一元n次方程根的判别式
1. 从二次方程到n次方程
我们首先回顾什么是判别式:实系数多项式方程的 判别式(discriminant) 指的是由方程的系数构成,能够通过其符号判定方程有无重根的式子。
对于 一元二次方程 ax^2+bx+c=0 ( a,b,c\in \mathbb{R}, a\ne 0 , 下同),我们熟知,其根的情况可以在无需解方程的条件下由代数式
\Delta^{(2)}:=b^2-4ac\\
的值给出。
对于 一元三次方程 ax^3+bx^2+cx+d=0 ,我们可以通过代数推导(参见: 纯演绎方法推导一元三次方程求根公式 )断定其是否有二重根将由判别式
\Delta^{(3)}:=\left ( \frac{2b^3+27a^2d-9abc}{54a^3}\right)^2-\left ( \frac{b^2-3ac}{9a^2}\right)^3\\
决定。特别地,二重根的一种特殊情况是三重根,由 \left ( \frac{q}{2}\right)^2-\left ( \frac{p}{3}\right)^3=0 和 b^2-3ac 两式共同决定。
但对于 五次 及以上的一元方程,我们无法通过直接计算根式解的方式来寻找其根的判别式。如何在不求解方程的前提下判定方程的解的情况呢?
注意到当一元二次方程有重根时,必有
\vert x_1-x_2\vert =\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\left(-\frac ba \right)^2-\frac{4c}{a}}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}=0\\
因此,对于一般的实系数多项式方程
p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0\\
记它的 n 个根为 x_1,x_2,\cdots,x_n 。为了判定它是否有重根,我们可以尝试构造
\Delta^{(n)}:=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{n}(x_i-x_j)\\
看起来只要计算它的值是否为0就可以了。
不过现在我们遇到了第一座高山:如何用方程的系数表示这个判别式?
2. 范德蒙、韦达与牛顿
有些读者可能已注意到:这个判别式的样子看起来非常像范德蒙(Vandermonde)行列式的值。
为了便于将判别式与韦达定理联系起来,这里我们果断地采用 升维 的思想重新构造判别式并 逆用 范德蒙行列式
\Delta^{(n)}:=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{n}(x_i-x_j)^{\color{orange}2}\\
=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}^{\text{T}}\\ =\begin{vmatrix} n & \sum_{i=1}^n x_i & \cdots & \sum_{i=1}^n x_i^{n-1}\\ \sum_{i=1}^n x_i & \sum_{i=1}^n x_i^2 & \cdots & \sum_{i=1}^n x_i^n\\ \sum_{i=1}^n x_i^2 & \cdots & \cdots & \cdots\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \sum_{i=1}^n x_i^{n-1} & \sum_{i=1}^n x_i^{n} & \cdots & \sum_{i=1}^n x_i^{2n-2} \end{vmatrix}\\
到此,这个形式看起来就漂亮很多了:因为行列式的各元素全部化为了方程根的 等幂和 的形式。不过这里我们又遇到了第二座高山:如何将这些等幂和用方程的系数表示?
