜椭圆，则相位差 \delta\ne\pm\frac{\pi}{2}.

对于椭圆偏振光的具体 形状与旋向 和两分量 相位差 间的关系如图1所示.

另外，为了描述非偏振光的偏振性的强弱，引入 偏振度 的概念，设其优势振动方向的光强为 I_\max ，处于最劣势的振动方向光强为 I_\min ，那么偏振度 P=\frac{I_\max-I_\min}{I_\max+I_\min}.

据此定义：
对于自然光和圆偏振光， P=0 ；
对于线偏振光， P=1 ；
对于部分偏振光和椭圆偏振光， 0<P<1 .

1.2 获得偏振光

从非偏振光来获取偏振光，常用手段如下.

• 反射或折射

在第一篇文章就已经看到，反射光和折射光中的s波和p波的反射系数和透射系数都是不同的，这就意味着反射和折射都会改变光的偏振态，特别是当光在光疏-光密界面以布儒斯特角入射时， 反射光 是振动方向垂直于入射面的 线偏振光 ，而 折射光 则是偏振度很高的 部分偏振光 .

而对于具体的实施手段，以 偏振分光镜 为例说明，如下图所示.

整体上的分光镜如左图所示，两直角玻璃棱镜斜边相对，在它们之间交替镀两种 折射率相差很大 的膜.这种多层膜的手段就避免了「单个分界面反射光虽是线偏振光，但光强太小；而透射光光强虽足够，但偏振度太小」 这样的缺陷.图中的细节部分如右图所示

图中的分别是 高折射率 的硫化锌膜层和 低折射率 的冰晶石膜层.

为了得到更大的偏振度，在材料的选取上应注意 折射率 ，使各分界面上均以布儒斯特角入射，另外对于膜层的 厚度 应该使上下表面反射的光满足干涉加强的条件.

• 二向色性

二向色性原指各向异性的晶体对不同振动方向的偏振光有不同的吸收系数，然而这种性质还与光波的波长有关，进而对于由振动方向相垂直而合成的线偏振白光通过该晶体后会呈现不同的颜色，故称二向色性.

另外，一些本来各向同性的介质在受到外界作用时也会变为各向异性，从而具有二向色性.

利用这种特性就可以改变入射光的偏振态.具体的手段以 H偏振片 为例说明.

H偏振片是一种人造偏振器件，是将「聚乙烯醇」薄膜浸泡在「碘溶液」中，这就形成了碘链，然后在高温环境下将其拉伸形成「碘-聚乙烯醇」构成的长链，它是可以导电的.最后烘干制成.

对于入射光，平行于长链振动的分量会对电子做功而被强烈吸收；垂直于长链的分量可以透过，从而得到 线偏振光 ，光矢量垂直于拉伸方向.

• 双折射晶体

光入射到双折射晶体会被分解成 两束线偏振光 ，沿着不同的方向传播. 波片 就是对这种现象的一个应用，本文将详细介绍其原理及应用，在这里先不展开说.

1.3 关于应用

1. 对于会获得线偏振光的偏振器件，其允许透过的光振动的方向为其 透光轴 .
2. 用来将自然光变为偏振光的偏振器件称为 起偏器 .
3. 用来检验偏振光的偏振器件称为 检偏器 .
4. 使从起偏器出射的光入射到检偏器，那么透过两偏振器件后的光强 I 与它们透光轴的夹角 \theta 有关，即 I=I_0\cos^2\theta. 其中 I_0 是当两透光轴平行时的光强，是最大光强.这就是 马吕斯定律(Malus' law) .
5. 另外，若两透光轴相垂直时，理论上透射光强为零，称此时检偏器的位置为 消光位置 .
6. 而实际上偏振器件并不是理想的，自然光透过之后也不是线偏振光，而是部分偏振光，进而当再透过处于消光位置的检偏器时，光强也不为零.称此时的最小光强与两透光轴平行时得到的最大光强之比为 消光比 .

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2. 偏振光与晶体

• 浅谈双折射

当自然光入射到 各向同性 介质时，只有一束折射光，而对于 各向异性 的晶体，则会有两束折射光，称这种现象为 双折射(birefringence) .

到这里就应该厘清一组概念：波矢量方向 \vec k 和坡印廷矢量 \vec S ，前者是波法线的方向，但后者是能量传播的方向，也是相位传播的方向，以后文中所说的 \color{red}{光线方向} 指的都是 \vec S 的方向，而不是 \vec k 的方向.
应注意，二者在各向同性介质中是相同的，但在发生双折射的晶体中则可能是不同的，具体原因后面会解释.

• 在 单轴晶体 内，发生双折射的晶体中，两条折射光线的其中一条完全满足折射定律，在入射面内，这束光称为 寻常光线 ，也称 o光(ordinary ray) ；
• 而对于另一束光，其 光线 不满足折射定律，其入射角的正弦与折射角的正弦之比不是常数，且通常不在入射面内，这束光称为 非寻常光线 ，也称 e光(extraordinary ray ).

若是在 双轴晶体 内，双折射的两个光波 都是非寻常光 ，且 通常 情况下 光线 方向与 波法线 方向 不一致 .

通过检偏器发现，这两束光都是 线偏振光 .

但是，晶体中存在一个特殊的方向，当光在晶体中沿这个方向传播时 不发生双折射 ，这个方向称为晶体的 光轴(optical axis of crystal) .

有的晶体只有一个光轴，称为 单轴晶体 ，如方解石、石英、KDP( \rm KH_2PO_4 )、刚玉( \rm Al_2O_3 )（一般分为红宝石、蓝宝石）等；
自然界大多数晶体有两个光轴，称为 双轴晶体 ，如云母、石膏、蓝晶石( \rm Al_2[SiO_4]O )等；
还有的晶体是 立方晶体 ，是各向同性的，不发生双折射，如食盐( \rm NaCl )、萤石( \rm CaF_2 ).

在晶体内部，根据 光线 和 光轴 确定的平面为 主平面(principal plane) ：

• 由o光和光轴确定的面称为 o主平面 ；
• 由e光和光轴确定的面称为 e主平面 .

