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同伦类型论（HoTT）
心灵鸡汤好难喝。
不清楚 HoTT 怎么帮助解决连续统假设。只谈谈目前在计算模型上的结果。 首先连续统假设是一个关于三阶算术上的 [公式] 命题 ，这就已经杜绝了大部分计算模型可以解决它的可能性。Hogarth 的模型[1]经过适当拓展后可以判定位于超算术集，即 [公式] 内的所有语句，另一种写法是判定一个 [公式] 的模型。这其中就包含了一个包含所有…
匿名用户
碰巧路过这个问题，写一些字。 可以说目前人类在进行一次“范畴化”进程，应用范畴论是其中的一个分支。有些遗憾目前国内的相关工作相比之下比较有限。笔者仅试图提供一些鱼竿，无意在此写一段长篇（不过日后应该会写的），必然会有一些偏差和过时性，敬请谅解。 · 首先是一个“范畴化数学的百科”，秉持n-point of view，可以在此了解很多内容： nLab · 一个博客，有非常多（应用）范畴论相关（或无关）的精彩文章： The n-Cat…
Arcahv.
我先从半几何半逻辑的角度给出一个例子。如果你希望搞一个开箱即用，TLDR的类型论视角，那简单，就是一个Sigma类型，是逻辑关系（logical relations）的自然推广，结束。 考虑这样一个范畴 [公式] ，其中的对象是有向图（可以有重复的边，可以有自环[1]），映射是将顶点射到顶点，边射到边，而且每条边的顶点映射过去还是还是这条边的顶点。画一个比较简陋的图： [图片] 来简单探索一下这个范畴里的东西吧。首先始对象比较简单，…
没啥不能入门的，voevodsky的大脑和我们是一样的，前置知识不学那自然看不懂。这个理论需要的prerequisite非常多，以至于国内普通数学系本科的培养都还不够（国外好些，gre subject test还考基本群的计算） 学习hott需要： 1：数学中代数/拓扑/代数拓扑/范畴论的知识 2：计算机/逻辑中类型论相关知识 关于1，非数学系本科需要再学高级版线性代数（高等代数），推荐linear algebra done right,然后看抽象代数，springer gtm系列里…
你可以证明 AC 或者 LEM 蕴含某个定理，用经典逻辑做数学的时候，你也没法进行 AC/LEM 的计算，所以本质上这是在做同一件事。 HoTT 在我眼里其实只是恰好能当成数学基础用——实际上有比他本质得多的东西，比如范畴逻辑。如果你不做那种有很多高维的关系的数学的话，HoTT 就退化成了一个很难用的带一些外延性和商集的类型论，那样你还不如去用 OTT 呢，至少这是可以可靠地实现的语言，而不是像 CTT 那样，计算性质不够理想。而范…
热爱才能福至心灵，毅力才能成就专业。
前面一个回答提到了 Path space is contractible.这有些不太准确，应该是"Based path space is contractible", 即对于任意地 [公式] , 类型 [公式] 都是contractible的。它是path induction长成书中那样最主要的原因。 上面的结论有一个推论: 给定一个type family [公式] 。如果 [公式] 是contractible的，那么我们有equivalence [公式] 。 这里我们可以让 [公式]
已知：a^a÷a=a²，求a=?就算是学霸，做这道题不留心就会出错
已知：a^a÷a=a²，求a=?就算是学霸，做这道题不留心就会出错
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6.15.2022 更新： Sterling 写了一个面向新手的note ，更加的categorical一些（他的Synthetic Tait Computability）有对应的STLC, MLTT在Agda层的形式话。据说用了Cubical Agda的feature。5.3.2022 更新： 我写了个面向新手的 Proof Relevant Logical Relation的笔记 ，前置要求大概只需要了解Agda语法即可。可以看作低配版Sterling的Note。我费了一些不必要的笔墨解释了一些前置问题（因为本来是作业的一部分，面向的观众根本不是…
编程语言方向PhD
含有dependent type的系统至少可以表达first order logic，这种系统往上走全都是逻辑或者数学系统了，我自己的标准是这种系统更属于type theory而不是type system。 dependent type是一种现象，说得是types depend on values，所以你这个问题很难界定。如果你说的是实现lambda cube三个方向的type theory，如CIC，ITT等，那么这些type theory当然可以被发展了。不过他们的发展和数学和逻辑的发展息息相关。 另外值得指出的是，ty…
比希望更炽热，比绝望更深邃，比诅咒更不详
Lean4将会终止对HoTT的支持，目前来看Lean4将会更专注于传统数学形式化验证的生态位，如果你对学习类型论和HoTT有关的知识感兴趣的话建议别入坑Lean4Lean3有三大特性破坏了canonicity（正规性，但我更愿意称之为可求值性）使得其不再是构造主义的，即propositional extensionality（命题宇宙等词，对应集合论的外延公理）, quotient soundness（商类型可靠，对应集合论的商集存在性）, choice（选择公理）。Lean验证关于非构造命…