为了表示起来简便,我们定义
s_k:= \sum_{i=1}^n x_i^k\quad (0\leqslant k \leqslant n)\\
牛顿(Newton)等幂和公式 :对于多项式方程 p(x)=q(1,x,x^2,\cdots,x^n)=0 ,有 q(0,\cdots,0,k,s_1,\cdots,s_k)=0 。
亦即方程 a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0 的前 k+1 个系数满足关系 a_ns_k+a_{n-1}s_{k-1}+a_{n-2}s_{k-2}+\cdots+a_{n-(k-1)}s_1+ka_{n-k}=0 。
从而 s_k(1\leqslant k\leqslant n) 的值可以由上述递推式解出,为
s_k= \begin{vmatrix} -a_{n-1}/a_n & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 2a_{n-2}/a_n & -a_{n-1}/a_n & 1&\cdots & 0 \\ -3a_{n-3}/a_n & a_{n-2}/a_n & -a_{n-1}/a_n &1 & \vdots\\ 4a_{n-4}/a_n & -a_{n-3}/a_n & a_{n-2}/a_n & -a_{n-1}/a_n & \vdots\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ (-1)^k ka_{n-k}/a_n & (-1)^{k-1} a_{n-k+1}/a_n & \cdots & \cdots &-a_{n-1}/a_n \end{vmatrix}\\
3. 判别式
3.1 重根判别式
由上述,一元n次方程的 重根判别式 可以表示为
\Delta^{(n)}=\Delta_2^{(n)}= \begin{vmatrix} n & s_1 & \cdots & s_{n-1}\\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n\\ s_2 & \cdots & \cdots & \cdots\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ s_{n-1} & s_{n} & \cdots & s_{2n-2} \end{vmatrix}\\
其中 s_k= \sum_{i=1}^n x_i^k 。由于等幂和公式递推地建立了当 0\leqslant k \leqslant n 时 s_k 与方程系数的关系,我们便能够对于任意的多项式方程计算出其根的判别式。
例1 讨论一元三次方程 x^3-px-q=0 的根的情况。
解:由Newton等幂和递推式, s_0=3 , s_1=0 , s_2-2p=0 \Rightarrow s_2=2p , s_3-ps_1-3q=0 \Rightarrow s_3=3q (栓Q)。并由 x_i^3-px_i-q=0 得 s_4=\sum_{i=1}^3 x_i^4 =\sum_{i=1}^3 \left( px_i^2+qx_i \right)=ps_2+qs_1=2p^2 。因此 \Delta^{(3)}= \begin{vmatrix} 3 & s_1 & s_2 \\ s_1 & s_2 & s_3 \\ s_2 & s_3 & s_4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 2p \\ 0 & 2p & 3q \\ 2p & 3q & 2p^2 \end{vmatrix} =4p^3-27q^2 \\ 可知当 4p^3-27q^2=0 时,方程有二重根(或三重根); 4p^3-27q^2>0 时,根据判别式的定义知方程有三个不等实数根; 4p^3-27q^2<0 时,方程有一个实数根和两个虚数根。
3.2 多重根判别式
重根判别式 \Delta_2^{(n)} 只能解决重根 有 和 无 的问题,而不能解决 多 和 少 的问题。例如,如果要判断一元三次方程的重根是二重根还是三重根,只凭 \Delta_2^{(3)} 就无力给出了。
实际上,可以完全类似地构造 m重根判别式 \Delta_{m}^{(n)}=\prod_{i=1}^{n-m+1}\sum_{j=i+1}^{i+m}(x_i-x_j)^2\\
注意到上式为零仅仅是m重根的必要不充分条件,实际上,一元n次方程有m重根 \Leftrightarrow \Delta_2^{(n)}=0,\Delta_3^{(n)}=0,\cdots,\Delta_m^{(n)}=0 。特别地,n重根判别式为
\Delta_{n}^{(n)}=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_i-x_j)^2\\
例2 一元三次方程 ax^3+bx^2+cx+d=0 何时有三重根?
解: \Delta_2^{(3)}=4\left(\frac{b^2-3ac}{3a^2} \right)^3-27\left(\frac{2b^3+27a^2d-9abc}{27a^3} \right)^2
\Delta_3^{(3)}=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2
=2(x_1+x_2+x_3)^2-6(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)
=\frac{2(b^2-3ac)}{3a^2}
令 \Delta_2^{(3)}=0, \Delta_3^{(3)}=0 ,得到上述三次方程有三重根的充要条件为 b^2-3ac=0, 2b^3+27a^2d-9abc=0
2.3 判别式的不变性 ( Invariance )
在几何上,对方程零点的平移、旋转和求逆(倒数)并不改变根的重数。这一性质反映到代数上就是判别式对于平移、相似和逆转变换是一个 不变量 。
- 平移不变性(Invariance of translation): \Delta [p(x)]=\Delta [p(x+\alpha)]
- 相似不变性(Invariance by homothety): \Delta [p(x)] =\alpha^{n(n-1)}\Delta [P(\alpha x)] (产生的偶次幂不影响符号)
- 逆转不变性(Invariance by inversion): \Delta [ p(x)] =\Delta [ p^r(x)]
注: p^r 为互反多项式,满足 p^r(x)=x^np\left(\frac{1}{x}\right)
以上性质根据判别式的定义都可以轻易地完成证明。
参考文献
本文的完成参考了以下来源