二者通常不重合

前面介绍的o光和e光只是现象上的描述， 本质上的区别 在于二者的光矢量方向，o光的光矢量方向是垂直于其主平面的，e光的光矢量方向平行于其主平面.

还有一个比较特殊的面就是 主截面(principal section) ，它是指「光轴」和晶体「表面法线」共同确定的平面，以方解石为例如下图所示.

它有3个主截面，如图中阴影表示的面，虚线表示光轴方向.

主截面有一个很好的性质，就是光在这个平面内入射，o光和e光都会在这个平面内，即o光主平面和e光主平面重合，也 重合 于主截面（此时o光和e光都在入射面内）.

在实际使用时，都会让入射面与主截面重合，这就使对双折射的研究大大简化.

• 值得一提的是，o光的 振动方向 与o主平面垂直，因此始终与光轴垂直，而e光 振动方向 在e主平面内，而e主平面对于不同的传播方向是不同的，故e光的振动方向与光轴的夹角会随传播方向而改变.而如果o主平面与e主平面重合时，则o光和e光的 振动方向 相垂直.但通常来讲，即使两主平面不重合，二者夹角也很小，因此o光和e光的 振动方向 几乎是垂直的.（本文所说的振动方向均指电矢量 \vec E 的振动方向）

• 关于各向异性

在这里所说的晶体的各向异性其实是对 不同振动方向的光 在晶体中的折射率的不同，即晶体对电磁场相互作用的各向异性.

而如果对于非晶体物质的分子、原子，它们的排列是无序的，因此在宏观上就显示出各向同性，但在外界作用下（应力、电场、磁场）可能出现规则排列，进而显示出各向异性.

本质上，对于电矢量的这种各向异性来源于介电张量 [\varepsilon] .

还记得在第一篇文章中介绍的物质方程，电感强度 \vec D 和电场强度 \vec E 满足 \vec D=\varepsilon\vec E ，且在各向同性的均匀介质中 \varepsilon 是一个标量常数，称为介电常数.而在各向异性介质中它是二阶张量，用 [\varepsilon] 来表示.

写成矩阵形式则是 \begin{bmatrix}D_x\\D_y\\D_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\varepsilon_{xx}&\varepsilon_{xy}&\varepsilon_{xz}\\\varepsilon_{yx}&\varepsilon_{yy}&\varepsilon_{yz}\\\varepsilon_{zx}&\varepsilon_{zy}&\varepsilon_{zz}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_x\\E_y\\E_z\end{bmatrix}.

若介质无吸收和旋光性，则 \varepsilon_{ij} 都是实数.

实际上， [\varepsilon] 是对称张量，即 \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}. 实对称矩阵可对角化，即可以找到一个坐标系满足 \begin{bmatrix}D_x\\D_y\\D_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\varepsilon_{x}&0&0\\0&\varepsilon_{y}&0\\0&0&\varepsilon_{z}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_x\\E_y\\E_z\end{bmatrix}.

在这个坐标系下， x,y,z 的方向称为 主轴方向 ，这时的 \varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z 称为 主介电常数 .

值得一提的是，一般情况下 \varepsilon_x\ne\varepsilon_y\ne\varepsilon_z ，因此 \vec D 和 \vec E 的方向是不同的，仅当 \vec E 的方向沿着主轴方向（任意三者之一）时， \vec D 和 \vec E 才平行.

基于这个角度，可以再对单轴、双轴晶体进行说明：

• 若三个主介电常数相等，即 \varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon_z ，则是各向同性的；
• 若只有两个主介电常数相等，如 \varepsilon_x=\varepsilon_y\ne\varepsilon_z ，则是 单轴晶体 ，光轴方向平行于 z 轴（形象地说，传播方向在 z 轴时，振动方向平行于 x,y 平面，而在这个面上介电常数相同，自然不发生双折射）；
• 若 \varepsilon_x\ne\varepsilon_y\ne\varepsilon_z ，则是 双轴晶体 .

• 双折射的电磁理论

假设晶体中有平面波写为 \begin{cases}\vec E=\vec E_0e^{i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)}\\\vec D=\vec D_0e^{i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)}\\\vec H=\vec H_0e^{i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)}\end{cases} ，

将其代入麦克斯韦方程组中的 \begin{cases}\nabla\times\vec E=-\mu_0\cfrac{\partial\vec H}{\partial t}\\\nabla\times\vec H=\cfrac{\partial\vec D}{\partial t}\end{cases}

得到 \begin{cases}\vec k\times\vec E=\omega\mu_0\vec H\\[2ex]\vec k\times\vec H=-\omega\vec D\end{cases}

这说明 \vec H 垂直于 \vec E 和 \vec k ； \vec D 垂直于 \vec H 和 \vec k .

• 进而 \vec D,\vec H,\vec k 相互垂直，构成右手螺旋系.
• 另外，根据坡印廷矢量 \vec S=\vec E\times\vec H ，综上 \vec E,\vec H,\vec S 相互垂直，构成右手螺旋系.

如下图所示.

应注意，一般情况下 \vec D 和 \vec E 方向不同，波面传播方向 \vec k 和能量传递方向 \vec S 也不同，而且 \vec D 和 \vec E 的夹角等于 \vec k 和 \vec S 的夹角，记为 \alpha .那么根据图中几何关系，从波面Ⅰ到波面Ⅱ，光线速度 v_S 与波面法线速度 v_k 的关系为 v_k=v_S\cos\alpha .因此也可以说，相速度是光线速度在波法线方向上的投影.

另一方面，将 \vec k\times\vec E=\omega\mu_0\vec H

代入 \vec k\times\vec H=-\omega\vec D

得到 \vec D=-\frac{1}{\mu_0\omega^2}\vec k\times(\vec k\times\vec E).

再根据 \vec k=k\vec k_0=\frac{n\omega}{c}\vec k_0 以及 c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}

可将上式改写为 \vec D=-\varepsilon_0n^2\vec k_0\times(\vec k_0\times\vec E).

