标准差
（
Standard Deviation
），在
概率统计
中最常使用作为
统计分布
程度（statistical dispersion）上的测量。标准差定义是总体各单位
标准值
与其
平均数
离
差平方
的
算术平均数
的
平方根
。它反映组内个体间的
离散程度
。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：
为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个
随机变量
的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
简单来说，标准差是一组数据
平均值
分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做
重复性
测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的
精确度
。当要决定测量值是否符合
预测值
，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去
平均数
值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差约为17.08分，B组的标准差约为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
如是总体（即估算
总体方差
），根号内除以n（对应excel函数：STDEV.P）；
如是抽样（即估算
样本方差
），根号内除以（n-1）（对应excel函数：STDEV.S）；
因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1）。
标准差是反映一组数据
离散程度
最常用的一种量化形式，是表示
精确度
的重要指标。说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去检测它，但检测方法总是有误差的，所以检测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真实值是多少，不得而知。因此怎样量化检测方法的
准确性
就成了难题。这也是临床工作质控的目的：保证每批实验结果的准确可靠。
虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是多少。可以想象，一个好的检测方法，其检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如果不紧密，与真实值的距离就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果。因此，离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。
一组数据怎样去评价和量化它的离散度，有很多种方法：
标准差
表示的就是
样本数据
的离散程度。标准差就是
样本平均数
方差的开平方，标准差通常是相对于样本数据的平均值而定的，通常用M±
SD
来表示，表示样本某个数据观察值相距平均值有多远。从这里可以看到，标准差受到
极值
的影响。标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越离散。标准差的大小因测验而定，如果一个测验是学术测验，标准差大，表示学生分数的
离散程度
大，更能够测量出学生的学业水平；如果一个测验测量的是某种心理品质，标准差小，表明所编写的题目是同质的，这时候的标准差小的更好。标准差与正态分布有密切联系：在正态分布中，1个标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，1.96个标准差等于95%的面积。这在
测验分数
等值
上有重要作用。
标准误差
表示的是抽样的误差。因为从一个总体中可以抽取出无数多种样本，每一个样本的数据都是对总体的数据的估计。标准误差代表的就是当前的样本对总体数据的估计，标准误差代表的就是
样本均数
与总体均数的
相对误差
。标准误差是由样本的标准差除以
样本容量
的开平方来计算的。从这里可以看到，标准误差更大的是受到样本容量的影响。样本容量越大，标准误差越小，那么
抽样误差
就越小，就表明所抽取的样本能够较好地代表总体。
一个正态分布的总体，抽取n个作为样本，可以得到样本平均值，用样本均值估计
总体均值
需要考虑样本均值的方差或标准差（也就是标准误差）
在计算方法上的差异是：样本标准差^2=
样本方差
*（数据个数-1）；总体标准差^2=
总体方差
*数据个数。
函数的excel分解：
⑴stdev函数可以分解为（假设
样本数据
为A1:E10这样一个矩阵）：
stdev(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1:E10)/(COUNT(A1:E10)-1))
⑵stdevp函数可以分解为（假设总体数据为A1:E10这样一个矩阵）：
stdevp(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1：E10)/(COUNT(A1：E10)))
同样的道理stdeva与stdevpa，也有同样的
分解方法
。
基金的算法
在
投资基金
上，一般人比较重视的是业绩，但往往买进了近期业绩表现最佳的基金之后，基金表现反而不如预期，这是因为所选基金
