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\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x \Rightarrow \lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e
x
→
∞
lim
(
1
+
x
1
)
x
⇒
x
→
0
lim
(
1
+
x
)
x
1
=
e
重要极限②的例题
例：求
= \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{\frac{x + 3}{2}})^{\frac{x+3}{2}·2} ·(1 + \frac{1}{\frac{x + 3}{2}})^{-3}
=
x
→
∞
lim
(
1
+
2
x
+
3
1
)
2
x
+
3
⋅
2
⋅
(
1
+
2
x
+
3
1
)
−
3
\lim_{x \to \infty}(1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty}e^{\frac{\ln (1+2x)}{x}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1+2x)}{x}}
x
→
∞
lim
(
1
+
2
x
)
x
1
=
x
→
∞
lim
e
x
ln
(
1
+
2
x
)
=
e
lim
x
→
∞
x
ln
(
1
+
2
x
)
应用洛必达法则，得：
e^{\lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1+2x)}{x}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{2}{1+2x}} = e^0 = 1
e
lim
x
→
∞
x
ln
(
1
+
2
x
)
=
e
lim
x
→
∞
1
+
2
x
2
=
e
0
=
1
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