并注意矢量恒等式 \vec A\times(\vec B\times\vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B)

得到 \color{red}{\vec D=\varepsilon_0n^2[\vec E-\vec k_0(\vec k_0\cdot\vec E)]}.

将其在 \color{red}{主轴坐标系} 下写成分量的形式，并注意 \vec D\cdot\vec k_0=0 （具体来说是 D_xk_{0x}+D_yk_{0y}+D_zk_{0z}=0 ），可得到一个关于折射率 n 的方程

\frac{k_{0x}^2}{\cfrac{1}{n^2}-\cfrac{1}{\varepsilon_{rx}}}+\frac{k_{0y}^2}{\cfrac{1}{n^2}-\cfrac{1}{\varepsilon_{ry}}}+\frac{k_{0z}^2}{\cfrac{1}{n^2}-\cfrac{1}{\varepsilon_{rz}}}=0

其中 \varepsilon_{ri}\ \ \ (i=x,y,z) 是相对主介电常数，是由过程中的 \varepsilon_{i}=\varepsilon_0\varepsilon_{ri} 的代换得来.

这就是 菲涅耳方程 ，它表达了单色平面波在晶体中传播时， 折射率 与 波法线方向 之间的关系，可以看出，对于一个确定的方向 \vec k_0 ，可以解出两个不相等的实根 n_1^2 和 n_2^2 ，进一步得到两个正根 n_1,n_2 （负折射率无意义，故略去）.

解出的两个折射率意味着，在各向异性晶体中，对应于 一个波法线 的方向可以有 两种可能的 特定振动方向的线偏振光传播，它们的折射率是不同的，即不同的波法线速度（相速度）.又由于 \vec E 和 \vec D 通常不平行，也就说明 \vec S 通常不同，即光线方向和光线速度是不同的，如下图所示.

另外，若将 n_1,n_2 分别代入 \vec D 的分量式可得到 \vec D_1,\vec D_2 ，并可以证明 它们正交 ，如下图所示.

下面 根据上述结论 ，对于光在 单轴晶体 中的传播进行具体的计算.

对于单轴晶体，不妨设 \varepsilon_x=\varepsilon_y\ne\varepsilon_z ，进而对于三个方向的折射率有 n_x=n_y=\sqrt{\varepsilon_{rx}}=\sqrt{\varepsilon_{ry}}=n_o ， n_z=\sqrt{\varepsilon_{rz}}=n_e （认为是非磁性介质， \mu_r=1 ）

实际上o光和e光的折射率就是这样的，接下来就通过方程来解释这一点.

将它们代入菲涅耳方程

\frac{k_{0x}^2}{\cfrac{1}{n^2}-\cfrac{1}{\varepsilon_{rx}}}+\frac{k_{0y}^2}{\cfrac{1}{n^2}-\cfrac{1}{\varepsilon_{ry}}}+\frac{k_{0z}^2}{\cfrac{1}{n^2}-\cfrac{1}{\varepsilon_{rz}}}=0

即可得到两个解 \begin{cases}n_1^2=n_o^2\\[2ex]n_2^2=\cfrac{n_o^2n_e^2(k_{0x}^2+k_{0y}^2+k_{0z}^2)}{n_o^2(k_{0x}^2+k_{0y}^2)+n_e^2k_{0z}^2}\end{cases} ，

这说明：

1. 两种可能的光线其中的一种情况，其折射率与波法线方向 \vec k_0 无关，总有 n=n_o ，这就是前面说的寻常光，o光；
2. 而对于另一种情况，其折射率与波法线的方向有关，这就是前面说的非寻常光，e光.

应注意，当 \vec k_0 与 z 轴重合时，即 k_{0x}=k_{0y}=0 ，则方程的解化为 n_1=n_2=n_o ，说明不发生双折射， z 轴方向即是光轴方向，这就是对前述部分结论的电磁理论解释.

对于o光和e光的振动方向，下面只讲流程和结论，具体的推导可以参考《物理光学》-梁铨廷.

• 先说o光，将 n=n_o 代入前述 \vec D 和 \vec E 的关系式（上文唯一的红色公式），写成分量形式，即可发现 \vec D 和 \vec E 平行，二者都垂直于o光主平面.进而 \vec k 和 \vec S 平行.
• e光则是代入 n=n_e ，同样的操作可发现e光的 \vec D,\vec E 都在e光的主平面内，但他们方向不同，故其 \vec k,\vec S 方向也不一致.

最后介绍几个计算公式，这里不做推导，其推导过程可以参考上面提到的参考书.

• 设e光的 波法线 方向 \vec k 与 光轴 的夹角为 \theta .
• e光的 光线 方向 \vec S 与 光轴 的夹角为 \theta' .
• 定义离散角 \alpha=\theta-\theta' ，实际上就是 \vec k,\vec S 的夹角.

则有 \tan\theta'=\frac{n_o^2}{n_e^2}\tan\theta

\tan\alpha=\color{brown}{\frac{1}{2}\frac{n_e^2-n_o^2}{n_o^2\sin^2\theta+n_e^2\cos^2\theta}\sin2\theta}=\color{blue}{\left(1-\frac{n_o^2}{n_e^2}\frac{\tan\theta}{1+\frac{n_o^2}{n_e^2}\tan\theta}\right)}

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3. 晶体作用的几何表示

• 折射率椭球

折射率椭球是探究晶体光学性质的一种直观工具，下面介绍它的来历及用法.

根据第一篇文章中介绍坡印廷矢量时提到的 能量密度 w=\frac{1}{2}(\vec E\cdot\vec D+\vec H\cdot\vec B) ，那么其中的电能密度就是 w_e=\frac{1}{2}\vec E\cdot\vec D ，并考虑 主轴坐标系 下， D_x=\varepsilon_0\varepsilon_{rx}E_x ， D_y=\varepsilon_0\varepsilon_{ry}E_y ， D_z=\varepsilon_0\varepsilon_{rz}E_z ，那么 w=\frac{1}{2\varepsilon_0}\left(\frac{D_x^2}{\varepsilon_{rx}}+\frac{D_y^2}{\varepsilon_{ry}}+\frac{D_z^2}{\varepsilon_{rz}}\right).