波动度
太大，没有稳定的表现。
衡量基金波动程度的工具就是标准差。标准差是指基金可能的变动程度。标准差越大，基金未来净值可能变动的程度就越大，
稳定度
就越小，风险就越高。
比方说，一年期标准差是30%的基金，表示这类基金的净值在一年内可能上涨30%，但也可能下跌30%。因此，如果有两只
收益率
相同的基金，投资人应该选择标准差较小的基金（承受较小的风险得到相同的收益），如果有两只相同标准差的基金，则应该选择收益较高的基金（承受相同的风险，但是收益更高）。建议投资人同时将收益和风险计入，以此来判断基金。例如，A基金二年期的收益率为36%，标准差为18%；B基金二年期收益率为24%，标准差为8%，从数据上看，A基金的收益高于B基金，但同时风险也大于B基金。A基金的"每单位
风险收益率
"为2
，而B基金为3
。因此，原先仅仅以收益评价是A基金较优，但是经过标准差即
风险因素
调整后，B基金反而更为优异。
另外，标准差也可以用来判断基金属性。据晨星统计，
股票基金
的平均标准差为5.14，积极型基金的平均标准差为5.04；保守配置型基金的平均标准差为4.86；普通
债券基金
平均标准差为2.91；
货币基金
平均标准差则为0.19；由此可见，越是积极型的基金，标准差越大；而如果投资人持有的基金标准差高于
平均值
，则表示风险较高，投资人不妨在观赏
奥运
比赛的同时，也检视一下手中的基金。
标准差
股市分析中
股票统计指标
|
年份
|
业绩表现
|
波动率
|
|
|
|
|
|
|
1996
|
110.93
|
16.46
|
0.2376
|
0.0573
|
|
1997
|
-0.13
|
31.01
|
0.1188
|
0.0836
|
|
1998
|
8.94
|
26.67
|
0.0565
|
0.0676
|
|
1999
|
17.24
|
19.53
|
0.1512
|
0.0433
|
|
2000
|
43.86
|
-10.14
|
0.097
|
0.0421
|
|
2001
|
-15.34
|
-13.04
|
0.0902
|
0.0732
|
|
2002
|
-20.82
|
-23.37
|
0.0582
|
0.1091
|
通过计算可以得到：
上证综指
业绩
期望值
≈（110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82）/7=20.6685714
标准普尔波动率期望值≈0.068029
上证综指的业绩标准差≈45.2489073
上证波动率标准差≈0.063167
标准普尔波动率标准差≈0.023647
因为标准差是
绝对值
，不能通过标准差对中美直接进行对比，而
变异系数
可以直接比较。计算可得：变异系数C·V=标准偏差SD÷平均值MN×100%
上证业绩变异系数≈2.18926148
上证波动率变异系数≈0.5462
标准普尔业绩变异系数≈3.2247
标准普尔波动率变异系数≈0.3476
通过比较可以看出上证波动率变异系数要大于标准普尔波动率变异系数，说明长期来讲
中国股市
稳定性相对较差，还是一个不太成熟的
股票市场
。
资本结构
指的是企业各种
资金来源
的比例关系，是企业
筹资活动
的结果。
最优资本结构
是指能使企业
资本成本
最低且
企业价值
最大的资本结构；
产权比率
，即
借入资本
与
自有资本
的构成比例，是反映
企业资本结构
的重要变量。企业的资产由债务性资金和权益性资金组成，但其风险等级和
收益率
各不相同。根据
投资组合理论
，投资的多样化可以分散掉一定的风险，因此资金提供者需要决定投资于债务性资金和权益性资金的比例。以便在权衡风险和收益的情况下保证其利益的最大化。理论探索而
外部资金
提供者利益的最大化也就是企业价值的最大化，这一
投资比例
对于
企业融资
而言也就是企业的最优资本结构比例。
假定某企业的资金通过
发行债券
和股票两种方式获得，并且都属于
风险性
资产。其中债券的收益率为
，风险通过标准差
来衡量；股票的收益率为
；股票和债券的
相关系数
为
，
协方差
为
；债券所占的比重为
，股票所占比重为（
）。根据
投资组合理论
，企业外部投资者对该
企业投资
所获的
期望收益率
为
-
企业债务性资金和权益性资金完全
正相关
，即相关系数
为1。企业外部投资者获得的
期望收益率
为
，风险标准差为
，也就是组合的标准差等于各个部分标准差的
加权平均值
，通过
投资组合
不可能分散掉
投资风险
。根据投资组合理论，投资组合的不同比例对于投资者而言是
无差异
的。
-
企业债务性资金和权益性资金完全负相关，即其相关系数为-1。投资者获得的报酬率的期望值及其方差分别为。根据投资组合理论，只有当投资比例大于
时其投资组合才是有效的。对于
企业筹资
而言，也即企业的权益性资金的比例大干
，企业的筹资比例才是有效的，而且当组合比例为
时，企业的筹资组合风险为零。
-
企业债务性资金和权益性资金的相关系数大于-1小于1。理论上，一个企业的两种
筹资方式
之间的相关程度较高，一方面两种筹资方式都承担
系统风险
，另一方面它们也承担相同的公司风险。因此从实践来看，企业的不同筹资方式间的相关程度不可能是完全的
正相关
和负相关。对于一个企业而言，债务性资金对企业有固定的要求权，权益性资金对企业只有剩余要求权，因此债务性资金的波动不可能像权益性资金的波动那么大。同时企业的风险会同时影响企业的债务性资金和权益性资金，因此企业的债务性资金和权益性资金的相关系数不可能为负数。企业不同的筹资方式间的相关系数一般在0-1之间。