若不考虑介质的吸收， w_e 是恒定的，那么有 \frac{D_x^2}{\varepsilon_{rx}}+\frac{D_y^2}{\varepsilon_{ry}}+\frac{D_z^2}{\varepsilon_{rz}}=A ，其中 A=2\varepsilon_0w_e.

若用 x,y,z 代替 \frac{D_x}{\sqrt A},\frac{D_y}{\sqrt A},\frac{D_z}{\sqrt A} ，并将 \varepsilon_r 改写成 n^2 的形式，则上述表达式可写为 \frac{x^2}{n_x^2}+\frac{y^2}{n_y^2}+\frac{z^2}{n_z^2}=1.

这就是 折射率椭球 方程.所在的坐标系就是 主轴坐标系 .它表达了晶体折射率在主轴坐标系的分布.为了借助它来分析晶体的光学性质，先对其进行简要的说明.

1. 从椭球中心出发到达椭球表面的矢径记为 \vec r=n\vec d ，其方向表示光波的 \vec D 的方向，其长度表示 \vec D 在该方向的光波的折射率，显然 \vec d 指的就是 \vec D 的单位矢量.
2. 过椭球的中心指定一个波法线的方向 \vec k_0 ，再过椭球中心做这个矢量的垂面.该面和椭球的交面是一个椭圆面，那么这个椭圆的 长轴 和 短轴 的方向就是这个波法线所对应的被允许的两个光波的 \vec D 的方向，而 长半轴 和 短半轴 的长度则是这两个光波的折射率.如下图所示.

下面根据折射率椭球具体分析一下 单轴晶体 .

对于单轴晶体，不妨认为 n_x=n_y=n_o，n_z=n_e ，那么椭球方程化为 \frac{x^2}{n_o^2}+\frac{y^2}{n_o^2}+\frac{z^2}{n_e^2}=1.

不同的 n_o,n_e 确定不同的椭球，那么可以将单轴晶体分为两类：

• 一类是 n_o<n_e 的晶体，称为正晶体，如石英；
• 另一类是 n_o>n_e 的晶体，称为负晶体，如方解石.

根据椭圆方程可以发现：

1. 若波法线方向沿 z 轴，即光轴，那么其过中心 O 点的垂面与椭球的交面是一个圆面，说明只有一种折射率 n_o ，其 \vec D 可以取面内的任何方向.
2. 若波法线沿在 x,y 平面内，则其垂面的交面是包含 z 轴的面，是一个椭圆面，那么两个半轴的长度分别是 n_o 和 n_e ，说明允许两个线偏振光传播，其中 \vec D 平行于光轴方向的为e光，折射率为 n_e ，而垂直于光轴方向的为o光，折射率为 n_o .
3. 若波法线沿其他方向，则其垂面的交面仍然是椭圆面，其长轴和短轴分别是两个线偏振光 \vec D 的方向：其中垂直于光轴 z 和波法线 \vec k 所确定平面的 \vec D’ 是o光的电感矢量，而另一个在那个平面内的 \vec D’’ 则是e光的电感矢量，它们所对应的椭圆的轴的长度则分别是两束光的折射率，其中的 n_o 是不会变的，而另一个折射率则在 n_o 和 n_e 之间.

综上，任何一个波法线方向都可以对应一束折射率为 n_o 的线偏振光，它是寻常光线，而对于非寻常光线，波法线沿光轴方向时是没有的，其他方向才有，且其折射率就在 n_o 和 n_e 之间，与其波法线方向与光轴的夹角有关，波法线越靠近光轴方向其折射率越靠近 n_o ，若垂直于光轴传播，则折射率为 n_e 关.

显然，通过折射率椭球对晶体性质的说明就更清晰直观.

• 惠更斯作图法

介绍完晶体的性质，下一步谈谈光波在晶体表面的折射和反射，这里用惠更斯作图法进行说明.

所谓惠更斯作图法，即是根据 惠更斯-菲涅耳原理 ，作图求取折射、反射光线的方向.

设想一束 平行光 入射到 单轴负晶体 界面上，入射点发出球面波，并 注意光轴方向 ，如下图所示.

1. 先考察入射点 A ，显然它并不是沿光轴方向入射，因此会发生双折射.
2. o光在晶体内的折射率始终为 n_o ，因此它发出的球面波对各个方向传播的速率是相同的，末端轨迹的集合应呈圆形，这里从截面来看则是半圆.
3. e光的折射率和传播方向有关，因此传播速度也和方向有关.根据折射率椭球所介绍的，截面是椭圆，因此光线末端轨迹的集合应呈椭圆，这里从截面看来是椭圆的一部分，由于是负晶体，e光的折射率小，传播速率较大，因此是 椭圆形 外接着 圆形 的形式（外界的两个切点连线恰是光轴方向，因为沿光轴传播则o光e光折射率相同，不发生双折射）.
4. 考虑到入射光波是平面波， A 点所在的波阵面在这个界面上看是 A,A’ 所确定的直线，当 A 点到达界面时，波阵面上的 A’ 点还没有到达，而当 A’ 点也到达了界面时， A 点发出的子波已经在晶体内传播一段距离了，图中的圆和椭圆即是 A 点发生双折射所产生的o光和e光的传播情况.
5. 当 A’ 点到达界面时，设入射点为 O’ ，从 O’ 点出发分别向圆和椭圆做切线，切点分别为 O 和 E ，那么点 A 分别连接 O 和 E ，由几何关系可知这两个方向即是 A 点入射的这束光在晶体内发生双折射时o光线和e光线的传播方向.
6. 考虑前面提到的e光的振动方向在主平面内，因此用横线示意，而o光的振动方向垂直于主平面，则用点来示意.

下面对于更多的情况进行简要说明，如下图所示，是对于 正晶体 ，统一以 正入射 ，而 光轴在各个方向 的示意图.

• 对于正晶体， n_o<n_e ，则o光的速度大于e光的速度，因此是圆外接着椭圆.
• 沿光轴方向二者（圆和椭圆）相切，两光折射率统一都是 n_o ，而在垂直光轴的方向e光的折射率是 n_e ，在其他方向则介于 n_o 和 n_e 之间.
• 对于最后一张图，光轴垂直于图面，回顾之前所说的折射率椭球，垂直于光轴方向传播时，e光的折射率始终为 n_e ，因此其轨迹末端的集合也是圆形，并考虑到正晶体 n_o<n_e ，故 v_o>v_e ，则e光的圆在内，这种情况自然不会有沿光轴传播的光，故两圆无切点.
• 应注意，上图中(a),(b),(d)的o光和e光传播方向相同，但具体情况不同，其中图(a)、(d)的波阵面不重合，o光和e光是有相位差的.而图(b)因为沿光轴传播不发生双折射，二者波阵面重合.图(c)的o光和e光则沿不同方向传播.

• \color{red}{\bf双折射总结}

以上关于双折射的带有过程的介绍可读性虽强，但难免显得杂乱，下面对于一些重要的结论加以总结.

1. o光和e光这对概念是对于 单轴晶体 而言的，双轴晶体发生双折射时，两光都是非寻常光.
2. o光和e光的本质区别在于其 电矢量方向 \vec E 与其 主平面 的关系，垂直则是o光，同时电矢量也必垂直于光轴；平行则是e光，这时电矢量与光轴成某一角度.
3. 对于「o光满足折射定律e光不满足折射定律」的说法是针对光线方向的，但如果考虑波法线方向 \vec k ，则二者的波法线都分别满足折射定律，只是o光的 \vec D,\vec E 是平行的，故 \vec S,\vec k 是平行的，它们都 满足折射定律 ；而对于e光，其 \vec k,\vec S 通常是不平行的，其中 \vec k 是 满足折射定律 的，但 \vec S 通常不满足 .
4. 仅当电矢量 振动方向沿 主轴方向 （之一）时，才有 \vec D,\vec E 平行，进而 \vec k,\vec S 平行（对于o光，平行关系总是满足）.
5. o光和e光的主平面通常不重合，因此二者振动方向未必垂直，当入射面在主截面内，则二者主平面重合， 振动方向垂直 .但即使两主平面不重合，夹角也很小，因此二者振动方向几乎是相垂直的，有时会这样近似认为垂直.
6. 通常认为o光的 \vec D,\vec E 分别和e光的 \vec D,\vec E 相垂直，即 \vec D_o\bot\vec D_e，\vec E_o\bot\vec E_e .
7. o光的折射率总是 n_o ，而e光的折射率取决于其 波法线 方向与 光轴 的夹角，越靠近光轴，则其折射率越靠近 n_o ，反之靠近 n_e ，实际上 n_e 特指e光垂直于光轴时的折射率，对于其他方向一般只说e光的折射率，而不用 n_e 表示.
8. 对于一束光来讲，其 \vec D,\vec E,\vec S,\vec k 必定是 共面 的，而 \vec H 垂直于上述四个量，其中 \vec D,\vec H,\vec k 是相互垂直且构成右手螺旋系的；另外 \vec E,\vec H,\vec S 也是相互垂直且构成右手螺旋系的.因此 \vec k,\vec S 是否 同方向 与 \vec D,\vec E 是否 同方向 是 同时成立 或 同时不成立的 .
   

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4. 晶体偏振器件

4.1 偏振棱镜

• 格兰-汤姆逊(Glan-Thompson)棱镜

这是一种 起偏棱镜 ，它是用两块 方解石 直角棱镜沿斜面相对，胶合而成，光轴取向 相互平行 ， 垂直于图面 ，如下图所示.

由前述结论，光线 垂直入射 到棱镜后o光和e光方向不变地传播，到达斜面时，对于斜面的入射角就等于图中棱镜的那个锐角 \theta .

关键的部分来了，两个直角棱镜之间的胶的折射率 n_g 要略大于并接近 n_e ，但小于 n_o （方解石是负晶体， n_e<n_o ）.且使 \theta 大于o光在斜面界面的临界角.

1. 那么o光会在界面上发生全反射，被另一个直角面的吸收层所吸收.
2. 而e光由于两介质折射率接近，所以几乎无偏折地从棱镜出射.

以此获得线偏振光.

另外值得一提的是其孔径角.

当入射光不是平行光或者平行光非正入射时，如下图所示.

• 当上偏角 i 超过某个限度时，则会导致o光的入射角小于临界角，故不发生全反射而有一部分透过界面.
• 当下偏角 i’ 超过某个限度时，则会导致e光的折射率增大，进而和o光都发生全反射，最终没有光从棱镜射出.

因此这种棱镜不适用于处理高度会聚或发散的光.

• 格兰-傅科(Glan-Foucault)棱镜

这也是 起偏棱镜 ，它与格兰-汤姆逊棱镜区别不大，只是将两直角棱镜间的胶替换为空气薄层，如下图所示.

它有两种形式，一种如(a)图，仅仅将格兰-汤姆逊棱镜的胶层替换为空气层，另一种如(b)图，除替换为空气层外，两三角棱镜的光轴方向从图示的角度来看是沿上下方向的.（实际上格兰-汤姆孙棱镜也有这两种形式）

值得一提的是，对于图(a)的棱镜，透射光是垂直于入射面的振动分量，是s波，对于图(b)，其透射光是平行于入射面的振动分量，是p波.

对于光密-光疏界面上s波和p波的反射率如下图所示.

显然在这种情况下s波的反射率高一些，相应的透射率会低一些，因此整体上选择图(b)这种形式的棱镜效果要更好.

这种棱镜相对于格兰-汤姆孙棱镜的一大优点在于它更适用于紫外波段，因为胶（加拿大树胶）会对紫外线有强烈的吸收.但它的缺点是孔径角比较小.

• 沃拉斯顿(Wollaston)棱镜

这是一种 偏振分束棱镜 ，是指利用晶体的双折射，且折射角与振动方向有关这一点，可以获得两束分开的偏振光.

它也是由两块直角棱镜胶合而成，两块也都是方解石，但两块棱镜的光轴相垂直，如下图所示.

平行光垂直入射第一块棱镜，和前述情况相同，当光入射到第二块棱镜时光轴方向发生了变化，就导致了o光和e光相转化：

• 第一块棱镜中的o光在第二块棱镜中变成了e光，那么入射到第二块棱镜的界面就是光密-光疏界面（方解石 n_o>n_e ），会偏离界面法线.
• 第一块棱镜中的e光在第二块棱镜中变成了o光，那么入射到第二块棱镜的界面就是光疏-光密界面，会靠近界面法线传播.

故两光分离，如上图所示.

• 洛匈(Rochon)棱镜

也有文献译作 罗雄棱镜 .它也是偏振分束棱镜，与沃拉斯顿棱镜类似，只是它的第一块棱镜的光轴是左右指向，则垂直入射的光是沿光轴传播，不发生双折射，如下图所示.

它可以使o光无偏折地出射，因此即使是白光入射，也能得到无色散的线偏振光.

4.2 波片(plate)

波片，也称 相位延迟器 ，它可以使偏振光的两个相互垂直的线偏振光之间产生相位延迟，从而改变光的偏振态.

它是用透明晶体制成的平行平面薄板，且光轴与工作表面平行，当光 垂直入射 到工作表面，由前述结论可知，o光和e光以不同速度传播，但方向不变且相同.

这样，当光从厚度为 d 的波片出射后，产生的相位差为 \delta=\frac{2\pi}{\lambda}|n_o-n_e|d. 这是两束振动方向相互垂直且有一定相位差的线偏振光叠加，一般会得到 椭圆偏振光 .

对于波片，是要区分 快轴 和 慢轴 的，它们指的就是发生双折射时，o光和e光的两束光的光矢量方向，它们是 相互垂直 的.相对传播速度快的光，其光矢量方向即是快轴方向：若是负晶体， n_o>n_e ，则e光速度快，则e光矢量的方向就是快轴方向，正晶体刚好相反.

对于单轴晶体而言， 负单轴晶体 的 快轴 方向即是 光轴 方向，慢轴则是与之垂直的方向；而正单轴晶体刚好相反.

波片一般按照相位延迟量，即出射时两光的相位差 \delta 进行分类，下面逐一进行讨论.

• 全波片(one-wave plate)

对于全波片，相位延迟为 2\pi 的整数倍，即 \delta=2m\pi\ \ (m=0,1,2,\cdots) ，那么其厚度 d=\frac{m\lambda}{|n_o-n_e|}.

它不改变入射光的偏振态，一般用于应力仪，用来增大应力引起的光程差，使干涉色随内应力的变化变得灵敏.

• 半波片(half-wave plate)

相位延迟为 \pi 的奇数倍，即 \delta=(2m+1)\pi\ \ (m=0,1,2,\cdots) ，厚度 d=\frac{(2m+1)\lambda}{2|n_o-n_e|}.

• 线偏振光 入射，则仍然是 线偏振光 出射，只是振动方向有所改变：若入射时振动方向与快轴（或慢轴）夹角为 \alpha ，则出射时会向着那个轴转动 2\alpha 角，即在轴的另一侧呈 \alpha 角，如下图所示.
• 圆偏振光 入射，则出射光仍是 圆偏振光 ，但旋向相反.
• 椭圆偏振光 入射的情况不难分析，但描述起来较为复杂，这里不展开说明，读者观察本文图1即可得到结论.

• \frac{1}{4} 波片(quarter-wave plate)

它产生的相位延迟是 \frac{\pi}{2} 的奇数倍，即 \delta=\frac{(2m+1)\pi}{2}\ \ (m=0,1,2,\cdots) ，厚度 d=\frac{(2m+1)\lambda}{4|n_o-n_e|}.

1. 线偏振光 入射，则出射光一般为 椭圆偏振光 ，若是入射线偏振光的振动方向与快轴（或慢轴）成45°角时，出射光为 圆偏振光 ；若是如些线偏振光的振动方向 沿快轴 （或慢轴），出射光 仍为线偏振光 .
2. 圆偏振光 入射，无论如何，出射光都是 线偏振光 .
3. 椭圆偏振光 入射，若椭圆的主轴（长轴或短轴）与波片的快轴（或慢轴）重合，则出射光是线偏振光；若以其他角度入射，则出射光仍是椭圆偏振光.

应注意：
1. 波片只对某一 特定波长 的入射光工作.
2. 入射到波片上的必须是 偏振光 ，自然光经过波片仍是自然光.
3. 波片只能改变光的偏振态， 不改变光强 .

4.3 补偿器(compensator)

补偿器也能起到相位延迟作用，但它是用可调波片，能产生连续改变的相位差.

• 巴比涅(Babinet)补偿器

巴比涅补偿器是通过两片晶片相对移动的方法来改变相位延迟量，如下图所示.

它由两块方解石或石英制成的光楔（楔角很小，一般 2°~3°）组成，二者光轴相互垂直，当光沿图中所示方向垂直入射第一片晶片时发生双折射，但传播方向不变，而当入射到第二片晶片时，原来的o光和e光相互转化，虽然是斜入射到第二片晶片，但由于厚度很小，仍然认为是方向不变地传播.

设两片晶片的厚度分别为 d_1,d_2 ，则最终出射后，两线偏振光的相位差为 \color{red}{\delta}=\frac{2\pi}{\lambda}[(n_ed_1+n_od_2)-(n_od_1+n_ed_2)]\color{red}{=\frac{2\pi}{\lambda}(n_e-n_o)(d_1-d_2)}.

当两晶片相互移动时， d_1,d_2 也随之改变，进而影响 \delta .

它的 d_1,d_2 随光束宽度的延伸会有所变化，因此只适用于 细光束 .

• 索累补(Soleil)偿器

这是对巴比涅补偿器的一种 改进 ，它是由 两个楔形 晶片和 一个平行 晶片组成，两个楔形晶片光轴方向相同，如下图所示，图中角度看是左右指向，而平行晶片的光轴与之垂直.

在这种情况下， d_1,d_2 随宽度的延伸就是恒定的了，故可以用于较宽的光束.

4.4 退偏器(depolarizer)

退偏器是将偏振光变成非偏振光的一种器件.

由于光学探测器对偏振有敏感性，不必要的偏振会导致错误，降低测量精度，为了避免偏振光带来的问题，需要在探测器前加一个退偏器.

退偏器也是用双折射材料制作的，其的原理是：使双折射材料对入射光的相位延迟不统一，当偏振光通过它时，就会打乱原有的偏振态，从而使偏振度下降.

至于如何使相位延迟不统一，对于不同的情况就有不同的手段：

对于 白光退偏器 ，例如线偏振光入射，使其振动方向与双折射材料的平行平板的光轴成45°，且垂直入射，由于是白光入射，入射光夹杂着各种波长，因而相位延迟不同，出射光就是具有不同椭圆率的椭圆偏振光，出射时就夹杂着各种偏振状态.整体来看，其偏振度大大下降.

对于 单色光退偏器 ，可以将双折射材料制成楔板，则在不同的厚度就有不同的相位延迟，从而达到打乱原有偏振态的目的.

4.5 偏振器件的使用

下面就通过 偏振光的判断 来简单谈一谈偏振器件的具体使用.

对于椭圆偏振光的获得，在介绍波片时已经提到过，一般使自然光通过起偏器得到线偏振光，再通过 \frac{1}{4} 波片即可获得椭圆偏振光，特别是当入射到 \frac{1}{4} 波片的线偏振光振动方向与波片快轴（或慢轴）夹角为 \theta=\pm45° 时可获得圆偏振光.

利用偏振器和相位延迟器同样可以判断光的偏振态：

当检验 椭圆偏振光 、 部分椭圆偏振光 、 部分线偏振光 时，可以让光通过检偏器，转动检偏器若发现光强有亮暗变化，但不能消光（使光强为零），则说明入射光可能是上述三种之一.

为了判断具体是哪一种，此时将检偏器转到透射光强最大的位置，在检偏器 前 插入一个 \frac{1}{4} 波片，并使之 快轴与检偏器透光轴平行 ，然后不断转动检偏器，通过透射光即可判断：

1. 若是 椭圆偏振光 入射，则它通过 \frac{1}{4} 波片后变成 线偏振光 ，转动检偏器 一整周 可以看到有 两个消光 位置.
2. 若是 部分线偏振光 （线偏振光和自然光混合）入射，则它通过 \frac{1}{4} 波片后仍为 部分线偏振光 （注意前面说的初始位置），此时将波片转过45°就变成 部分圆偏振光 ，转动偏振器时光强 始终不变 .
3. 若是 部分椭圆偏振光 入射，则通过 \frac{1}{4} 波片后变成 部分线偏振光 ，此时将波片转过 45° 就仍是 部分椭圆偏振光 ，这时不断转动检偏器仍出现光强 明暗变化 .

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5. 琼斯矢量(Jones vectors)与琼斯矩阵(Jones matrix)

5.1 琼斯矢量

光波是横波，其光矢量 \vec E 在传播方向的“横截面”上就有两个自由度，可看作由两个正交的分量所确定，从而决定其偏振态，故可以用一个矩阵表示.

\vec E=\begin{bmatrix}E_x(t)\\E_y(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_xe^{-i\omega t}\\A_ye^{i(-\omega t+\delta)}\end{bmatrix}.

略去它们共有的时间相位因子 e^{-i\omega t} 得到简化表示 \vec E=\begin{bmatrix}A_x\\A_ye^{i\delta}\end{bmatrix} ，称之为 琼斯矢量(Jones vectors) .其中的 \delta 表示了 E_y 相对于 E_x 的相位差.

• 通过 归一化 处理即可获得一般形式：即令 A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}=1. 用 A 去除琼斯矢量得到一个一般形式： \vec E=\frac{A_x}{\sqrt{A_x^2+A_y^2}}\begin{bmatrix}1\\\frac{A_y}{A_x}e^{i\delta}\end{bmatrix}. 目的是使两个分量的平方和为1.（在只研究偏振态的情况下是可以做归一化处理的）

先不管一般形式，回到当初略去时间相位因子后的表达式： \begin{bmatrix}E_x\\E_y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_x\\A_ye^{i\delta}\end{bmatrix}. 并回顾文首所介绍的各种偏振光的解析表示，那么有如下分析：

对于 线偏振光 ，假设其与 x 轴成 \theta 角，振幅为 A ，则根据几何关系显然有 A_x=A\cos\theta ， A_y=A\sin\theta ，而至于 \delta 的部分前面已经说得很清楚：

• 当偏振于一三象限 \delta=0 ，此时 e^{i\delta}=1 ，这里对应与 x 轴成 \theta>0 的角度；
• 当偏振于二四象限 \delta=0 ，此时 e^{i\delta}=e^{i\pi}=-1 ，这里对应与 x 轴成 \theta<0 的角度.

那么对于一般的情况，

• 当 \theta>0 时， E_x=A_x=A\cos\theta ， E_y=A\sin\theta. 归一化振幅则得到 \vec E=\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}.
• 当 \theta<0 时， E_x=A_x=A\cos\theta ， E_y=-A\sin\theta . 归一化振幅则得到 \vec E=\begin{bmatrix}\cos\theta\\-\sin\theta\end{bmatrix}.

例如对于 椭圆偏振光 ，假设是长轴沿 x 轴，长短轴之比为 2:1 ， 右旋 .可以认为 E_x=A_x=2A ， E_y=A_ye^{-i\frac{\pi}{2}}=Ae^{-i\frac{\pi}{2}}. 那么归一化处理得到 \vec E=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}2\\-i\end{bmatrix}.
同理，对于同样的椭圆， 左旋 的琼斯矢量就是 \vec E=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}2\\i\end{bmatrix}.

讨论完一般形式，对于特殊形式的一些结论如下表所示.

• 最后谈一谈关于圆/椭圆偏振光的旋向与 \delta 正负的问题.

其实本质上就是时间相位因子究竟是取 e^{i\omega t} 还是 e^{-i\omega t} 的问题，这就是个习惯问题，在 郁道银、谈恒英-《工程光学》 和 梁铨廷-《物理光学》 中都是采用 e^{-i\omega t} ，本文也是沿用这种习惯，在第一篇文章中就已经是这样了.
而 钟锡华-《现代光学基础》 当中却采用 e^{i\omega t} ，这种情况下，如实地反映了相位随时间的增加而增加，那么 \delta 表示的是 E_y 相对于 E_x 相位超前的值.
总结来说就是两种选择情况下，由于 t 的正负不同，导致了 \delta 的意义不同，从而使旋向在判定的时候对 \delta 的考虑不同，在时间相位因子取 e^{i\omega t} 的情况下，右旋圆偏振光的琼斯矢量就是 \vec E=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} ，左旋圆偏振光的琼斯矢量是 \vec E=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix} ，区别仅在于i的正负正好相反.
因此，在查阅有关文献资料时应注意其 时间相位因子 选取的这个 前提 .

5.2 琼斯矩阵

琼斯矩阵是用来表示 偏振器 的，能改变光偏振态的器件统称为 偏振器 .

设入射到偏振器前，偏振光的琼斯矢量为 \vec E_1=\begin{bmatrix}A_1\\B_1\end{bmatrix} ，出射光的琼斯矢量为 \vec E_2=\begin{bmatrix}A_2\\B_2\end{bmatrix}.

这个线性变换可通过矩阵 \bf G 来完成，即 \vec E_2=\bf G\mit\vec E_\rm1. 那么这个 \bf G 就代表了偏振器的作用，称为偏振器的 琼斯矩阵 ，其元素一般是复常数.

• 已知 \vec E_1 和 \bf G 可求得 \vec E_2 ，反过来也是可以的；
• 另一方面，已知 \vec E_1 和 \vec E_2 ，并能再给出一组 \vec E_1’ 和 \vec E_2’ 便可以求得 \bf G.

下面对线偏振器和波片的琼斯矩阵的一般形式进行推导.

• 线偏振器的琼斯矩阵

对于 线偏振器 ，设其透光轴与 x 轴成 \theta 角，入射光在 x 轴和 y 轴的偏振态分量分别为 A_1,B_1 ，出射光在 x 轴和 y 轴的分量分别为 A_2,B_2 .如下图所示.

在两坐标轴上分使 A_1,B_1 向透光轴投影，分别得到 A_1\cos\theta 和 B_1\sin\theta ，这就是 A_1,B_1 在透光轴方向的分量，再分别过两个垂足向两坐标轴做垂线，共得到四个投影，将同一坐标轴上的投影分别相加，就得到从偏振器出射光在 x,y 轴的偏振态分量.具体可写作

A_2=(A_1\cos\theta+B_1\sin\theta)\cos\theta=A_1\cdot\cos^2\theta+B_1\cdot\frac{1}{2}\sin2\theta

B_2=(A_1\cos\theta+B_1\sin\theta)\sin\theta=A_1\cdot\frac{1}{2}\sin2\theta+B_1\cdot\sin^2\theta.

即可得到偏振器的琼斯矩阵 \bf G=\begin{bmatrix}\cos^2\theta&\frac{1}{2}\sin2\theta\\\frac{1}{2}\sin2\theta&\sin^2\theta\end{bmatrix}.

• 波片的琼斯矩阵

对于 波片 ，设其快轴与 x 轴成 \theta 角，产生的相位差为 \delta .并设入射光的偏振态在两坐标轴的分量为 A_1,B_1 .对于它的分析，稍微复杂些，分为三步，如下图所示.

1. 使 A_1,B_1 分别向快轴和慢轴投影，并计算它们 分别 在快轴和慢轴上分量的和 A_\xi,B_\eta
2. 考虑快慢轴分量的相对相位延迟，得到进一步的修正分量 A_\xi’,B_\eta’.
3. 将快慢轴的分量再分别投影回两坐标轴，并分别相加，得到出射光在两坐标轴的偏振态分量 A_2,B_2.

分析的流程和线偏振器类似，这里用矩阵来表示，这三个步骤分别是：

\begin{bmatrix}A_\xi\\B_\eta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_1\\B_1\end{bmatrix}.

\begin{bmatrix}A_\xi’\\B_\eta’\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\delta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_\xi\\B_\eta\end{bmatrix}.

\begin{bmatrix}A_2\\B_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_\xi’\\B_\eta’\end{bmatrix}.

那么总结起来就得到得到 \bf G=\begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta e^{i\delta}&\frac{1}{2}\sin2\theta(1-e^{i\delta})\\\frac{1}{2}\sin2\theta(1-e^{i\delta})&\sin^2\theta+\cos^2\theta e^{i\delta}\end{bmatrix}.

或者改写为 \bf G=\cos\frac{\delta}{\rm2}\begin{bmatrix}1-i\tan\frac{\delta}{2}\cos2\theta&-i\tan\frac{\delta}{2}\sin2\theta\\-i\tan\frac{\delta}{2}\sin2\theta&1+i\tan\frac{\delta}{2}\cos2\theta \end{bmatrix}.

讨论完一般形式，对于特殊形式的一些结论如下表所示.

对于入射光 \vec E_i 经过 \bf G_1,G_2,\cdots,G_n 后的出射光 \vec E_t ，应表示为 \vec E_t=\bf G_n\cdots G_2G_1\mit\vec E_i. 应注意这个矩阵相乘的次序.

当然，和琼斯矢量一样，琼斯矩阵也是要先约定 时间相位因子 的选择的，这里依然选择 e^{-i\omega t} ，对于另一种情况不展开说明，感兴趣的读者可以参考前面提到的教材.

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